高中数学第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换本节综合与测试优秀同步测试题

7.4数学建模活动：周期现象的描述同步练习人教  B版（2019)高中数学必修第三册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在ts时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以t为横坐标，h为纵坐标，下列说法错误的是 

A. 小球在开始振动即时的位置在
B. 小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为2厘米
C. 小球往复运动一次所需时间为
D. 每秒钟小球能往复振动次
 

2. 一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面即OM长，巨轮的半径为30m，，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为，则

A.
B.
C.
D.
 

3. 如图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是

A.
B.
C.
D.

4. 达芬奇的经典之作蒙娜丽莎举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对蒙娜丽莎的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：，，其中根据测量得到的结果推算：将蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于

A.  B.  C.  D.

5. 敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为其中，t表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定A和的值分别为       

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

6. 如图，一个大风车的半径是8米，每12分钟旋转一周，最低点离地面2米，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离米与时间分钟之间的函数关系是

A.
B.
C.
D.
 

7. 商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？

A.  B.  C.  D.

8. 已知某海滨浴场的海浪高度米是时间，单位：小时的函数，记作下表是某日各时的浪高数据：

经长期观测，的曲线可近似地看成是函数的图象．根据以上数据，你认为一日持续24小时内，该海滨浴场的海浪高度超过米的时间为

A. 10小时 B. 8小时 C. 6小时 D. 4小时

9. 声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的有    ．

A.

函数不具有奇偶性

B. 函数在区间上单调递增
C. 若某声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音响度大
D.

若某声音甲对应函数近似为，则声音甲一定比纯音更低沉

10. 如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点点P与摩天轮天轮中心O的高度相同时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是

A. 8分钟 B. 10分钟 C. 12分钟 D. 14分钟

11. 人的血压在不断地变化，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的度数就是收缩压和舒张压，度数为标准值设甲某的血压满足函数式，其中为血压单位：，t为时间单位：，对于甲某而言，下列说法正确的是   

A. 收缩压和舒张压均高于相应的标准值
B. 收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C. 收缩压高于标准值舒张压低于标准值
D. 收缩压低于标准值舒张压高于标准值

12. 如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为

A. 75米 B. 85米
C. 米 D. 米

二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）

13. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用如图假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水简M距离水面的高度单位：米与转动时间单位：秒满足函数关系式，，且时，盛水筒M与水面距离为米，当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为           米

14. 港口水深是港口重要特征之一，表明其自然条件和船舶可能利用的基本界限，如下图是某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深单位：的最大值为          ．

15. 潍坊的传统民间工艺有着悠久的历史和深厚的文化底为以扬民族文化，潍坊某中学开展劳动实习，学生到一个铸造厂学习铁皮裁剪技术，如图所示，铁皮原料的边界由一个半径为R的半圆弧点o为圆心和直径MN围成，甲班学生决定将该铁皮原料裁剪成一个矩形ABCD，则当该矩形ABCD的周长最大时，          ．
16. 如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动开始时小球在平衡位置上方处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是，每经过小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y与振动时间x的关系式可以是          ．
17. 电流强度安随时间秒变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是          安．

18. 在电流强度与时间的关系，要使t在任意的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值，则正整数的最小值为          ．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边CD为半圆的直径，O为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形EFG，其底边，点E在半圆上．
    
    设，求三角形木块EFG面积；
    设，试用表示三角形木块EFG的面积S，并求S的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，某游乐场有一个半径为50米的摩天轮，该摩天轮的圆心O距离地面52米，摩天轮逆时针匀速转动，每转动一圈需要t分钟．若游客从最低点处登上摩天轮，从摩天轮开始转动计时．
    
    
     

Ⅰ求游客与地面的距离米与摩天轮转动时间分的函数关系式；

Ⅱ摩天轮转动一圈的过程中，游客的高度在距地面77米及以上的时间不少于4分钟，求t的最小值．






 

21. 如图，扇形钢板POQ的半径为，圆心角为现要从中截取一块四边形钢板其中顶点B在扇形POQ的弧PQ上，A，C分别在半径OP，OQ上，且，．

设，试用表示截取的四边形钢板ABCO的面积，并指出的取值范围；

求当为何值时，截取的四边形钢板ABCO的面积最大．






 

22. 如图，某市政府计划在长为1km的道路AB一侧的一片区域内搭建一个传染病预防措施宣传区该区域由直角三角形区域为直角和以BC为直径的半圆形区域拼接而成点P为半圆弧上的一点异于B、，，设
    为了让更多的市民看到宣传内容，达到最佳宜传效果，需满足，且
    达到最大值求为何值时，最大，最大值为多少
    为了让宣传栏达到最佳稳定性，更加耐用，需满足，且达到最大值．
    问当为何值时，取得最大值．

23. 下图为一个观览车示意图，该观览车的巨轮的半径，巨轮上最低点A与地面之间的距离为，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设点B与地面之间的距离为h．
     

求的解析式；

若当时对应巨轮边沿上一点M，求点M到地面的距离．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象，及其各参数的物理意义，考查三角函数模型的应用，属于基础题．
A、把代入已知函数，求得y值即可得初始位置；B、由解析式可得振幅，即为所求；C、求函数周期可得所求；D、由频率的意义可得．

【解答】

解：由题意可得在一个周期的闭区间上的图象如下，

A、由题意可得当时，，
故小球在开始振动时的位置在；
B、由解析式可得振幅；
故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为2厘米；
C、可得函数的周期为，故小球往复运动一次需；
D、可得频率为 ，即每秒钟小球能往复振动次
故选D．

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的图象与性质．
由实际问题确定解析式中A的值以及函数的周期，从而求得，再由求得．

【解答】解：设，
易知最大值为60，最小值为0，
所以又以及可得，，
当时，所以；
所以解析式为，
故选B．  

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
建立适当的直角坐标系，用坐标表示点P，建立高度H与t的函数关系式，从而求出对应的函数值．

【解答】

解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴，建立直角坐标系．

设时，游客甲位于点，以OP为终边的角为，
根据摩天轮转一周大约需要，
可知座舱转动的角速度约为，
由题意可得，．
故选B．

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】

设可得，可求的值，进而得出结论．
本题考查了三角函数在实际生活中的应用，直角三角形的边角关系、圆弧切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

【解答】

解：，，其中．
设．
则，
由题意必为锐角，可得，
设蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．
则，
．
故选：A．
 

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】

由y与t的函数关系以及函数图象求出周期T的值与A的值，再求的值．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．

【解答】

解：由图可知，，
故y与t的函数关系为，且，
所以周期，所以．
故选：D．

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

由实际问题设出P与地面高度与时间t的关系，，由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出，通过初始位置求出，从而得解．
本题考查通过实际问题得到三角函数的性质，由性质求三角函数的解析式．

【解答】

解：设，，
由题意，，，
则，
，，
可得：，
的初始位置在最低点，时，有：，
即：，
解得：，，
，
与t的函数关系为：，，
故选D．
 

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题为三角函数模型的实际应用，根据三角函数的性质判断其增区间即可．

【解答】

解：由，，
可知函数的增区间为，．
当时，，而．
故选C．

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由表格可得：，，解得A，b．，令，解出即可．

【解答】

解：由表格可得：，，
解得，．
，
，
令，
化为：，
由，解得，10，14，22，
满足：的t的范围是，，，共8个小时．
故选：B．

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数在物理中的应用，属于中档题．
结合奇偶性的定义判断即可用正弦型函数的单调性作出判断，取特殊值即可．

【解答】

解：，

，
为奇函数，

B.时，，，，故，，，在上均为增函数，

故在区间上单调递增．
C.，

，

故声音甲的响度不一定比纯音响度大，
D.，
，

甲不一定比纯音更低沉．

故选：B．

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】

根据题意求出此人相对于地面的高度函数，利用，求出此人相对于地面的高度不小于17的时间即可．
本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．

【解答】

解：由题意知，在t时摩天轮上某人所转过的角为，
所以在t时此人相对于地面的高度为
；
由，
得，
解得，即；
所以此人有10分钟相对于地面的高度不小于．
故选：B．

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数模型的应用，三角函数的最值，属于基础题．
求得函数的最大值和最小值，结合收缩压和舒张压的标准值可得出结论．

【解答】

解：，
，，
则甲某血压的收缩压为126mmHg，舒张压为78mmHg，
因此，收缩压高于标准值、舒张压低于标准值．
故选：C．

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数模型的应用，属于基础题．
设出函数的解析式，利用待定系数法求得对应系数，写出的解析式，再计算的值．

【解答】

解：设P与地面的高度与时间t的关系为：
由题意可知，，，
，即，
又，即，
故，
，
．
故选：B．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数模型的应用，考查运算求解能力，是中档题．
由已知函数解析式结合时的函数值求得，代入函数解析式，取求得H值得答案．

【解答】

解：，，
当时，，则，
，．
故H，
当时，盛水筒M与水面距离为：
．
故答案为：．

14.【答案】8m
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．
由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值．

【解答】

解：由图像知．
因为，
所以，解得，
所以这段时间水深的最大值是．
故答案为8m．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的性质以及几何应用，属于中档题．
根据题意列出，，则可知周长为，然后利用辅助角公式可得其有最大值时则此时，又为锐角则可知，又，则可求得

【解答】

解：由题可知，则可知：
，．
所以矩形ABCD的周长为：


．
其中，
当时，该矩形ABCD的周长最大，
即，又为锐角．
，

．
故答案为．

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数模型的应用，为基础题．
设函数的解析式，分别由振幅、周期求出A和的值，再由初始位置在平衡位置上方处，即时，，求出的值，从而得解析式．

【解答】

解：不妨设．
由题知，，
所以．
当时，，且小球开始向上运动，
即，
所以有，，
不妨取 ，
故所求关系式可以为
故答案为

17.【答案】5
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的图象与性质、三角函数模型的应用的相关知识，属于基础题．
根据题意先求出函数解析式，再代值求解即可．

【解答】

解：由题图可知，，
又，
，
故I．
当时，
．

18.【答案】629
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数模型的应用，函数的性质，属于基础题．
由题意得，解得，得出正整数的最小值．

【解答】

解：由题意得，即，
，
故正整数的最小值为629．

19.【答案】解：设EF交CD交于Q点，因为，

所以，，，
；
半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，则分析，即可，
，，
所以


令，，
所以，
所以，当，
的最大值为．
 

【解析】本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值，换元法的应用是求解的关键，属于中档题．
根据题意，求得EQ和OQ，即可求得三角形木块EFG面积；
根据的思路，用表示出EQ和OQ，表示S，换元，根据二次函数的最值，求得S的最大值．
 

20.【答案】Ⅰ由题意，设，
则由摩天轮的圆心O距离地面52米，可知，
解之得，每转动一圈需要t分钟，
所以，
当时，，则，
解得，
所以；
Ⅱ由游客的高度在距地面77米可知，
即，
解之得，
即，
令可得，
摩天轮转动一圈的过程中，要使在距地面77米及以上的时间不少于4分钟，
则有，即，
所以t的最小值为12．
 

【解析】本题考查三角函数模型的应用，属于中档题．
Ⅰ设出游客与地面的距离米与摩天轮转动时间分的函数关系式，分别求出A，，，b，即可求出解析式；
Ⅱ由游客的高度在距地面77米可知，可求出，则由时间不少于4分钟，可求出．
 

21.【答案】解：因为，扇形钢板POQ的圆心角为，

所以，

因为扇形钢板POQ的半径为，，，

所以，，

所以
，

，，

所以

，

所以四边形钢板ABCO的面积为：

，

其中的取值范围为．

，

因为，
所以，

所以当，即时，四边形钢板ABCO的面积最大，最大值为．

【解析】本题考查解三角形的实际应用、三角函数的实际应用、三角恒等变换和三角函数的性质，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
求出和，由即可求解；
求出，再利用的性质即可求解．
 

22.【答案】解：设，千米，则在直角中，，，
在直角中，，
，，
所以当，即，的最大值为．
在直角中，由，
可得，
在直角中，，
所以，，
所以

，
所以当时，达到最大值．
 

【解析】本题考查了利用三角函数解决最值问题，属于中档题．
利用三角函数表示，从而求出为何值时，它取最大值，并求出最大值
利用三角函数表示，从而求出为何值时，它取最大值．
 

23.【答案】解：如图，过点B作BD垂直于地面于点D，过点O作于点C，
由于，则，
根据三角函数的定义，可得，
而，
于是
由知，，
易得，
即点M到地面的距离是8m．

 

【解析】本题考查了三角函数模型的应用，是中档题．
过点B作BD垂直于地面于点D，过点O作于点C，根据三角函数的定义，可得，而，于是可得的解析式；
易得，即可得出点M到地面的距离．