人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）学案

第五章 三角函数

5.4三角函数的图像与性质

第3课时正切函数的性质与图像

【课程标准】

1. 理解并掌握作正切函数图像的方法
2. 掌握正切函数的性质
3. 会利用正切函数的图像及性质解决问题

【知识要点归纳】

1.正切函数的图象

由于tan（x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x∈的图象左、右移动kπ个单位（k∈z）就得到y=tanx（x∈R且x≠kπ+）的图象.

2．正切函数的性质

1．定义域：，

2．值域：R 

3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是

4．奇偶性：正切函数是奇函数，即．

5.对称性：观察正切函数的图象还可得到：点是函数，且的对称中心，正切函数图象没有对称轴

6．单调性：在开区间内，函数单调递增

注意：

正切函数在开区间内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．

3.正切函数型的性质

1．定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．

2．值域：

3．单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围．

4.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

【经典例题】

例1．（1）作出函数y=tan x+2，的简图；

（2）作出下列函数的图象，并判断它们的周期性．  ①y=tan |x|；    ②y=|tan x|

【解析】（1）将函数y=tan x的图象向上平移2个单位得到，，如图．

（2）①∵

故当x≥0时，函数y=tan |x|在y轴右侧的图象就是y=tan x的图象；

当x＜0时，函数y=tan |x|在y轴左侧的图象为y=tan x在y轴左侧的图象关于x对称的图象，如图．

观察图象可知，y=tan |x|不是周期函数．

②∵，类似①可作出其图象，如下图所示．

观察图象可知，y=|tan x|是以π为周期的周期函数．

【变式1】函数在区间内的图象大致是（    ）

【答案】D

例2．判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期.

（1）；  （2）；  （3）；  （4）.

【解析】（1）

函数是周期函数，最小正周期是．

（2）

是周期函数，最小正周期是．

（3）由图象知，函数不是周期函数

（4）是周期函数，最小正周期是．

例3．设函数．

（1）求函数的定义域、周期和单调区间

（2）求不等式的解集．

【解析】（1）根据函数，可得，k∈Z，

求得，故函数的定义域为．

它的周期为．

令，k∈Z，求得，

故函数的增区间为，k∈Z．

（2）求不等式，即，∴，

求得，故不等式的解集为，k∈Z．

【变式1】求函数的单调增区间.

【答案】

【变式2】函数在区间单调递减，求实数的取值范围.

【解析】函数在区间单调递减

，且，即： ，解得：

，

例4．函数f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两个零点的距离为，则的值是（    ）

A．    B．    C．    D．1

【答案】C

【解析】∵函数f（x）=tanωx（ω＞0）图象相邻两个零点的距离为，

∴，∴ω=2，∴f（x）=tan2x；∴．

【变式1】（1）求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性；

（2）求函数，的值域；

（3）设函数，已知函数的图象与x轴相邻两交点的距离为，且图象关于点对称，求的解析式．

【解析】（1）由，得，

∴所求定义域为．

值域为R，周期，是非奇非偶函数．

在区间（k∈Z）上是增函数．

（2）设tan x=t．∵，∴．

∴y=―tan2x+10tan x―1=―t2+10t―1=―(t―5)2+24．

∴当t=1，即时，ymin=8，当，即时，．

∴函数的值域为．

（3）由题意可知，函数的最小正周期，即．

∵＞0，∴=2．从而．

∵函数的图象关于点对称，

∴（k∈Z），即（k∈Z）．

∵，∴只能取．

故．

【当堂检测】

一．选择题（共5小题）

1．下列关于函数的说法正确的是　　

A．在区间上单调递增 

B．最小正周期是 

C．图象关于点成中心对称 

D．图象关于直线成轴对称

2．函数的图象　　

A．关于原点对称 B．关于点，对称 

C．关于直线对称 D．关于点，对称

3．关于函数的性质，下列叙述不正确的是　　

A．的最小正周期为 

B．是偶函数 

C．的图象关于直线对称 

D．在每一个区间，内单调递增

4．函数的定义域是　　

A． B． 

C． D．

5．函数在，上的最大值与最小值的差为　　

A． B． C．2 D．

二．解答题（共2小题）

6．求函数的定义域、单调区间和对称中心．

7．求函数的定义域．

当堂检测答案

一．选择题（共5小题）

1．下列关于函数的说法正确的是　　

A．在区间上单调递增 

B．最小正周期是 

C．图象关于点成中心对称 

D．图象关于直线成轴对称

【分析】化函数，根据正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可．

【解答】解：函数，

令，；

解得，；

所以时，；

所以函数在区间上单调递减，错误；

又函数的最小正周期为，所以错误；

当时，；

所以函数的图象关于点，对称，正确；

正切型函数不成轴对称，所以错误．

故选：．

【点评】本题考查了正切型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．

2．函数的图象　　

A．关于原点对称 B．关于点，对称 

C．关于直线对称 D．关于点，对称

【分析】根据正切函数图象是中心对称图象，排除选项；再根据对称中心为，，；判断正确．

【解答】解：函数中，

令，；

解得，；

令，得，

所以的图象关于原点，对称，正确．

故选：．

【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题．

3．关于函数的性质，下列叙述不正确的是　　

A．的最小正周期为 

B．是偶函数 

C．的图象关于直线对称 

D．在每一个区间，内单调递增

【分析】根据正切函数的性质与性质，结合绝对值的意义，对选项中的命题分析、判断即可．

【解答】解：对于函数的性质，根据该函数的图象知，其最小正周期为，错误；

又，所以是定义域上的偶函数，正确；

根据函数的图象知，的图象关于直线对称，正确；

根据的图象知，在每一个区间，内单调递增，正确．

故选：．

【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的意义问题，是基础题目．

4．函数的定义域是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据正切函数的图象与性质求出的定义域．

【解答】解：函数中，令，；

解得，；

所以的定义域是，．

故选：．

【点评】本题考查了正切函数的定义与性质的应用问题，是基础题．

5．函数在，上的最大值与最小值的差为　　

A． B． C．2 D．

【分析】根据正切函数的单调性可得最值，利用和与差公式即可求解．

【解答】解：函数在，上是单调递增函数，

可得；

可得；

最大值与最小值的差为；

故选：．

【点评】本题考查正切函数的单调性的应用，属于基础题．

二．解答题（共2小题）

6．求函数的定义域、单调区间和对称中心．

【分析】利用正切函数的定义域、单调性和对称中心，求出的定义域、单调区间和对称中心．

【解答】解：对于函数，

令，，

解得，，

故函数的定义域为，；

令，，

解得，，

故函数的单调增区间为，，；

令，，

求得，，

故函数图象的对称中心为，，．

【点评】本题主要考查了正切函数的定义域、单调性和对称中心的应用问题，是基础题．

7．求函数的定义域．

【分析】由题意可得，，解不等式即可求解

【解答】解：由题意可得，，

，且

【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，解题的关键是寻求函数有意义的条件

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日期：2020/12/2 20:23:00；用户：郭天军；邮箱：wcdezx37@xyh.com；学号：26222372