高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第4课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第4课时导学案，共6页。

[重点] 二倍角公式的推导．
[难点] 二倍角公式的变形应用．
知识点一 二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导
[填一填]
在公式sin(α＋β)，cs(α＋β)，tan(α＋β)中，令α＝β，就可得到相应的二倍角的三角函数公式：
sin2α＝2sinαcsα.
cs2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α).
上面三组公式，称为倍角公式．
[答一答]
1．倍角公式中的“倍角”是什么意思？
提示：倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为eq \f(α,2)的二倍，3α作为eq \f(3α,2)的二倍，α＋β作为eq \f(α＋β,2)的二倍等情况．
2．正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)对于任意角α，总有sin2α＝2sinα.(×)
(2)对于任意角α，总有cs2α＝1－2cs2α.(×)
(3)对于任意角α，总有tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α).(√)
知识点二 倍角公式的变形
[填一填]
1．1±sin2α＝(sinα±csα)2；1＋cs2α＝2cs2α；1－cs2α＝2sin2α.
2．sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1－csα,2)；cs2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋csα,2)；
tan2eq \f(α,2)＝eq \f(1－csα,1＋csα).
[答一答]
3．二倍角公式及变形公式的作用是什么？
提示：利用上述公式不仅可以促成二倍角与单角的互化，同时还可以实现式子次数的转化．
4．请把正确的答案写在横线上．
(1)sin22°30′cs22°30′＝eq \f(\r(2),4).
(2)2cs275°－1＝－eq \f(\r(3),2).
(3)sin215°－cs215°＝－eq \f(\r(3),2).
类型一 化简求值
[例1] 求下列各式的值：
(1)cseq \f(π,12)cseq \f(5π,12)＝________；
(2)eq \f(1,2)－cs215°＝________；
(3)eq \f(1－tan215°,tan15°)＝________.
[解析] (1)原式＝cseq \f(π,12)sineq \f(π,12)＝eq \f(1,2)×2cseq \f(π,12)sineq \f(π,12)＝eq \f(1,2)sineq \f(π,6)＝eq \f(1,4).
(2)原式＝eq \f(1,2)(1－2cs215°)＝－eq \f(1,2)cs30°＝－eq \f(\r(3),4).
(3)原式＝eq \f(2,tan30°)＝2eq \r(3).
[答案] (1)eq \f(1,4) (2)－eq \f(\r(3),4) (3)2eq \r(3)
1记住公式的推导过程及公式特征才便于应用.
2与公式不符，但是适当变形后就可套用公式的，要先变形化简再求值.
[变式训练1] (1)(cs75°－sin75°)(cs75°＋sin75°)
＝－eq \f(\r(3),2).
(2)8sineq \f(π,48)cseq \f(π,48)cseq \f(π,24)cseq \f(π,12)＝eq \f(1,2).
解析：(1)原式＝cs275°－sin275°＝cs150°＝－sin60°＝－eq \f(\r(3),2).
(2)原式＝4sineq \f(π,24)cseq \f(π,24)cseq \f(π,12)＝2sineq \f(π,12)cseq \f(π,12)＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2).
类型二 条件求值
[例2] 若cs(eq \f(π,4)－x)＝－eq \f(4,5)，eq \f(5π,4)[分析] 化简所求式，使其出现角(eq \f(π,4)－x)，整体代入求解．
[解] eq \f(sin2x－2sin2x,1＋tanx)＝eq \f(2sinxcsx－sinxcsx,csx＋sinx)＝eq \f(sin2xcsx－sinx,csx＋sinx)＝sin2xeq \f(1－tanx,1＋tanx)＝sin2xtan(eq \f(π,4)－x)＝cs(eq \f(π,2)－2x)tan(eq \f(π,4)－x)＝[2cs2(eq \f(π,4)－x)－1]tan(eq \f(π,4)－x)，
∵eq \f(5π,4)又∵cs(eq \f(π,4)－x)＝－eq \f(4,5)，
∴sin(eq \f(π,4)－x)＝eq \f(3,5)，tan(eq \f(π,4)－x)＝－eq \f(3,4).
∴原式＝(2×eq \f(16,25)－1)×(－eq \f(3,4))＝－eq \f(21,100).
先化简，再求值，化简时要注意已知条件和结论中各角之间的相互关系.尽量出现条件中的角， 以便能整体代入，减少运算量.
[变式训练2] 已知sin(eq \f(π,4)－x)＝eq \f(5,13)，0解：原式＝eq \f(sin\f(π,2)＋2x,cs\f(π,4)＋x)＝eq \f(2sin\f(π,4)＋xcs\f(π,4)＋x,cs\f(π,4)＋x)＝2sin(eq \f(π,4)＋x)．
∵sin(eq \f(π,4)－x)＝cs(eq \f(π,4)＋x)＝eq \f(5,13)，且0∴eq \f(π,4)＋x∈(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))，
∴sin(eq \f(π,4)＋x)＝eq \r(1－cs2\f(π,4)＋x)＝eq \f(12,13)，
∴原式＝2×eq \f(12,13)＝eq \f(24,13).
类型三 倍角公式与三角函数性质的综合应用
[例3] 已知函数f(x)＝sin2ωx＋eq \r(3)sinωxsin(ωx＋eq \f(π,2))(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))上的取值范围．
[分析] (1)已知函数解析式是含有二次的三角函数式，可利用二倍角公式降幂，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．由给出的函数的最小正周期为π，可利用T＝eq \f(2π,ω)确定出ω的值．
(2)由区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))求f(x)的取值范围，一定要先确定ωx＋φ的范围，再求f(x)的取值范围．
[解] (1)f(x)＝eq \f(1－cs2ωx,2)＋eq \f(\r(3),2)sin2ωx＝eq \f(\r(3),2)sin2ωx－eq \f(1,2)cs2ωx＋eq \f(1,2)＝sin(2ωx－eq \f(π,6))＋eq \f(1,2).
因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，
所以eq \f(2π,2ω)＝π.解得ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x－eq \f(π,6))＋eq \f(1,2).
因为0≤x≤eq \f(2π,3)，所以－eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6)，
所以－eq \f(1,2)≤sin(2x－eq \f(π,6))≤1.
所以0≤sin(2x－eq \f(π,6))＋eq \f(1,2)≤eq \f(3,2)，
即f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))上的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2))).
要研究三角函数的性质，需将所给函数式利用和差角公式和二倍角公式化为y＝Asinωx＋φ＋B或y＝Acsωx＋φ＋B的形式，进而依据y＝sinx或y＝csx的性质对待求函数进行性质研究.
[变式训练3] 已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))sinx－eq \r(3)cs2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的单调性．
解：(1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))sinx－eq \r(3)cs2x＝csxsinx－eq \f(\r(3),2)(1＋cs2x)＝eq \f(1,2)sin2x－eq \f(\r(3),2)cs2x－eq \f(\r(3),2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－eq \f(\r(3),2)，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为eq \f(2－\r(3),2).
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))时，0≤2x－eq \f(π,3)≤π，从而
当0≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)，即eq \f(π,6)≤x≤eq \f(5π,12)时，f(x)单调递增；
当eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤π，即eq \f(5π,12)≤x≤eq \f(2π,3)时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,12)))上单调递增；在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(2π,3)))上单调递减．
1.eq \f(sin20°cs20°,cs2155°－sin2155°)的值是( A )
A．eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
解析：原式＝eq \f(\f(1,2)sin40°,cs310°)＝eq \f(\f(1,2)sin40°,cs50°)＝eq \f(\f(1,2)sin40°,sin40°)＝eq \f(1,2).
2．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(3,5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))的值为( D )
A．eq \f(19,25) B．eq \f(16,25)
C．eq \f(14,25) D．eq \f(7,25)
解析：因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(3,5)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(7,25).
3．函数y＝2cs2x的一个单调递增区间是( B )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
解析：∵y＝2cs2x＝1＋cs2x，
∴函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递增．故选B．
4．已知taneq \f(α,2)＝2，则tanα的值为－eq \f(4,3)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值为－eq \f(1,7).
解析：∵taneq \f(α,2)＝2，∴tanα＝eq \f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(2×2,1－22)＝－eq \f(4,3)，
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq \f(－\f(4,3)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)×1)))＝－eq \f(1,7).
5．化简下列各式：
(1)eq \f(1,1－tanθ)－eq \f(1,1＋tanθ)；
(2)eq \f(2cs2α－1,2tan\f(π,4)－αsin2\f(π,4)＋α).
解：(1)原式＝eq \f(1＋tanθ－1－tanθ,1－tanθ1＋tanθ)
＝eq \f(2tanθ,1－tan2θ)＝tan2θ.
(2)原式＝eq \f(cs2α,2tan\f(π,4)－αcs2\f(π,2)－\f(π,4)－α)
＝eq \f(cs2α,2tan\f(π,4)－αcs2\f(π,4)－α)
＝eq \f(cs2α,2sin\f(π,4)－αcs\f(π,4)－α)
＝eq \f(cs2α,sin2×\f(π,4)－2α)＝eq \f(cs2α,cs2α)＝1.
——本课须掌握的两大问题
1．对“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是eq \f(3,2)α的二倍；eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍；eq \f(α,3)是eq \f(α,6)的二倍；eq \f(α,2n)＝eq \f(2·α,2n＋1)(n∈N*)．
2．二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：①1＋cs2α＝2cs2α，②cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)，③1－cs2α＝2sin2α，④sin2α＝eq \f(1－cs2α,2).