高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优质第3课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优质第3课时导学案，共12页。学案主要包含了化简求值，给值求值，两角和与差的正切公式的综合应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．








知识点 两角和与差的正切公式





预习小测 自我检验


1．若tan α＝3，tan β＝eq \f(4,3)，则tan(α－β)＝________.


答案 eq \f(1,3)


解析 tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝eq \f(3－\f(4,3),1＋3×\f(4,3))＝eq \f(1,3).


2．已知tan α＝2，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.


答案 －3


解析 taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan αtan \f(π,4))＝eq \f(2＋1,1－2×1)＝－3.


3.eq \f(tan 75°－tan 15°,1＋tan 75°tan 15°)＝________.


答案 eq \r(3)


解析 原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝eq \r(3).


4.eq \f(tan 17°＋tan 43°,1－tan 17°tan 43°)＝______.


答案 eq \r(3)





一、化简求值


例1 计算：


(1)tan(－75°)；


(2)eq \f(tan 74°＋tan 76°,1－tan 74°tan 76°)；


(3)tan 23°＋tan 37°＋eq \r(3)tan 23°tan 37°.


解 (1)∵tan 75°＝tan(45°＋30°)＝eq \f(tan 45°＋tan 30°,1－tan 45°tan 30°)


＝eq \f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝eq \f(3＋\r(3),3－\r(3))＝eq \f(12＋6\r(3),6)＝2＋eq \r(3)，


∴tan(－75°)＝－tan 75°＝－2－eq \r(3).


(2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3).


(3)∵tan 60°＝eq \r(3)＝eq \f(tan 23°＋tan 37°,1－tan 23°tan 37°)，


∴tan 23°＋tan 37°＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 23°tan 37°，


∴tan 23°＋tan 37°＋eq \r(3)tan 23°tan 37°＝eq \r(3).


反思感悟 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明


(1)分析式子结构，正确选用公式形式：


T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．


(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：


当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“eq \r(3)”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan eq \f(π,4)”，“eq \r(3)＝tan eq \f(π,3)”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．


跟踪训练1 求值：


(1)eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°)；


(2)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°.


解 (1)eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°)＝eq \f(tan 45°－tan 15°,1＋tan 15°tan 45°)＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3).


(2)由tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)的变形


tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得


tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)＝1－tan 10°tan 35°，


所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1.


二、给值求值(角)


例2 已知tan(α－β)＝eq \f(1,2)，tan β＝－eq \f(1,7)，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．


解 ∵tan β＝－eq \f(1,7)，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，


∴tan α＝tan[(α－β)＋β]


＝eq \f(tanα－β＋tan β,1－tanα－βtan β)


＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,7),1－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,7))))＝eq \f(1,3)，


tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]


＝eq \f(tanα－β＋tan α,1－tanα－βtan α)


＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1.


∵tan α＝eq \f(1,3)>0，tan β＝－eq \f(1,7)<0，


∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴α－β∈(－π，0)．


又∵tan(α－β)＝eq \f(1,2)>0，


∴α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．


而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－eq \f(3,4)π.


反思感悟 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．


(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．


跟踪训练2 已知tan α＝eq \f(1,3)，tan β＝－2，且0<α

求：(1)tan(α－β)的值；


(2)角α＋β的值．


解 (1)tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan α·tan β)＝eq \f(\f(1,3)－－2,1＋\f(1,3)×－2)＝7.


(2)∵tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan α·tan β)＝eq \f(\f(1,3)＋－2,1－\f(1,3)×－2)＝－1，


又0<α

∴eq \f(π,2)<α＋β

∴α＋β＝eq \f(3,4)π.


三、两角和与差的正切公式的综合应用


例3 (1)已知A，B是三角形ABC的两个内角，且tan A，tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，则tan C＝________.


答案 2


解析 由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan A＋tan B＝－\f(8,3)，,tan A·tan B＝－\f(1,3)，))


由两角和的正切公式得


tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝eq \f(－\f(8,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))))＝－2，


又A＋B＋C＝π，


所以tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝2.


(2)在△ABC中，tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状．


解 由tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)得


tan(B＋C)＝eq \f(tan B＋tan C,1－tan Btan C)＝eq \f(\r(3)－\r(3)tan Btan C,1－tan Btan C)＝eq \r(3)，


又0

又由eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＋1＝tan Atan B得


tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan A·tan B)＝eq \f(\f(\r(3),3)tan A·tan B－1,1－tan A·tan B)＝－eq \f(\r(3),3).


又0

∴A＋B＝eq \f(5,6)π，②


由①②及A＋B＋C＝π解得B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(π,6)，A＝eq \f(2,3)π.


所以△ABC为等腰三角形．


反思感悟 (1)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．


(2)熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：


①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；


②1－tan αtan β＝eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)；


③tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；


④tan α·tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β).


提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．


跟踪训练3 已知tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两根，且－eq \f(π,2)<α

A.eq \f(π,3) B．－eq \f(2π,3)


C．－eq \f(2π,3)或eq \f(π,3) D．无法确定


答案 B


解析 由已知得


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan α＋tan β＝－3\r(3)，①,tan α·tan β＝4，②))


所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－3\r(3),1－4)＝eq \r(3)，


又由①②可知tan α<0，tan β<0.


∴－eq \f(π,2)<α<0，－eq \f(π,2)<β<0，∴－π<α＋β<0，


∴α＋β＝－eq \f(2,3)π.故选B.





1．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α等于( )


A.eq \f(1,7) B．－eq \f(1,7) C．1 D．－1


答案 A


解析 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝eq \f(tanα－β＋tan β,1－tanα－βtan β)＝eq \f(－2＋3,1－－2×3)＝eq \f(1,7).


2．设sin α＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)<α<π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为( )


A．－eq \f(2,7) B．－eq \f(2,5) C．－eq \f(2,11) D．－eq \f(11,2)


答案 C


解析 ∵sin α＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)<α<π))，


∴tan α＝－eq \f(3,4).


∵tan(π－β)＝eq \f(1,2)，∴tan β＝－eq \f(1,2).


∴tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝－eq \f(2,11).


3．与eq \f(1－tan 21°,1＋tan 21°)相等的是( )


A．tan 66° B．tan 24° C．tan 42° D．tan 21°


答案 B


解析 原式＝eq \f(tan 45°－tan 21°,1＋tan 45°tan 21°)＝tan(45°－21°)


＝tan 24°.


4．若tan 28°·tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于( )


A.eq \r(3)m B.eq \r(3)(1－m) C.eq \r(3)(m－1) D.eq \r(3)(m＋1)


答案 B


解析 ∵28°＋32°＝60°，


∴tan 60°＝tan(28°＋32°)＝eq \f(tan 28°＋tan 32°,1－tan 28°tan 32°)＝eq \r(3)，


∴tan 28°＋tan 32°＝eq \r(3)(1－m)．


5．求值：tan eq \f(11π,12)＝________.


答案 －2＋eq \r(3)


解析 tan eq \f(11π,12)＝－tan eq \f(π,12)＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,6)))


＝－eq \f(tan \f(π,4)－tan \f(π,6),1＋tan \f(π,4)tan \f(π,6))＝－eq \f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))＝－2＋eq \r(3).





1．知识清单：


(1)两角和与差的正切公式的推导；


(2)公式的正用、逆用、变形用．


2．方法归纳：整体思想．


3．常见误区：公式中加减符号易记错．








1．(2019·全国Ⅰ)tan 255°等于( )


A．－2－eq \r(3) B．－2＋eq \r(3)


C．2－eq \r(3) D．2＋eq \r(3)


答案 D


解析 tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°


＝tan(45°＋30°)＝eq \f(tan 45°＋tan 30°,1－tan 45°tan 30°)＝eq \f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝2＋eq \r(3).


2.eq \f(\r(3)－tan 18°,1＋\r(3)tan 18°)的值等于( )


A．tan 42° B．tan 3°


C．1 D．tan 24°


答案 A


解析 ∵tan 60°＝eq \r(3)，


∴原式＝eq \f(tan 60°－tan 18°,1＋tan 60°tan 18°)＝tan(60°－18°)＝tan 42°.


3．若tan(180°－α)＝－eq \f(4,3)，则tan(α＋405°)等于( )


A.eq \f(1,7) B．7 C．－eq \f(1,7) D．－7


答案 D


解析 ∵tan(180°－α)＝－tan α＝－eq \f(4,3)，


∴tan α＝eq \f(4,3)，∴tan(α＋405°)＝tan(α＋45°)＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝eq \f(1＋\f(4,3),1－\f(4,3))＝－7.


4．在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，则tan Atan B的值为( )


A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(5,3)


答案 B


解析 ∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，


∴tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝eq \r(3)，


∴tan A＋tan B＝eq \r(3)(1－tan Atan B)＝eq \f(2\r(3),3)，


解得tan A·tan B＝eq \f(1,3).故选B.


5．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )


A．1 B．2 C．－2 D．不确定


答案 B


解析 (1＋tan A)(1＋tan B)


＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B


＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B


＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2.


6．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝eq \f(1,7)，则tan β的值为________．


答案 3


解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝eq \f(tanα＋β－tan α,1＋tanα＋βtan α)


＝eq \f(\f(1,7)－－2,1＋\f(1,7)×－2)＝3.


7．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(1,2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))＝－eq \f(1,3)，则tan eq \f(α＋β,2)＝________.


答案 eq \f(1,7)


解析 tan eq \f(α＋β,2)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))))＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))))＝eq \f(1,7).


8．已知A，B都是锐角，且tan A＝eq \f(1,3)，sin B＝eq \f(\r(5),5)，则A＋B＝________.


答案 eq \f(π,4)


解析 ∵B为锐角，sin B＝eq \f(\r(5),5)，


∴cs B＝eq \f(2\r(5),5)，∴tan B＝eq \f(1,2)，


∴tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝eq \f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1.


∵0

9．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，tan β＝eq \f(1,2).


(1)求tan α的值；


(2)求eq \f(sinα＋β－2sin αcs β,2sin αsin β＋csα＋β)的值．


解 (1)∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，


∴eq \f(tan \f(π,4)＋tan α,1－tan \f(π,4)tan α)＝2，


∴eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2，解得tan α＝eq \f(1,3).


(2)原式＝eq \f(sin αcs β＋cs αsin β－2sin αcs β,2sin αsin β＋cs αcs β－sin αsin β)


＝eq \f(cs αsin β－sin αcs β,cs αcs β＋sin αsin β)＝eq \f(sinβ－α,csβ－α)


＝tan(β－α)＝eq \f(tan β－tan α,1＋tan βtan α)


＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7).


10.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为eq \f(\r(2),10)，eq \f(2\r(5),5).





求：(1)tan(α＋β)的值；


(2)α＋2β的大小．


解 (1)由条件得cs α＝eq \f(\r(2),10)，cs β＝eq \f(2\r(5),5).


∵α，β为锐角，∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(7\r(2),10)，


sin β＝eq \r(1－cs2β)＝eq \f(\r(5),5).


因此tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝7，


tan β＝eq \f(sin β,cs β)＝eq \f(1,2).


∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan α·tan β)＝eq \f(7＋\f(1,2),1－7×\f(1,2))＝－3.


(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝eq \f(2tan β,1－tan2β)＝eq \f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(4,3)，


∴tan(α＋2β)＝eq \f(tan α＋tan 2β,1－tan α·tan 2β)＝eq \f(7＋\f(4,3),1－7×\f(4,3))＝－1.


∵α，β为锐角，


∴0<α＋2β




11．已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为( )


A.eq \f(π,4) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3)


答案 B


解析 sin α＝eq \f(\r(5),5)，且α为锐角，


则cs α＝eq \f(2\r(5),5)，tan α＝eq \f(1,2)，


所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\f(1,2)－3,1－\f(1,2)×－3)＝－1.


又α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，故α＋β＝eq \f(3π,4).


12．tan 15°＋tan 105°等于( )


A．－2eq \r(3) B．2＋eq \r(3) C．4 D.eq \f(4\r(3),3)


答案 A


解析 tan 15°＋tan 105°＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋60°)


＝eq \f(tan 45°－tan 30°,1＋tan 45°tan 30°)＋eq \f(tan 45°＋tan 60°,1－tan 45°tan 60°)＝－2eq \r(3)，


故选A.


13．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于________．


答案 1


解析 原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)


＝tan 10°tan 20°＋eq \r(3)tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)


＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1.


14．设tan θ＝2，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝________，eq \f(sin θ－cs θ,sin θ＋cs θ)＝________.


答案 －3 eq \f(1,3)


解析 由tan θ＝2，得taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(tan θ＋tan \f(π,4),1－tan θtan \f(π,4))＝－3，eq \f(sin θ－cs θ,sin θ＋cs θ)＝eq \f(tan θ－1,tan θ＋1)＝eq \f(1,3).





15．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为( )


A．16 B．8 C．4 D．2


答案 C


解析 由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，


利用两角和的正切公式及其变形可得


(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，


(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，


故(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝4.


16．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝eq \f(2π,3)，(2)tan eq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．


解 假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝eq \f(2π,3)，


(2)tan eq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)同时成立．


由(1)得eq \f(α,2)＋β＝eq \f(π,3)，


所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))＝eq \f(tan \f(α,2)＋tan β,1－tan \f(α,2)tan β)＝eq \r(3).


又tan eq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)，


所以tan eq \f(α,2)＋tan β＝3－eq \r(3)，


因此tan eq \f(α,2)，tan β可以看成是方程x2－(3－eq \r(3))x＋2－eq \r(3)＝0的两个根，


解得x1＝1，x2＝2－eq \r(3).


若tan eq \f(α,2)＝1，则α＝eq \f(π,2)，这与α为锐角矛盾，


所以tan eq \f(α,2)＝2－eq \r(3)，tan β＝1，


所以α＝eq \f(π,6)，β＝eq \f(π,4)，


所以满足条件的α，β存在，且α＝eq \f(π,6)，β＝eq \f(π,4).名称
公式
简记符号
条件
两角和的正切
tan(α＋β) ＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
两角差的正切
tan(α－β) ＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)