华师大版八年级上册1 直角三角形三边的关系优秀课时训练

14.1.1直角三角形三边的关系同步练习华师大版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则另一条直角边为

A. 8 B. 12 C. 20 D. 65

2. 直角三角形两直角边长分别为3cm和5cm，则这个直角三角形的周长是

A. 12cm B.
C. 12cm或 D. 11cm或13cm

3. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，的三边所围成的区域面积记为，黑色部分面积记为，其余部分面积记为，则

A.  B.  C.  D.

4. 九章算术勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行绳索头与地面接触，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为     

A.  B.
C.  D.

5. 已知在中，，，，那么的面积是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是

A. 16 B. 25 C. 144 D. 169

7. 已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长的平方是   

A. 25 B. 7 C. 25或7 D. 5或12

8. 在中，有两边的长分别为1和2，则第三边的长

A.  B.  C. 或 D. 或

9. 如图，在中，，，，AD平分，交BC于点D，则BD的长为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在等边中，D是边AC上一动点，连接BD，将绕点B逆时针旋转得到，连接ED，若，则的周长的最小值是   

A. 10 B.  C.  D. 20

11. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是34，小正方形的面积是4，直角三角形较短的直角边是a，较长的直角边是b，那么的值为

A. 38 B. 49 C. 52 D. 64

12. 如图，数轴上A点表示的数为，B点表示的数是1，过点B作，且，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为：

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，在边长为2的等边中，AD是BC边上的高，点E是AC中点，点P是AD上一动点，则的最小值是          ．
    
     

14. 若直角三角形的两条边长是3cm和4cm，则它的第三条边长是_______．
15. 如图，在四边形ABCD中，B，AB，BC，点E在BC上，AEDE且AEDE，若EC则CD_____．
    
     

16. 若实数m、n满足，且m、n恰好是直角三角形的两条边长，则该直角三角形的第三边为_____________．
17. 定义：中，一个内角的度数为，另一个内角的度数为，若满足，则称这个三角形为“智汇三角形”在中，，，，D是BC上的一个动点，连接AD，若是“智汇三角形”，则CD的长是______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

18. 一个直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个菱形，求这个直四棱柱的表面积．
    
    
     

19. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线BC以的速度运动，设运动时间为．
    当为直角三角形时，求t的值；
    当为等腰三角形时，求t的值．

20. 如图，，D为AC上一点，连接BD，交BD于H，交BC于F，交AF的延长线于E，

求证：≌；

当D为AC上离A点最近的三等分点时，连接DE，求DE的长；

当D为AC上离A点最近的n等分点时，连接BE，求用含n的代数式表示，直接写出答案






 

21. 如图所示，P是等边内的一点，连接PA，PB，PC，将绕B点顺时针旋转。得，连接若，证明；  

如图所示，P是等腰直角内的一点，连接PA，PB，PC，将绕B点顺时针旋转得，连接当PA，PB，PC满足什么条件时请说明   






 

22. 已知中，，，，求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，和都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点．
     

求证：≌；

设AC和DE交于点M，若，，求AB的长．






 

24. 如图，在中，，，，若点P从点A沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B沿BC边向点C以的速度移动，两点同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．
    
    
    几秒后，的面积为？
    出发几秒后，线段PQ的长为？
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，
另一条直角边，
故选：B．
根据勾股定理解答即可．
此题主要考查了勾股定理，正确把握勾股定理是解题关键．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：5cm是直角边时，第三边，
所以，这个直角三角形的周长．
故选：B．
根据勾股定理求得直角三角形的斜边，进而得出周长即可．
本题考查了勾股定理在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理、圆面积公式以及数学常识；熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由勾股定理，由整个图形的面积减去以BC为直径的半圆的面积，即可得出结论．
【解答】
解：中，，
．
故选A．  

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】
设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【解答】
解：设绳索长为x尺，可列方程为，
故选C．  

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的运用、三角形的面积公式运用以及等腰直角三角形的判定和性质，属于基础性题目．由勾股定理可求出AD的长，利用等腰直角三角形的性质进而求出BD的长，再利用勾股定理即可求出CD的长，然后利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】
解：如图：过A作于点D，

在中，，，
，，
，
，
在中，，，
由勾股定理得，
的面积

．
故选D．  

6.【答案】B
 

【解析】分析
根据勾股定理求出AB长，由正方形性质得，再次利用勾股定理即可求得阴影部分面积．
本题考查勾股定理，掌握三角形的边长与正方形边长之间的关系是解题关键．
详解
解：如图，

根据勾股定理得出：，
，
阴影部分面积，
故选B．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：若3为一直角边长，4为斜边长，根据勾股定理得另一直角边长的平方为
若3、4是两条直角边长，根据勾股定理得斜边长的平方为，
所以第三边长的平方为25或7．
故选C．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：当2是直角边时，斜边，
当2是斜边时，直角边，
则第三边的长为或，
故选：D．
分2是直角边、2是斜边两种情况，根据勾股定理计算．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
 

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，先根据勾股定理列式求出BC，再利用三角形的面积求出BC上的高，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点D到AB、AC上的距离相等，然后利用三角形的面积求出点D到AB的距离，再利用的面积列式计算即可得解．
【解答】
解：，，，

，

边上的高，

平分，

点D到AB、AC上的距离相等，设为h，

则，

解得，

，

解得．

故选A．

10.【答案】C
 

【解析】解：如图，作于F，

是等边三角形，，
，．
在中，．

将绕点B逆时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，
的周长，
当BD最小，即时，的周长最小，
最小值．
故选C．

11.【答案】D
 

【解析】解：根据勾股定理可得，
四个直角三角形的面积之和是：，
即，
．
故选：D．
根据题意，结合图形求出ab与的值，原式利用完全平方公式展开后，代入计算即可求出其值．
本题主要考查了勾股定理，以及完全平方公式的应用，根据图形的面积关系，求得和ab的值是解题的关键．
 

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理，以及数轴与实数，关键是求出AC的长首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知，即可得出答案．
【解答】
解：，
，
，
以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点D，
，
点A表示的数是，
点D表示的数是；
故选C．  

13.【答案】
 

【解析】略
 

14.【答案】或5cm
 

【解析】

【分析】
本题考查了对勾股定理的应用，分为两种情况：当这个直角三角形的斜边长为4cm，一条直角边是3cm时，当这个直角三角形的两直角边分别是3cm，4cm时，然后利用勾股定理即可解答。
【解答】
解： 分为两种情况：
当这个直角三角形的斜边长为4cm，一条直角边是3cm时，则该三角形的另一条直角边的长为：，
当这个直角三角形的两直角边分别是3cm，4cm时，则该三角形的斜边长为：

综上所述，第三条边的长度是或5 cm。
故答案为：或5 cm．  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．过点D作交BC的延长线于点F，根据全等三角形的判定可得≌，则可利用全等三角形的性质得出，，即可由勾股定理求得CD．
【解答】
解：过点D作交BC的延长线于点F，如图，

，，
．
，
．
，
．
．
，，
≌．
，．
．
．
故答案为．  

16.【答案】5或
 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理，解答此题时要注意要分类讨论，不要漏解．同时考查了非负数的性质先由非负数的性质求出，，由于题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论．
【解答】
解：，
，，
，，
即这个直角三角形的两边长分别为3和4．
当4是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到，
当4是此直角三角形的直角边时，设斜边为x，则由勾股定理得到：，
所以该直角三角形第三条边为5或．
故答案为5或．  

17.【答案】
 

【解析】解：作于设，．

设，，当时，
，
，
，
∽，
，
舍去；
设，，当时，
，
，
，，
，
，，，
≌，
，
，，，
，
，
设，则，
在中，则有，
解得．
，
故答案为：．
作于分两种情形：设，，当时；设，，当时，分别求解即可．
本题考查的是勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于选择题中的压轴题．
 

18.【答案】解：俯视图是菱形，底面菱形边长为，面积为，  则侧面积为，直棱柱的表面积为．
 

【解析】略
 

19.【答案】解：，，，
 cm．
当为直角时，点P与点C重合， cm，
．
当为直角时， cm，， cm，
在中，，
在中，，
，
解得．
综上，当为直角三角形时，或．
解：当时，．
当时，，．
当时， cm，， cm，
在中，，
，解得．
综上，当为等腰三角形时，或8或．
 

【解析】首先直接根据勾股定理求出BC的长度，再分两种情况：当为直角时，当为直角时，分别求出此时的t值即可；
当为等腰三角形时，分三种情况：当时；当时；当时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
 

20.【答案】解：如图1，中，，，
，
，
又，
，
在和中，
，
≌；

如图2，≌，
，
为AC上离A点最近的三等分点，，
，，
，
，
中，；

如图3，≌，
，
为AC上离A点最近的n等分点，，
，，
，
，
，
：：．
 

【解析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以勾股定理的综合应用，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
先根据中，，，得到，再根据，运用ASA判定≌即可；
先根据全等三角形的性质得到，再根据D为AC上离A点最近的三等分点，求得，，再根据，，运用勾股定理求得DE即可；
根据全等三角形的性质得到，再根据D为AC上离A点最近的n等分点，求得AD和CD，再根据，求得和，最后计算其比值即可．
 

21.【答案】解：证明：由旋转的性质知：、，，；
是等边三角形；
；
，即；
是直角三角形，且；

；理由如下：
同可得：是等腰直角三角形，则，即；
由旋转的性质知：；
在中，若，则，即；
故当时，．
 

【解析】由旋转的性质可得到的条件是：、，；
由可证得，联立，即可得到是等边三角形的结论，则；将等量线段代换后，即可得出，由此可证得；
由的解题思路知：是等腰，则，其余过程同，只不过所得结论稍有不同．
 

22.【答案】解：作交或BC延长线于点D，
如图1，当AB、AC位于AD异侧时，

在中，，，
，，
在中，，
，
则，
；
如图2，当AB、AC在AD的同侧时，


由知，，，
则，
．
综上，的面积是或，
 

【解析】略
 

23.【答案】解：证明：和都是等腰直角三角形，，
，，，
在和中

；
和都是等腰直角三角形，
，，
又由可得，
，，
，
又，，
由勾股定理可得：，
又，
，
．
 

【解析】本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，解答此题的关键是根据全等得到相应的线段相等．
根据等腰直角三角形性质求出，，，求出，根据SAS证出即可；
先证得，然后由勾股定理得到AE的长，再根据全等得到，最后根据线段的和差可得结论．
 

24.【答案】解：设运动时间为t秒时，则，．
根据题意，得：，
整理，得：，
解得：，舍去，
答：出发2秒后的面积为；
，，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，，
答：出发秒或2秒后，线段PQ的长为．
 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据三角形的面积公式，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
根据勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．