高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时课后作业题

[A　基础达标]

1．(多选)下面各式中，正确的是(　　)

A．sin ＝sin cos ＋cos

B．sin ＝sin －cos cos

C．cos ＝cos cos ＋

D．cos ＝cos －cos

解析：选ABC．因为sin ＝，所以A正确；

因为sin ＝cos ＝，所以sin ＝sin

＝sin  cos －cos cos ，所以B正确；

cos ＝cos ，所以C正确；

因为cos ＝cos ≠cos －cos ，所以D不正确．

2．若tan α＝3，tan β＝，则tan (α－β)＝(　　)

A．3  B．－3

C．  D．－

解析：选C．tan (α－β)＝＝＝.

3．已知角α的终边经过点(－3，4)，则sin 的值为(　　)

A．  B．－

C．  D．－

解析：选C．因为角α的终边经过点(－3，4)，则sin α＝，cos α＝－，所以sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝×－×＝.

4．已知函数f(x)＝x sin 126°sin (x－36°)＋x cos 54°cos (x－36°)，则函数f(x)是(　　)

A．奇函数

B．偶函数

C．非奇非偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

解析：选B．因为函数的定义域为R，且f(x)＝x sin 126°sin (x－36°)＋x cos 54°cos (x－36°)＝x sin 54°sin (x－36°)＋x cos 54°cos (x－36°)＝x[sin 54°sin (x－36°)＋cos 54°cos (x－36°)]＝x cos [54°－(x－36°)]＝x cos (90°－x)＝x sin x，所以任取x∈R，f(－x)＝(－x)·sin (－x)＝x sin x＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．

5．在△ABC中，cos A＝，cos B＝，则△ABC的形状是(　　)

A．锐角三角形  B．钝角三角形

C．直角三角形  D．等边三角形

解析：选B．由题意得sin A＝，sin B＝，所以cos C＝cos (π－A－B)＝－cos (A＋B)＝－cos A cos B＋sin A sin B＝－×＋×＝－＝－＝－<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．

6．已知cos ＝2cos (π－α)，则tan ＝________．　

解析：因为cos ＝2cos (π－α)，

所以－sin α＝－2cos α⇒tan α＝2.

所以tan ＝＝－.

答案：－

7．cos 105°＋sin 195°的值为________．

解析：cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin (90°＋105°)　

＝2cos 105°＝2cos (135°－30°)

＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)

＝2

＝.

答案：

8．已知cos ＝sin ，则tan α＝________．

解析：cos ＝cos αcos －sin αsin ＝cos α－sin α，sin ＝sin αcos －cos αsin ＝sin α－cos α，所以sin α＝cos α，故tan α＝1.

答案：1

9．化简下列各式：

(1)sin ＋2sin －cos ；

(2)－2cos (α＋β).

解：(1)原式＝sin x cos ＋cos x sin ＋2sin x cos －2cos x sin －cos cos x－sin sin x

＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x

＝sin x＋cos x＝0.

(2)原式＝

＝

＝＝.

10．若sin ＝－，sin ＝，其中<α<，<β<，求α＋β的值．

解：因为<α<，<β<，

所以－<－α<0，<＋β<π.

所以cos ＝＝，

cos＝－＝－，

所以cos(α＋β)＝cos

＝cos ·cos ＋sin sin

＝×＋×＝－.

又因为<α＋β<π，

所以α＋β＝π.

[B　能力提升]

11．(多选)下列式子结果为的是(　　)

A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°

B．2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)

C．

D．

解析：选ABC．对于选项A利用正切的变形公式可得原式＝；

对于选项B原式可化为2(sin 35°cos 25°＋cos 35°·sin 25°)＝2sin 60°＝；

对于选项C原式＝＝tan 60°＝；

对于选项D原式＝＝tan 30°＝，故选ABC．

12．已知锐角α，β满足＝sin (2α＋β)，则下列选项正确的是(　　)

A．sin 2α＝sin β   

B．sin 2α＝cos β

C．cos 2α＝－sin β   

D．cos 2α＝－cos β

解析：选B．由题意得，sin [(2α＋β)＋α]＝sin (2α＋β)cos α，所以cos (2α＋β)sin α＝0，又α，β是锐角，所以cos (2α＋β )＝0，因为0<2α＋β<，所以2α＋β＝，即2α＝－β，所以sin 2α＝cos β，cos 2α＝sin β，故选B．

13．已知α∈，β∈，cos α＝，且cos (α－β)＝，则sin ＝________，cos β＝________．

解析：因为α为第四象限角，cos α＝，

所以sin α＝－＝－.

所以sin ＝sin α＋cos α＝×＋×＝.

因为α∈，β∈，

所以α－β∈(－π，0).

又因为cos (α－β)＝，

所以sin (α－β)＝－＝－.

所以cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)

＝×＋×＝.

答案：　

14．在△ABC中，tan B＋tan C＋tan B tan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan A tan B，试判断△ABC的形状．

解：tan A＝tan [π－(B＋C)]＝－tan (B＋C)

＝＝＝－，

而0°<A<180°，所以A＝120°.

tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B)＝

＝＝，而0°<C<180°，所以C＝30°.

所以B＝180°－120°－30°＝30°.

所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形．

[C　拓展探究]

15．如图，在直角坐标系中，角α，β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角α，β的终边与单位圆分别交于A，B两点．

(1)求cos (α＋β)的值；

(2)若α∈，β∈，求2α－β的值．

解：(1)由A，B，

得cos α＝，sin α＝，cos β＝－，sin β＝，

则cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.

(2)由已知得cos 2α＝cos (α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α

＝－，sin 2α＝sin (α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝.

因为cos 2α<0，α∈，所以2α∈.

因为β∈，所以2α－β∈.

则sin (2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β

＝×－×＝－.

所以2α－β＝－.