人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）同步达标检测题

[A　基础达标]

1．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是(　　)

A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)

C．(1.5，1.75) D．(1.75，2)

解析：选B．由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)f(1.5)<0，易知函数f(x)的图象是连续不断的．根据零点存在定理可知，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)，故选B．

2．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A．x1  B．x2

C．x3  D．x4

解析：选C．由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间[a，b]，使得f(a)·f(b)<0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈[a，b]时均有f(a)f(b)≥0，故不可以用二分法求该零点．

3．用二分法逐次计算函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值时，参考数据如下：

f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.437 5)≈0.162，f(1.406 25)≈－0.054，那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为(　　)

A．1.5  B．1.25

C．1.375  D．1.437 5

解析：选D．由参考数据知，f(1.406 25)≈－0.054，f(1.437 5)≈0.162，则f(1.406 25)f(1.437 5)<0且|1.406 25－1.437 5|＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.437 5，故选D．

4．(多选)某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：

则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度为0.1)可取为(　　)

A．2.52  B．2.56

C．2.66  D．2.75

解析：选AB．由表格可知方程ln x＋2x－6＝0的近似解在(2.5，2.562 5)内．因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合，故选AB．

5．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|＜ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过(　　)

A．  B．

C．ε  D．2ε

解析：选B．真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝＜，因此误差最大不超过.

6．函数y＝与函数y＝lg x的图象的交点的横坐标(精确度为0.1)约是(　　)

A．1.5  B．1.6

C．1.7  D．1.8

解析：选D．设f(x)＝lg x－，经计算f(1)＝－<0，f(2)＝lg 2－>0.

所以方程lg x－＝0在(1，2)内有解．

f＝lg －<0，f＝lg －<0，

所以方程lg x－＝0的解在区间内．

故选项D符合要求．

7．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．

解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b.

答案：a2＝4b

8．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．

解析：第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5).

答案：1.5，1.75，1.875，1.812 5

9．已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？

解：如图，可首先从中点C开始检查．若AC段正常，则故障在BC段；再到BC段中点D检查．若CD段正常，则故障在BD段；再到BD段中点E检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100 m之间，即可迅速找到故障所在．

10．已知函数f(x)＝x3－x2＋1.

(1)证明方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解；

(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内．

(1)证明：因为f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，

所以f(0)f(2)<0.

由函数的零点存在定理可得方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解．

(2)解：取x1＝(0＋2)＝1，得f(1)＝>0.

由此可得f(1)f(2)<0，下一个有解区间为(1，2).

再取x2＝(1＋2)＝，得f＝－<0，

所以f(1)f<0，下一个有解区间为.

再取x3＝＝，

得f＝>0，所以ff<0，下一个有解区间为.

综上所述，得所求的实数解x0在区间内．

[B　能力提升]

11．用二分法求函数f(x)＝ln (x＋1)＋x－1在区间(0，1)上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(　　)

A．5  B．6

C．7  D．8

解析：选C．开区间(0，1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.因为精确度为0.01，所以<0.01.又n∈N*，所以n≥7且n∈N*，故所需二分区间的次数最少为7，故选C．

12．函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是________(填序号).

①f(x)＝；②f(x)＝(x－1)2；③f(x)＝ex－1；④f(x)＝4x－1.

解析：设g(x)＝4x＋2x－2的零点为x0，因为g(x)＝4x＋2x－2在R上连续且单调递增，且g＝－＜0，g＝2＋1－2＝1＞0，所以＜x0＜.又f(x)＝的零点为x＝，f(x)＝(x－1)2的零点为x＝1，f(x)＝ex－1的零点为x＝0，f(x)＝4x－1的零点为x＝，所以只有④中函数满足题意．

答案：④

13．在16枚崭新的金币中，有1枚外表与真币完全相同的假币(比真币略轻).现只有一台天平，请问：利用二分法的思想(每次均二等分)，需要________次就可以找出这枚假币．

解析：利用二分法，需要4次就可以找出这枚假币．第一次把16枚金币平均分成两组，放在天平上称，天平一定不平衡，轻的一组(8枚金币)含假币；第二次把含假币的8枚金币平均分成两组，放在天平上称，天平一定不平衡，轻的一组(4枚金币)含假币；第三次把含假币的4枚金币分成两组，放在天平上称，天平不平衡，轻的一组(2枚金币)含假币；第四次把含假币的2枚金币放在天平上称，天平不平衡，轻的一边是假币．

答案：4

14．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1，2]内有唯一零点，并求出这个零点．(精确度0.1)

解：由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝4＞0.又函数f(x)在[1，2]内是增函数，所以函数f(x)在区间[1，2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1，2].下面用二分法求解．

因为|1.187 5－1.25|＝0.062 5＜0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.(答案不唯一)

[C　拓展探究]

15．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0，1]内有两个实根．

证明：因为f(1)>0，所以3a＋2b＋c>0，即3(a＋b＋c)－b－2c>0，所以－b－2c>0，即－b－c>c.

又a＋b＋c＝0，所以a＝－b－c，所以a>c.

因为f(0)>0，所以c>0，则a>0.

取区间[0，1]的中点，

则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.

因为f(0)>0，f(1)>0，

所以函数f(x)在区间和上各有一个零点．

又f(x)为一元二次函数，最多有两个零点，故方程f(x)＝0在区间[0，1]内有两个实根．