第03讲 函数的奇偶性及周期性(解析版)练习题
展开第3讲 函数的奇偶性及周期性
[A级 基础练]
1.(多选)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( )
A.y=x2 B.y=|x-1|
C.y=|x|-1 D.y=2x
解析:选AC.选项A,C中的函数为偶函数且在(0,+∞)上单调递增;选项B,D中的函数均为非奇非偶函数.所以排除选项B,D,故选AC.
2.(2020春•延庆区期末)在下列函数中,定义域为实数集的奇函数为
A. B. C. D.
【分析】结合基本初等函数的性质及奇偶性的定义即可判断.
【解答】解:根据幂函数的性质可知,为上的奇函数,符合题意;
为上偶函数,不符合题意;
的定义域不是,不符合题意;
不是奇函数,不符合题意.
故选:.
3.(2021·贵阳市第一学期监测考试)已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)=2x,当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),当x>时,f=f,则f(5)=( )
A. B.-
C.-2 D.2
解析:选B.因为当x>时,f=f,所以f(x+1)=f(x),所以f(5)=f(1).因为当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1).又当x<0时,f(x)=2x,所以f(5)=f(1)=-f(-1)=-2-1=-,故选B.
4.设函数f(x)=,则下列结论错误的是( )
A.|f(x)|是偶函数 B.-f(x)是奇函数
C.f(x)|f(x)|是奇函数 D.f(|x|)f(x)是偶函数
解析:选D.因为f(x)=,
则f(-x)==-f(x).
所以f(x)是奇函数.
因为f(|-x|)=f(|x|),
所以f(|x|)是偶函数,所以f(|x|)f(x)是奇函数.
5.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+3)=f(x).若f(2)>1,f(7)=a,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,-3) B.(3,+∞)
C.(-∞,-1) D.(1,+∞)
解析:选D.因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数,所以f(7)=f(7-9)=f(-2).又因为函数f(x)是偶函数,
所以f(-2)=f(2),所以f(7)=f(2)>1,
所以a>1,即a∈(1,+∞).故选D.
6.已知f(x)是R上的偶函数,且当x>0时,f(x)=x2-x-1,则当x<0时,f(x)=________.
解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以当x<0时,-x>0.由已知f(-x)=(-x)2-(-x)-1=x2+x-1=f(x),所以f(x)=x2+x-1.
答案:x2+x-1
7.若函数f(x)=为奇函数,则实数a的值为________,且当x≥4时,f(x)的最大值为________.
解析:由f(x)为奇函数易知a=2,
当x≥4时,f(x)=在[4,+∞)上单调递减,
所以当x=4时,f(x)max=.
答案:2
8.已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=________.
解析:方法一:因为f(x)在R上是奇函数,且f(1-x)=f(1+x).
所以f(x+1)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x).
因此f(x+4)=f(x),则函数f(x)是周期为4的函数,
由于f(1-x)=f(1+x),f(1)=2,
故令x=1,得f(0)=f(2)=0,
令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,
令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0,
故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2.
方法二:取一个符合题意的函数f(x)=2sin ,则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列.
故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=12×[2+0+(-2)+0]+2+0=2.
答案:2
9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x有f=-f成立.
(1)证明y=f(x)是周期函数,并指出其周期;
(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.
解:(1)因为f=-f,
且f(-x)=-f(x),
所以f(x+3)=f
=-f
=-f(-x)=f(x),
所以y=f(x)是周期函数,且3是其一个周期.
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,
所以f(0)=0,
且f(-1)=-f(1)=-2,
又T=3是y=f(x)的一个周期,
所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.
10.设f(x)是定义域为R的周期函数,最小正周期为2,且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时,f(x)=-x.
(1)判定f(x)的奇偶性;
(2)试求出函数f(x)在区间[-1,2]上的表达式.
解:(1)因为f(1+x)=f(1-x),所以f(-x)=f(2+x).
又f(x+2)=f(x),所以f(-x)=f(x).又f(x)的定义域为R,
所以f(x)是偶函数.
(2)当x∈[0,1]时,-x∈[-1,0],
则f(x)=f(-x)=x;
从而当1≤x≤2时,-1≤x-2≤0,
f(x)=f(x-2)=-(x-2)=-x+2.
故f(x)=
[B级 综合练]
11.对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:选B.若y=f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),所以|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以y=|f(x)|的图象关于y轴对称,但若y=|f(x)|的图象关于y轴对称,y=f(x)不一定是奇函数,如y=|f(x)|=x2,故选B.
12.(2020•徐州模拟)已知定义在上的偶函数满足.且当时,.若对于任意,,都有,则实数的取值范围为 .
【分析】先求得(1)的值,由此求得的值,证得时周期为4的函数,将转化为,根据函数周期性和对称性,将原式转化为,结合的取值范围即可求得的取值范围.
【解答】解:因为.令,则(1),即(1),
由于时,.所以(1),解得,
即有当时,.
因为,
又因为为偶函数,所以,
再根据.,
则,
所以函数是周期为4的周期函数,
当,时,,,所以,
所以当,时,.
因为,所以,故,
所以当,时,,,所以.
作出函数的图象如图:
由,得,对于任意,成立
当时,,解得,所以,即对于任意,成立,
当,时,由得的最大值,由于在,单调递减,所以,
由得的最小值,由于在,单调递增,所以,
综上,的取值范围是,,
故答案为:,.
13.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积.
解:(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数.
所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)
=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),
得f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1)),
即f(1+x)=f(1-x).
从而可知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.
设当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4.
14.已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
解:(1)设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
于是当x<0时,
f(x)=x2+2x=x2+mx,
所以m=2.
(2)由(1)可画出f(x)的图象,知f(x)在[-1,1]上是增函数,要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增.
结合f(x)的图象知
所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].
[C级 创新练]
15.若函数f(x)同时满足下列两个条件,则称该函数为“优美函数”:
(1)∀x∈R,都有f(-x)+f(x)=0;
(2)∀x1,x2∈R,且x1≠x2,都有<0.
①f(x)=sin x;②f(x)=-2x3;③f(x)=1-x.
以上三个函数中,“优美函数”的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:选B.由条件(1),得f(x)是R上的奇函数,由条件(2),得f(x)是R上的减函数.
对于①,f(x)=sin x在R上不单调,故不是“优美函数”;对于②,f(x)=-2x3既是奇函数,又在R上单调
递减,故是“优美函数”;对于③,f(x)=1-x不是奇函数,故不是“优美函数”.故选B.
16.(多选)设函数f(x)的定义域为D,如果对任意的x∈D,存在y∈D,使得f(x)=-f(y)成立,则称函数f(x)为“H函数”.下列为“H函数”的是( )
A.y=sin xcos x B.y=ln x+ex
C.y=2x D.y=x2-2x
解析:选AB.由题意,得“H函数”的值域关于原点对称.A中,y=sin xcos x=sin 2x∈,其值域关于原点对称,故A是“H函数”;B中,函数y=ln x+ex的值域为R,故B是“H函数”;C中,因为y=2x>0,故C不是“H函数”;D中,y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,其值域不关于原点对称,故D不是“H函数”.综上所述,A,B是“H函数”,故选AB.
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