数学必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换本节综合与测试优秀随堂练习题

7.3.1正弦函数的图像与性质同步练习人教    B版（2019）高中数学必修第三册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设，，，则有 

A.  B.  C.  D.

2. 已知，，，，则a，b，c，d的大小关系为   

A.  B.  C.  D.

3. ，，的大小关系是  

A.  B.
C.  D.

4. 设，，，则有   

A.  B.  C.  D.

5. 设，，；则有         

A.  B.  C.  D.

6. 下列关系式中正确的是   

A.  B.
C.  D.

7. 下列比较大小，正确的是   

A.  B.
C.  D.

8. 下列关系式中正确的是   

A.  B.
C.  D.

9. 设，，，则有   

A.  B.  C.  D.

10. 已知是定义在R上的函数，且，，当时，，则

A. 1 B. 2 C.  D.

11. 设函数的定义域为R，满足，且当时则当的最小值是   

A.  B.     C.   D.

12. 已知函数对都有，且当时，则   

A. 1 B.  C.      D.

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知函数为定义在R上的奇函数，对任意都有，当时，，则的值为           ．
14. 函数的定义域为          ．
15. 函数的定义域为          ．
16. 写出一个最小正周期为2的偶函数           ．

三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）

17. 设函数，则           ，若，则实数x的取值范围是           ．
18. 如果在同一坐标系内，用五点法作函数，的图象，它们的第四个点的坐标分别是          ，          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 若函数的定义域为A．
    求集合A；
    当时，求函数的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知函数的最小值为，且．
    求实数a的值；
    求函数的最大值，并求此时x的取值集合．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数的最小值为，且．

求实数a的值；

求函数的最大值，并求此时x的取值集合．






 

22. 已知函数，．
    求的最小值；
    若在上有零点，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知函数，．
    Ⅰ求函数的定义域；
    Ⅱ若函数，，求函数的最小值；结果用含a的式子表示
    Ⅲ当时，，是否存在实数b，对于任意，不等式恒成立，若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查正弦函数单调性的应用，属于中档题．
先利用三角恒等变换公式对，，化简，然后利用正弦函数的单调性比较大小即可．
【解答】
解：
 

，

，

，

因为在上为增函数，

所以，
所以，
故选：C．

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了比较大小，属于难题．
用辅助角公式及正弦函数的单调性，化简a，并比较与1的大小；用二倍角正弦公式化简b，用指数函数的单调性运用中间值比较法比较c，d的大小，再判断即可．
【解答】
解：．
，所以，
因为，
所以，，

因为，
所以，即

而，
所以有．

故选：A

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了利用正弦函数单调性比较正弦值大小，属于基础题．

首先利用诱导公式将化为，由正弦函数的单调性可与比较大小，接下来根据，据此可得出答案．

【解答】

解：由诱导公式得，
且在上是单调递增函数，

因为，所以，

因为，所以．

故选：D．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

此题考查两角和的正弦公式和二倍角公式的应用，考查正弦函数的单调性，属于基础题

先利用两角和的正弦公式对a化简，利用二倍角公式对b化简，然后利用正弦函数的单调性即可比较大小

【解答】

解：，

 ，，

因为，

所以根据正弦函数的性质知，即可，

故选：B

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，根据两角和余弦公式、诱导公式、二倍角的余弦公式和同角三角函数的平方关系，化简，是解答本题的关键，属于中档题．

利用两角和的余弦公式及诱导公式，我们可得，由二倍角的正弦公式和同角三角函数的平方关系，可得，由余弦的二倍公式，可得，再结合正弦函数的单调性，即可得到的大小关系．

【解答】

解：， 
，

 ，

又，

 故选：A．

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数值的大小比较，意在考查学生对于函数单调性的应用．

化简得到，利用函数的单调性得到答案．

【解答】

解：，
因为在锐角范围内单调递增，
故，
所以，

故选：C．

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数值比较大小，掌握正弦函数的单调性是解题关键，解题时用诱导公式化角为同一单调区间，然后再利用单调性比较大小．

用诱导公式化角到正弦函数的同一个单调区间上，再由单调性得结论．

【解答】

解：，，
又，

在上是减函数，
所以，即．

故选：A．

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查诱导公式和正弦函数的单调性的应用．

先根据诱导公式得到和，再结合正弦函数的单调性可得到从而可确定答案．

【解答】

解：，
，

由正弦函数的单调性得，
即．

故选：A

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数值的比较大小，解题方法是首先化简各函数，应用三角函数恒等变换公式化简函数，注意转化为同一个三角函数，并且把角转化到三角函数的同一单调区间上，然后由三角函数的单调性得大小关系．

由两角差的正弦公式，余弦和正弦的二倍角公式化简，然后由正弦函数的单调性得出结论．

【解答】

解：，

，

，

显然，所以．

故选：B．

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的奇偶性和周期的计算，逻辑推理和计算能力，属于中档题．
由，可知是奇函数，分析可得，即函数是周期为3的周期函数，据此可得，结合函数的解析式分析可得答案．

【解答】

解：由，可知是奇函数，

，即，

，可得周期，则，

当时，，
，得．
故选：A．

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的性质，利用函数周期性求对应区间解析式，进而求最值，属于简单题；
由已知有周期为1，利用周期性可得时，即可求其最小值．

【解答】

解：由知：，

令，有，则，

，

故在上的最小值为．
故选：D

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的周期以及求函数值，属于基础题．
先求出函数的周期，再利用周期可求的值．

【解答】

解：  因为，故即．

故，故的周期为8，

所以，

故选：B．

13.【答案】2
 

【解析】

【分析】

本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性与周期性，属于基础题．
根据题意，分析可得，则函数是周期为6的周期函数，则有，结合函数的解析式可得答案．

【解答】

解：根据题意，对任意都有，
则，
则函数是周期为6的周期函数，
则，
当时，，则，
故，
故答案为：2．

14.【答案】，
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了对数函数及其性质与函数的定义域，正弦函数的性质，属于基础题．
根据题意知，，有，求解即可．

【解答】

解：根据题意知，，有，
解得，，
故所求定义域为，
故答案为，

15.【答案】，
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数定义域的求解，根据根式函数成立的条件以及三角函数的性质是解决本题的关键．属于基础题．
根据函数成立的条件进行求解，即可得解．

【解答】

解：要使函数有意义，则，即，
所以，，
即函数的定义域为，，
故答案为：，．

16.【答案】答案不唯一
 

【解析】

【分析】

根据题意，联想余弦函数的性质，分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性、周期性，注意常见函数的奇偶性、周期性，属于基础题．

【解答】

解：根据题意，要求函数是最小正周期为2的偶函数，
可以联想余弦函数，
则，
故答案为：答案不唯一

17.【答案】，
 

【解析】

【分析】

本题考查正弦函数的图像和性质，属于中档题．
将代入函数解析式即可求出，，解出，从而得到结果．

【解答】

解：由题意可得：
，
因为，
所以时，，
即，即，
所以，
所以，，
所以x的取值范围为，，
故答案是0；，
 

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查五点法，难度一般．
根据五点法，可以知道五点纵坐标取值，再将代入，，根据五点法即可得解．

【解答】解：根据正弦函数的图象，可以知道，用五点法画，三个函数的图象，取的第四个点纵坐标为，
将分别代入，，
根据五点法可得，
，，
，，
所以，第四个点的坐标分别为： ，．

故答案为；．
 

19.【答案】解：由题意可得，解得，
即集合．
，，
令，则，
当时，函数取得最大值为．
 

【解析】本题主要考查定义域的求法，三角函数的最值，属于中档题．
由题意列不等式组，即可求解集合A；
利用同角三角函数的基本关系可得，利用换元法及二次函数的性质即可求得最大值．
 

20.【答案】解：根据题意：函数，
令，，
则，
当时，即，
，所以无解．
当时，即，
，即，
所以或舍去，
当时，即时，
，所以，舍去，
综上所述：．
当时，，
当时，即时，函数的最大值为5．
即当取值集合为时，函数的最大值为5．
 

【解析】直接利用分类讨论思想的应用，讨论区间和对称轴的关系求出a的值．
利用正弦型函数的性质的应用求出函数的最值．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．
 

21.【答案】解：由题意得：．

令，．

，．

当，即时，，，所以无解；
当，即时，，
即，解得或舍去；
当，即时，，所以舍去．
综上：．
当时，．
当，即，时，．
综上，当x的取值集合为时，函数y的最大值为5．

【解析】本题考查三角函数的最值问题，属于中档题．
设，则，讨论、和，即可得解；
，进而可求得结果．
 

22.【答案】解：函数
，
，
，
当，即时，则时，取得最小值；
当，即时，则时，取得最小值；
当，即时，则时，取得最小值，
综上可得，．
，
，
由，可得，
令，则，
当时，等式显然不成立，故，
则，
令，则，
则，
由函数的单调性易得在上，a随m的增大而减小，
．
 

【解析】本题考查三角函数的值域，考查了二次函数最值的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，属于中档题．
利用三角函数的值域，二次函数的性质，分类讨论，求得的最小值；
先通过换元将原问题转化为，，利用函数的单调性即可求得a的取值范围．
 

23.【答案】解：Ⅰ根据题意，得，即，
，或，，
函数的定义域为．
Ⅱ，
，
，
，
，即．
令，则，，，
函数的图象关于直线对称，
当时，在上单调递增，
；
当时，在上单调递减，
；
当时，．
函数的最小值；
Ⅲ，
在R上单调递增且为奇函数．
又对于任意，不等式恒成立．
对于任意，不等式恒成立．
令，则在R上单调递增，
又，
对于任意，不等式在R上恒成立，即在R上恒成立．
当时，不合题意；
当时，不合题意；
当时，则，即，不合题意．
综上所述，不存在符合条件的实数b，使得对于任意，不等式恒成立．
 

【解析】本题考查了函数的定义域、三角不等式的求解、含有参数的二次函数最值问题、不等式恒成立问题，要掌握不等式恒成立问题的一般解法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于拔高题．
Ⅰ利用函数定义域即为使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，列出不等关系，结合三角不等式的解法求解即可；
Ⅱ先利用正弦函数的性质求出的范围，令，从而得到函数，利用二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分别求解最值即可；
Ⅲ求出的解析式，判断它的单调性与奇偶性，令，从而得到的单调性，将不等式恒成立转化为在R上恒成立，然后对b的范围进行分类讨论，分别求解即可求解．