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【专项练习】中考数学试题分专题训练 专题4.4 圆（第03期）（教师版含解析）
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这是一份【专项练习】中考数学试题分专题训练 专题4.4 圆（第03期）（教师版含解析），共57页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，则的长是（ ）
A． π B． π C． 2π D． π
【来源】辽宁省沈阳市2018年中考数学试卷
【答案】A
【解析】【分析】连接OA、OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．
【详解】连接OA、OB，
【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．
2．如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）
A． π﹣2 B． π﹣ C． π﹣2 D． π﹣
【来源】四川省广安市2018年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S菱形ABCO﹣S扇形AOC可得答案．
详解：连接OB和AC交于点D，如图所示：
∵圆的半径为2，
∴OB=OA=OC=2，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD=OB=1，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD=，AC=2CD=2，
∵sin∠COD= ，
∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，
∴S菱形ABCO=B×AC=×2×2=2，
S扇形AOC=，
则图中阴影部分面积为S菱形ABCO﹣S扇形AOC=，
故选：C．
点睛：本题考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=a•b（a、b是两条对角线的长度）；扇形的面积=，有一定的难度．学科#网
3．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A． 30° B． 60° C． 30°或150° D． 60°或120°
【来源】内蒙古通辽市2018年中考数学试卷
【答案】D
【解析】
【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求出∠AOB的度数，再根据圆周定理求出∠C的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠E的度数即可．
【详解】由图可知，OA=10，OD=5，
在Rt△OAD中，
∵OA=10，OD=5，AD==，
∴tan∠1=，∴∠1=60°，
同理可得∠2=60°，
∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，
∴∠C=60°，
∴∠E=180°-60°=120°,
即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°，
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等，正确画出图形，熟练应用相关知识是解题的关键.
4．下列说法错误的是（ ）
A． 通过平移或旋转得到的图形与原图形全等
B． “对顶角相等”的逆命题是真命题
C． 圆内接正六边形的边长等于半径
D． “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件
【来源】内蒙古通辽市2018年中考数学试卷
【答案】B
【点睛】本题考查了旋转的性质、圆内接多边形的性质、随机事件等知识点，熟练掌握各知识点的相关内容是解题的关键.
5．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（ ）
A． 6 B． 8 C． 5 D． 5
【来源】湖北省咸宁市2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．
【详解】如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE=180°，
又∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠BOE=∠COD，
∴BE=CD=6，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴AB==8，
故选B．
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理等，正确添加辅助线以及熟练应用相关的性质与定理是解题的关键.
6．如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【来源】四川省资阳市2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】【分析】利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，阴影面积=（圆的面积﹣正六边形的面积），即可得出结果．
【详解】∵正六边形的边长为a，
∴⊙O的半径为a，
∴⊙O的面积为π×a2=πa2，
∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形，
∴每个三角形面积为×a×a×sin60°=a2，
∴正六边形面积为6×a2=a2，
∴阴影面积为（πa2﹣a2）×=（﹣）a2，
故选B．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆的面积公式，注意到阴影面积=（圆的面积﹣正六边形的面积）是解答此题的关键．
7．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A=66°，则∠OCB的度数是（ ）
A． 24° B． 28° C． 33° D． 48°
【来源】广西壮族自治区贵港市2018年中考数学试卷
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用圆周角定理可得∠COB的度数，再根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC，进而可得答案．
【详解】∵∠A=66°，
∴∠COB=2∠A=132°，
∵CO=BO，
∴∠OCB=∠OBC=×（180°﹣132°）=24°，
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等，熟练掌握圆周角定理的内容是解题的关键.
8．圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（ ）
A． 90° B． 120° C． 150° D． 180°
【来源】广西壮族自治区玉林市2018年中考数学试卷
【答案】D
【解析】【分析】由圆锥的主视图为等边三角形知圆锥的底面圆直径为4、侧面展开图扇形的半径为4，据此利用弧长公式求解可得．
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．熟练掌握这两个关系是解题的关键．
9．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（ ）
A． 55° B． 110° C． 120° D． 125°
【来源】贵州省铜仁市2018年中考数学试题
【答案】D
【解析】分析：根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
详解：根据圆周角定理，得
∠ACB=（360°-∠AOB）=×250°=125°．
故选：D．
点睛：此题考查了圆周角定理．
注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系．
10．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（ ）
A． 5＜OB＜9 B． 4＜OB＜9 C． 3＜OB＜7 D． 2＜OB＜7
【来源】上海市2018年中考数学试卷
【答案】A
【解析】【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，即可得结论．
【详解】设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，
∴AD⊥OP，
∵∠O=30°，AD=2，
∴OA=4，
当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，
∵BC=3，
∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；
当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，
∴OB=OA+AB=4+2+3=9，
∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，
故选A．
【点睛】本题考查了两圆间的位置关系，分两圆内切与外切分别画出符合题意的图形进行讨论是解题的关键.
11．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（ ）
A． 10 B． 8 C． 4 D． 4
【来源】湖南省湘西州2018年中考数学试卷
【答案】D
【解析】【分析】由AB是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE=4，Rt△COE中求得OE=3及AE=8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．
【详解】∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
又∵CD∥AB，
∴AO⊥CD，记垂足为E，
∵CD=8，
∴CE=DE=CD=4，
连接OC，则OC=OA=5，
【点睛】本题考查了垂径定理、切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．学科#网
12．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A． B． C． 2 D． 2
【来源】广西钦州市2018年中考数学试卷
【答案】D
【解析】【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【详解】过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD=BD=，
∴△ABC的面积为BC•AD==，
S扇形BAC==，
∴莱洛三角形的面积S=3×﹣2×=2π﹣2，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
13．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（ ）
A． 13寸 B． 20寸 C． 26寸 D． 28寸
【来源】四川省乐山市2018年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可.
详解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，
则有r2=52+（r-1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
点睛：本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题
14．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（ ）
A． 15° B． 25° C． 30° D． 50°
【来源】辽宁省盘锦市2018年中考数学试题
【答案】B
【解析】分析：连接OB，由垂径定理及圆心角定理可得∠AOB=∠AOC=50°，再利用圆周角定理即可得出答案．
详解：如图连接OB，
∵OA⊥BC，∠AOC=50°，
∴∠AOB=∠AOC=50°，
则∠ADB=∠AOB=25°，
故选：B．
点睛：本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握垂径定理与圆周角定理．
15．如图，一段公路的转弯处是一段圆弧，则的展直长度为（ ）
A． 3π B． 6π C． 9π D． 12π
【来源】辽宁省盘锦市2018年中考数学试题
【答案】B
点睛：此题主要考查了弧长计算，正确掌握弧长公式是解题关键．
二、填空题
16．.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是_______．
【来源】广西壮族自治区梧州市2018年中考数学试题
【答案】4
【解析】
【分析】
先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出 OA，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】
设圆锥底面圆的半径为 r，
∵AC=6，∠ACB=120°，
∴=2πr，
∴r=2，即：OA=2，
在 Rt△AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC==4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图，勾股定理，求出 OA的长是解本题的关键．
17．同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为_____．
【来源】内蒙古呼和浩特市2018年中考数学试卷
【答案】
【解析】【分析】先画出同一个圆的内接正方形和内接正三角形，设⊙O的半径为R，求出正方形的边心距和正三角形的边心距，再求出比值即可．
【详解】设⊙O的半径为r，⊙O的内接正方形ABCD，如图，
过O作OQ⊥BC于Q，连接OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，
∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴O为正方形ABCD的中心，
∴∠BOC=90°，
∵OQ⊥BC，OB=CO，
∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，
∴OQ=OC×cos45°=R；
设⊙O的内接正△EFG，如图，
过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，
∵正△EFG是⊙O的外接圆，
∴∠OGF=∠EGF=30°，
∴OH=OG×sin30°=R，
∴OQ：OH=（R）：（R）=：1，
故答案为：：1．
【点睛】本题考查了正多边形与圆、解直角三角形，等边三角形的性质、正方形的性质解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留π）
【来源】重庆市2018年中考数学试卷（b卷）
【答案】8﹣2π
【解析】
【分析】
根据S阴=S△ABD-S扇形BAE计算即可；
【详解】
S阴=S△ABD-S扇形BAE=×4×4-=8-2π，
故答案为8-2π．
【点睛】
本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．
19．如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA=2，AC=1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1，），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为______．
【来源】四川省乐山市2018年中考数学试题
【答案】
详解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA=90°，
∵点O′的坐标是（1，），
∴O′M=，OM=1，
∵AO=2，
∴AM=2-1=1，
∴tan∠O′AM=，
∴∠O′AM=60°，
即旋转角为60°，
∴∠CAC′=∠OAO′=60°，
∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，
∴S△OAC=S△O′AC′，
∴阴影部分的面积S=S扇形OAO′+S△O′AC′-S△OAC-S扇形CAC′=S扇形OAO′-S扇形CAC′
=
=，
故答案为：．
点睛：本题考查了解直角三角形，旋转的性质、扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求出规则图形的面积是解此题的关键．
20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为_____．
【来源】河南省2018年中考数学试卷
【答案】
【解析】分析：连接DB、DB′，先利用勾股定理求出DB′=，A′B′=，再根据S阴=S扇形BDB′-S△DBC-S△DB′C，计算即可．
详解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB，
连接DB、DB′，
则DB′=，A′B′=，
∴S阴=.
故答案为．
点睛：本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．学科#网
21．如图，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为_____．（结果保留π）
【来源】广东省2018年中考数学试题
【答案】π
【解析】【分析】连接OE，如图，利用切线的性质得OD=2，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OECD﹣S扇形EOD计算由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．
【详解】连接OE，如图，
∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，
∴OD=2，OE⊥BC，
易得四边形OECD为正方形，
∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积=S正方形OECD﹣S扇形EOD=22﹣=4﹣π，
∴阴影部分的面积=×2×4﹣（4﹣π）=π，
故答案为：π．
【点睛】本题考查了切线的性质、矩形的性质和扇形的面积公式，正确添加辅助线、仔细识图从中得到阴影部分面积的由来是解题的关键.
22．同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是_____．
【来源】广东省2018年中考数学试题
【答案】50°
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
23．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM=BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是_____度．
【来源】贵州省贵阳市2018年中考数学试卷
【答案】72
【解析】【分析】连接OA、OB、OC，根据正多边形的中心角的计算公式求出∠AOB，证明△AOM≌△BON，根据全等三角形的性质得到∠BON=∠AOM，得到答案．
【详解】如图，连接OA、OB、OC，
∠AOB==72°，
∵∠AOB=∠BOC，OA=OB，OB=OC，
∴∠OAB=∠OBC，
在△AOM和△BON中，
，
∴△AOM≌△BON，
∴∠BON=∠AOM，
∴∠MON=∠AOB=72°，
故答案为：72．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形与圆的关系、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．
【来源】黑龙江省龙东地区2018年中考数学试卷
【答案】2-2
【解析】【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．
【详解】如图：
取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆，
连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG，连CG并延长交AB于点E，
由以上作图可知，BG⊥EC于G，
PD+PG=PD′+PG=D′G，
由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小，
∵D′C=4，OC′=6，
∴D′O=，
∴D′G=-2，
∴PD+PG的最小值为-2，
故答案为：-2.
【点睛】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强，能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短.
25．用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为_____．
【来源】黑龙江省龙东地区2018年中考数学试卷
【答案】
【解析】【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=，然后求出r后利用勾股定理计算圆锥的高．
【详解】设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr=，解得r=1，
所以此圆锥的高=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留π）．
【来源】广西壮族自治区贵港市2018年中考数学试卷
【答案】4π
【解析】【分析】由将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，可得△ABC≌△A′BC′，由题给图可知：S阴影=S扇形ABA′+S△ABC﹣S扇形CBC′﹣S△A′BC′可得出阴影部分面积．
【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算等，确定出S阴影=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′是解题的关键.
27．小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是_____cm．
【来源】广西壮族自治区玉林市2018年中考数学试卷
【答案】10
【解析】【分析】如图，先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论．
【详解】如图，
记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D，
∴OC⊥AB，BD=AB，
由图知，AB=16﹣4=12cm，CD=2cm，
∴BD=6，设圆的半径为r，则OD=r﹣2，OB=r，
在Rt△BOD中，根据勾股定理得，OB2=AD2+OD2，
∴r2=36+（r﹣2）2，
∴r=10cm，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，正确添加辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
28．已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为_____．
【来源】黑龙江省大庆市2018年中考数学试卷
【答案】0
【详解】把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，
﹣5=12k，
∴k=﹣；
由y=﹣x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m（m＞0），
设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如图所示）
当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，
∴A（m，0），B（0，m），
即OA=m，OB=m，
在Rt△OAB中，AB=，
过点O作OD⊥AB于D，
∵S△ABO=OD•AB=OA•OB，
∴OD•=×m×m，
∵m＞0，解得OD=m，
由直线与圆的位置关系可知m ＜6，解得m＜，
故答案为：0
【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了. 学科#网
29．如图，已知在⊙O 中，半径 OA=，弦 AB=2，∠BAD=18°，OD 与AB 交于点 C，则∠ACO=______ 度．
【来源】广西壮族自治区梧州市2018年中考数学试题
【答案】81
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理可以判断△AOB 的形状，由圆周角定理可以求得∠BOD 的度数，再根据三角形的外角和不相邻的内角的关系，即可求得∠AOC的度数．
【点睛】
本题考查圆周角定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质，解答本 题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
30．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE=_____°．
【来源】云南省曲靖市2018年中考数学试题
【答案】n
【解析】
【分析】
利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．
【详解】
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠DCB=180°，
又∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠DCE=∠A=n°
故答案为：n
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质．解决本题的关键是掌握：圆内接四边形的对角互补．
三、解答题
31．如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若OB=2，求BD的长．
【来源】辽宁省葫芦岛市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）BD=．
【解析】【分析】（1）连接OC，由已知可得∠BOC=90°，根据SAS证明△OCE≌△BFE，根据全等三角形的对应角相等可得∠OBF=∠COE=90°，继而可证明直线BF是⊙O的切线；
（2），由（1）的全等可知BF=OC=2，利用勾股定理求出AF的长，然后由S△ABF=，即可求出BD=．
【详解】（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，，∴∠BOC=90°，
∵E是OB的中点，∴OE=BE，
在△OCE和△BFE中，
，
∴△OCE≌△BFE（SAS），
∴∠OBF=∠COE=90°，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，
∴BF=OC=2，
∴AF=，
∴S△ABF=，
即4×2=2BD，
∴BD=．
【点睛】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的不同表示方法，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
32．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B=∠BAE=30°．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC=3，求⊙O的半径r；
（3）在（1）的条件下，判断以A、O、E、F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．
【来源】辽宁省盘锦市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为2；（3）四边形OAFE是菱形，理由见解析.
详解：（1）如图1，
连接OE，∴OA=OE，
∴∠BAE=∠OEA，
∵∠BAE=30°，
∴∠OEA=30°，
∴∠AOE=∠BAE+∠OEA=60°，
在△BOE中，∠B=30°，
∴∠OEB=180°-∠B-∠BOE=90°，
∴OE⊥BC，
∵点E在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图2，
∵∠B=∠BAE=30°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°，
在Rt△ACE中，AC=3，sin∠AEC=，
∴AE=，
连接DE，∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
在Rt△ADE中，∠BAE=30°，cos∠DAE=，
∴AD=，
∴⊙O的半径r=AD=2；
（3）以A、O、E、F为顶点的四边形是菱形，理由：如图3，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
连接OF，∴OA=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴OA=AF，∠AOF=60°，
连接EF，OE，
∴OE=OF，
∵∠OEB=90°，∠B=30°，
∴∠AOE=90°+30°=120°，
∴∠EOF=∠AOE-∠AOF=60°，
∵OE=OF，
∴△OEF是等边三角形，
∴OE=EF，
∵OA=OE，
∴OA=AF=EF=OE，
∴四边形OAFE是菱形．
点睛：此题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质，三角形的外角的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，菱形的判定，求出∠AEC=60°是解本题的关键．
33．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．
（1）求证：AC∥PO；
（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求的值．
【来源】四川省乐山市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）．
详解：（1）证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∴PA=PB，且PO平分∠BPA，
∴PO⊥AB．
∵BC是直径，
∴∠CAB=90°，
∴AC⊥AB，
∴AC∥PO；
（2）连结OA、DF，如图，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∴∠OAQ=∠PBQ=90°．
在Rt△OAQ中，OA=OC=3，
∴OQ=5．
由QA2+OA2=OQ2，得QA=4．
在Rt△PBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由QB2+PB2=PQ2，得82+PB2=（PB+4）2，解得PB=6，
∴PA=PB=6．
∵OP⊥AB，
∴BF=AF=AB．
又∵D为PB的中点，
∴DF∥AP，DF=PA=3，
∴△DFE∽△QEA，
∴
设AE=4t，FE=3t，则AF=AE+FE=7t，
∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，
∴．
点睛：本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．
34．如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点．
（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；
（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．
【来源】辽宁省沈阳市2018年中考数学试卷
【答案】（1）∠C=40°；（2）⊙O的半径为2．
【解析】【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；
（2）根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵,∠ADE=25°，
∴∠AOE=2∠ADE=50°，
∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；
（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵，
∴∠AOC=2∠B，
∴∠AOC=2∠C，
∵∠OAC=90°，
∴∠AOC+∠C=90°，
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键. 学科#网
35．如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠PCA=∠ABC．
（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P=，CF=10，求BE的长
【来源】四川省广安市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）BE=24．
【解析】分析：（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OC⊥PC，由圆周角定理得：∠ACB=90°，所以∠PCA=∠OCB，再由同圆的半径相等可得：∠OCB=∠ABC，从而得结论；
（2）先证明∠CAF=∠ACF，则AF=CF=10，根据cos∠P=cos∠FAD=，可得AD=8，FD=6，得CD=CF+FD=16，设OC=r，OD=r﹣8，根据勾股定理列方程可得r的值，再由三角函数cos∠EAB=，可得AE的长，从而计算BE的长.
详解:证明：（1）连接OC，交AE于H，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠ACO=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCA=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC，
∴∠PCA=∠ABC；
（2）∵AE∥PC，
∴∠CAF=∠PCA，
∵AB⊥CG，
∴，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠ABC=∠PCA，
∴∠CAF=∠ACF，
∴AF=CF=10，
∵AE∥PC，
∴∠P=∠FAD，
∴cos∠P=cos∠FAD=，
在Rt△AFD中，cos∠FAD=，AF=10，
∴AD=8，
∴FD==6，
∴CD=CF+FD=16，
在Rt△OCD中，设OC=r，OD=r﹣8，
r2=（r﹣8）2+162，
r=20，
∴AB=2r=40，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
在Rt△AEB中，cos∠EAB=，AB=40，
∴AE=32，
∴BE==24．
点睛：本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接OC构造直角三角形是解题的关键．
36．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC的长．
【来源】内蒙古通辽市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CP=16.9cm．
【详解】（1）如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD，
∵∠BOD=2∠BAD，
∴∠BOD=∠BAC=90°，
∵DP∥BC，
∴∠ODP=∠BOD=90°，
∴PD⊥OD，
∵OD是⊙O半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）∵PD∥BC，
∴∠ACB=∠P，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠ADB=∠P，
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，
∴∠DCP=∠ABD，
∴△ABD∽△DCP；
（3）∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，BC==13cm，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BOD=∠COD，
∴BD=CD，
在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，
∴BD=CD=BC=，
∵△ABD∽△DCP，
∴，
∴，
∴CP=16.9cm．
【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握切线的判定方法、相似三角形的判定与性质定理是解题的关键.
37．如图，已知AB是⊙O上的点，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．
【来源】云南省2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分面积为
【解析】【分析】（1）连接OC，易证∠BCD=∠OCA，由于AB是直径，所以∠ACB=90°，所以∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°，CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，AB=2r，由于∠D=30°，∠OCD=90°，所以可求出r=2，∠AOC=120°，BC=2，由勾股定理可知：AC=2，分别计算△OAC的面积以及扇形OAC的面积即可求出阴影部分面积.
【详解】（1）如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠BCD=∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°
∴∠OCD=90°
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线
（2）设⊙O的半径为r，
∴AB=2r，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴OD=2r，∠COB=60°
∴r+2=2r，
∴r=2，∠AOC=120°
∴BC=2，
∴由勾股定理可知：AC=2，
易求S△AOC=×2×1=
S扇形OAC=，
∴阴影部分面积为.
【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 学科#网
38．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=25，BC=，求DE的长．
【来源】湖北省咸宁市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）DE=．
【详解】（1）如图，连接OD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=45°，
∴∠AOD=90°，
∵DE∥AC，
∴∠ODE=∠AOD=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）在Rt△ABC中，AB=2，BC=，
∴AC==5，
∴OD=，
过点C作CG⊥DE，垂足为G，
则四边形ODGC为正方形，
∴DG=CG=OD=，
∵DE∥AC，
∴∠CEG=∠ACB，
∴tan∠CEG=tan∠ACB，
∴，即，
解得：GE=，
∴DE=DG+GE=．
【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的判定与性质、解直角三角形的应用等，正确添加辅助线、熟练掌握和应用切线的判定、三角函数的应用等是解题的关键.
39．如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．
（1）求证：CE=EF；
（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为 时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为 时，四边形ECOG为正方形．
【来源】河南省2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）①30°；②22.5°.
【解析】分析：（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠1+∠4=90°，再利用等腰三角形和互余证明∠1=∠2，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；
（2）①当∠D=30°时，∠DAO=60°，证明△CEF和△FEG都为等边三角形，从而得到EF=FG=GE=CE=CF，则可判断四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，利用三角形内角和计算出∠COE=45°，利用对称得∠EOG=45°，则∠COG=90°，接着证明△OEC≌△OEG得到∠OEG=∠OCE=90°，从而证明四边形ECOG为矩形，然后进一步证明四边形ECOG为正方形．
详解：（1）证明：连接OC，如图，
.
（2）解：①当∠D=30°时，∠DAO=60°，
而AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∴∠3=∠2=60°，
而CE=FE，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF，
同理可得∠GFE=60°，
利用对称得FG=FC，
∵FG=EF，
∴△FEG为等边三角形，
∴EG=FG，
∴EF=FG=GE=CE，
∴四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，
而OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=67.5°，
∴∠AOC=180°-67.5°-67.5°=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠COE=45°，
利用对称得∠EOG=45°，
∴∠COG=90°，
易得△OEC≌△OEG，
∴∠OEG=∠OCE=90°，
∴四边形ECOG为矩形，
而OC=OG，
∴四边形ECOG为正方形．
故答案为30°，22.5°．
点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了菱形和正方形的判定．
40．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．
（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC=，求四边形OCDB的面积．
【来源】云南省曲靖市2018年中考数学试题
【答案】（1）PM与⊙O相切，理由见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）连接DO并延长交PM于E，如图，利用折叠的性质得OC=DC，BO=BD，则可判断四边形OBDC为菱形，所以OD⊥BC，△OCD和△OBD都是等边三角形，从而计算出∠COP=∠EOP=60°，接着证明PM∥BC得到OE⊥PM，所以OE=OP，根据切线的性质得到OC⊥PC，则OC=OP，从而可判定PM是⊙O的切线；
（2）先在Rt△OPC中计算出OC=1，然后根据等边三角形的面积公式计算四边形OCDB的面积．
【详解】
（1）PM与⊙O相切．
理由如下：连接DO并延长交PM于E，如图，
∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，
∴OC=DC，BO=BD，
∴OC=DC=BO=BD，
∴四边形OBDC为菱形，
∴OD⊥BC，
∴△OCD和△OBD都是等边三角形，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∴∠COP=∠EOP=60°，
∵∠MPB=∠ADC，
（2）在Rt△OPC中，OC=PC=，
∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2××12=．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了直线与圆的关系、圆周角定理和折叠的性质．学科#网
41．如图，AB 是⊙M 的直径，BC 是⊙M 的切线，切点为 B，C 是 BC 上（除 B 点外）的任意一点，连接 CM 交⊙M 于点 G，过点 C 作 DC⊥BC 交 BG 的 延长线于点 D，连接 AG 并延长交 BC 于点 E．
（1）求证：△ABE∽△BCD；
（2）若 MB=BE=1，求 CD 的长度．
【来源】广西壮族自治区梧州市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）CD=
【解析】
【分析】
（1）根据直径所对圆周角是直角和切线的性质，即可证明三角形相似；
（2）利用勾股定理和面积法得到 AG、GE，根据三角形相似求得 GH，得到 MB、GH 和 CD 的数量关系，求得 CD的长即可．
【详解】
（1）∵BC 为⊙M 切线，
∴∠ABC=90°，
∵DC⊥BC，
∴∠BCD=90°，
∴∠ABC=∠BCD，
∵AB 是⊙M 的直径，
∴∠AGB=90°，
即：BG⊥AE，
∴∠CBD=∠A，
∴△ABE∽△BCD；
（2）过点 G 作 GH⊥BC 于 H，
∵MB=BE=1∴AB=2，
∴AE=，
由（1）根据面积法 AB•BE=BG•AE，
∴BG=，
由勾股定理：AG=，GE=，
∵GH∥AB，
∴，
∴，
∴GH=，
又∵GH∥AB，
∴① ，
同理：②，
①+②，得 ，
∴ ，
∴CD=.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.
42．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．
【来源】辽宁省抚顺市2018年中考数学试卷
【答案】（1）相切，证明见解析；（2）6.
【详解】
（1）相切，理由如下，
如图，连接OC，
∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，
∴（8﹣r）2=r2+42，
∴r=3，AB=2r=6，
∵tan∠E=，
∴，
∴CD=BC=6，
在Rt△ABC中，AC=．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相关知识解决问题是关键.
43．如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB=DE．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．
【来源】广西壮族自治区贺州市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）27．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和切线的判定方法可以求得∠OBD的度数，从而可以证明结论成立；
（2）要求△AOB的面积只要求出OE的长即可，根据题目中的条件和三角形相似的知识可以求得OE的长，从而可以解答本题．
【详解】（1）∵OA=OB，DB=DE，
∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠DBE，
∵EC⊥OA，∠DEB=∠AEC，
∴∠A+∠DEB=90°，
∴∠OBA+∠DBE=90°，
∴∠OBD=90°，
∵OB是圆的半径，
∴BD是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接OE，
∵点E是AB的中点，AB=12，
∴AE=EB=6，OE⊥AB，
又∵DE=DB，DF⊥BE，DB=5，DB=DE，
∴EF=BF=3，
∴DF==4，
∵∠AEC=∠DEF，
∴∠A=∠EDF，
∵OE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEO=∠DFE=90°，
∴△AEO∽△DFE，
∴，
即，得EO=4.5，
∴△AOB的面积是：=27．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理、应用数形结合思想是解题的关键.
44．问题：已知α、β均为锐角，tanα=，tanβ=，求α+β的度数．
探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；
延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长．
【来源】湖北省荆州市2018年中考数学试卷
【答案】（1）α+β=45°；（2）．
【详解】（1）如图，连结AM、MH，则∠MHP=∠α，
∵AD=MC，∠D=∠C，MD=HC，
∴△ADM≌△MCH．
∴AM=MH，∠DAM=∠HMC．
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠HMC=90°，
∴∠AMH=90°，
∴∠MHA=45°，即α+β=45°；
（2）由勾股定理可知MH=，
∵∠MHR=45°，
∴的长=．
【点睛】本题考查了弧长的计算、等腰直角三角形的判定，锐角三角函数的性质，正确添加辅助线是解题的关键．学科#网
45．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AD=12，AM=MC，求的值．
【来源】内蒙古呼和浩特市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】【分析】（1）欲证明PD是⊙O的切线，只要证明OD⊥PA即可解决问题；
（2）连接CD．由（1）可知：PC=PD，由AM=MC，推出AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，可得R2+122=9R2，推出R=3，推出OD=3，MC=6，由，可得DP=6，再利用相似三角形的性质求出MD即可解决问题.
【详解】（1）如图，连接OD、OP、CD，
∵，∠A=∠A，
∴△ADM∽△APO，
∴∠ADM=∠APO，
∴MD∥PO，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵OD=OM，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
∵OP=OP，OD=OC，
∴△ODP≌△OCP，
∴∠ODP=∠OCP，
∵BC⊥AC，
∴∠OCP=90°，
∴OD⊥AP，
∴PD是⊙O的切线；
（2）如图，连接CD，由（1）可知：PC=PD，
∵AM=MC，
∴AM=2MO=2R，
在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，
∴R2+122=9R2，
∴R=3，
∴OD=3，MC=6，
在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6，
∴BM=6，
∵△BCM∽△CDM，
∴，即，
∴MD=2，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题是关键．
46．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．
【来源】辽宁省大连市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）AC的长为．
【解析】分析：（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；
（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC＝AB＝8，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．
详解：（1）如图，连接BD，
∵∠BAD=90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠DEC+∠CDE=90°．
∵∠DEC=∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE=90°．
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE=90°，
∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵DE∥AC．
∵∠BDE=90°，
∴∠BFC=90°，
∴CB=AB=8，AF=CF=AC，
∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，
∴∠CDE=∠CBD．
∵∠DCE=∠BCD=90°，
∴△BCD∽△DCE，
∴，
∴，
∴CD=4．
在Rt△BCD中，BD==4，
同理：△CFD∽△BCD，
∴，
∴，
∴CF=，
∴AC=2AF=．
点睛：此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC＝8是解本题的关键．
47．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若tanC=2，求的值．
【来源】湖北省十堰市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）BG：GA=1：4．
【解析】【分析】（1）欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG即可；
（2）由△GDB∽△GAD，设BG=a．可得，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题.
【详解】（1）如图，连接AD、OD，
（2）∵tanC==2，BD=CD，
∴BD：AD=1：2，
∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠GDB=∠GAD，
∵∠G=∠G，
∴△GDB∽△GAD，设BG=a．
∴，
∴DG=2a，AG=4a，
∴BG：GA=1：4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周角定理、切线的判定等知识，正确添加辅助线构造三角形的中位线或相似三角形是解题的关键. 学科#网
48．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）求证：∠EDF=∠DAC．
【来源】四川省攀枝花市2018年中考数学试题
【答案】（1）阴影部分的面积为3π﹣；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】分析：（1）连接OE，过O作OM⊥AC于M，求出AE、OM的长和∠AOE的度数，分别求出△AOE和扇形AOE的面积，即可求出答案；
（2）连接OD，求出OD⊥DF，根据切线的判定求出即可；
（3）连接BE，求出∠FDC=∠EBC，∠FDC=∠EDF，即可求出答案．
详（1）解： 连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∵∠FDC=15°，
∴∠C=180°-90°-15°=75°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=75°，
∴∠BAC=180°-∠ABC∠C=30°，
∴OM=OA=×3=，AM=OM=，
∵OA=OE，OM⊥AC，
∴AE=2AM=3，
∴∠BAC=∠AEO=30°，
∴∠AOE=180°-30°-30°=120°，
∴阴影部分的面积S=S扇形AOE-S△AOE=；
（2）证明：连接OD，
∵AB=AC，OB=OD，
∴∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴AC∥OD，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD过O，
∴DF是⊙O的切线；
（3）证明：连接BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴BE⊥AC，
∵DF⊥AC，
∴BE∥DF，
∴∠FDC=∠EBC，
∵∠EBC=∠DAC，
∴∠FDC=∠DAC，
点睛：本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、扇形的面积计算、切线的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
一、单选题
1．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，则的长是（ ）
A． π B． π C． 2π D． π
【来源】辽宁省沈阳市2018年中考数学试卷
【答案】A
【解析】【分析】连接OA、OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．
【详解】连接OA、OB，
【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．
2．如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）
A． π﹣2 B． π﹣ C． π﹣2 D． π﹣
【来源】四川省广安市2018年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S菱形ABCO﹣S扇形AOC可得答案．
详解：连接OB和AC交于点D，如图所示：
∵圆的半径为2，
∴OB=OA=OC=2，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD=OB=1，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD=，AC=2CD=2，
∵sin∠COD= ，
∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，
∴S菱形ABCO=B×AC=×2×2=2，
S扇形AOC=，
则图中阴影部分面积为S菱形ABCO﹣S扇形AOC=，
故选：C．
点睛：本题考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=a•b（a、b是两条对角线的长度）；扇形的面积=，有一定的难度．学科#网
3．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A． 30° B． 60° C． 30°或150° D． 60°或120°
【来源】内蒙古通辽市2018年中考数学试卷
【答案】D
【解析】
【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求出∠AOB的度数，再根据圆周定理求出∠C的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠E的度数即可．
【详解】由图可知，OA=10，OD=5，
在Rt△OAD中，
∵OA=10，OD=5，AD==，
∴tan∠1=，∴∠1=60°，
同理可得∠2=60°，
∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，
∴∠C=60°，
∴∠E=180°-60°=120°,
即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°，
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等，正确画出图形，熟练应用相关知识是解题的关键.
4．下列说法错误的是（ ）
A． 通过平移或旋转得到的图形与原图形全等
B． “对顶角相等”的逆命题是真命题
C． 圆内接正六边形的边长等于半径
D． “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件
【来源】内蒙古通辽市2018年中考数学试卷
【答案】B
【点睛】本题考查了旋转的性质、圆内接多边形的性质、随机事件等知识点，熟练掌握各知识点的相关内容是解题的关键.
5．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（ ）
A． 6 B． 8 C． 5 D． 5
【来源】湖北省咸宁市2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．
【详解】如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE=180°，
又∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠BOE=∠COD，
∴BE=CD=6，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴AB==8，
故选B．
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理等，正确添加辅助线以及熟练应用相关的性质与定理是解题的关键.
6．如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【来源】四川省资阳市2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】【分析】利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，阴影面积=（圆的面积﹣正六边形的面积），即可得出结果．
【详解】∵正六边形的边长为a，
∴⊙O的半径为a，
∴⊙O的面积为π×a2=πa2，
∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形，
∴每个三角形面积为×a×a×sin60°=a2，
∴正六边形面积为6×a2=a2，
∴阴影面积为（πa2﹣a2）×=（﹣）a2，
故选B．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆的面积公式，注意到阴影面积=（圆的面积﹣正六边形的面积）是解答此题的关键．
7．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A=66°，则∠OCB的度数是（ ）
A． 24° B． 28° C． 33° D． 48°
【来源】广西壮族自治区贵港市2018年中考数学试卷
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用圆周角定理可得∠COB的度数，再根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC，进而可得答案．
【详解】∵∠A=66°，
∴∠COB=2∠A=132°，
∵CO=BO，
∴∠OCB=∠OBC=×（180°﹣132°）=24°，
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等，熟练掌握圆周角定理的内容是解题的关键.
8．圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（ ）
A． 90° B． 120° C． 150° D． 180°
【来源】广西壮族自治区玉林市2018年中考数学试卷
【答案】D
【解析】【分析】由圆锥的主视图为等边三角形知圆锥的底面圆直径为4、侧面展开图扇形的半径为4，据此利用弧长公式求解可得．
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．熟练掌握这两个关系是解题的关键．
9．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（ ）
A． 55° B． 110° C． 120° D． 125°
【来源】贵州省铜仁市2018年中考数学试题
【答案】D
【解析】分析：根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
详解：根据圆周角定理，得
∠ACB=（360°-∠AOB）=×250°=125°．
故选：D．
点睛：此题考查了圆周角定理．
注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系．
10．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（ ）
A． 5＜OB＜9 B． 4＜OB＜9 C． 3＜OB＜7 D． 2＜OB＜7
【来源】上海市2018年中考数学试卷
【答案】A
【解析】【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，即可得结论．
【详解】设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，
∴AD⊥OP，
∵∠O=30°，AD=2，
∴OA=4，
当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，
∵BC=3，
∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；
当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，
∴OB=OA+AB=4+2+3=9，
∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，
故选A．
【点睛】本题考查了两圆间的位置关系，分两圆内切与外切分别画出符合题意的图形进行讨论是解题的关键.
11．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（ ）
A． 10 B． 8 C． 4 D． 4
【来源】湖南省湘西州2018年中考数学试卷
【答案】D
【解析】【分析】由AB是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE=4，Rt△COE中求得OE=3及AE=8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．
【详解】∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
又∵CD∥AB，
∴AO⊥CD，记垂足为E，
∵CD=8，
∴CE=DE=CD=4，
连接OC，则OC=OA=5，
【点睛】本题考查了垂径定理、切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．学科#网
12．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A． B． C． 2 D． 2
【来源】广西钦州市2018年中考数学试卷
【答案】D
【解析】【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【详解】过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD=BD=，
∴△ABC的面积为BC•AD==，
S扇形BAC==，
∴莱洛三角形的面积S=3×﹣2×=2π﹣2，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
13．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（ ）
A． 13寸 B． 20寸 C． 26寸 D． 28寸
【来源】四川省乐山市2018年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可.
详解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，
则有r2=52+（r-1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
点睛：本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题
14．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（ ）
A． 15° B． 25° C． 30° D． 50°
【来源】辽宁省盘锦市2018年中考数学试题
【答案】B
【解析】分析：连接OB，由垂径定理及圆心角定理可得∠AOB=∠AOC=50°，再利用圆周角定理即可得出答案．
详解：如图连接OB，
∵OA⊥BC，∠AOC=50°，
∴∠AOB=∠AOC=50°，
则∠ADB=∠AOB=25°，
故选：B．
点睛：本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握垂径定理与圆周角定理．
15．如图，一段公路的转弯处是一段圆弧，则的展直长度为（ ）
A． 3π B． 6π C． 9π D． 12π
【来源】辽宁省盘锦市2018年中考数学试题
【答案】B
点睛：此题主要考查了弧长计算，正确掌握弧长公式是解题关键．
二、填空题
16．.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是_______．
【来源】广西壮族自治区梧州市2018年中考数学试题
【答案】4
【解析】
【分析】
先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出 OA，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】
设圆锥底面圆的半径为 r，
∵AC=6，∠ACB=120°，
∴=2πr，
∴r=2，即：OA=2，
在 Rt△AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC==4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图，勾股定理，求出 OA的长是解本题的关键．
17．同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为_____．
【来源】内蒙古呼和浩特市2018年中考数学试卷
【答案】
【解析】【分析】先画出同一个圆的内接正方形和内接正三角形，设⊙O的半径为R，求出正方形的边心距和正三角形的边心距，再求出比值即可．
【详解】设⊙O的半径为r，⊙O的内接正方形ABCD，如图，
过O作OQ⊥BC于Q，连接OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，
∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴O为正方形ABCD的中心，
∴∠BOC=90°，
∵OQ⊥BC，OB=CO，
∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，
∴OQ=OC×cos45°=R；
设⊙O的内接正△EFG，如图，
过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，
∵正△EFG是⊙O的外接圆，
∴∠OGF=∠EGF=30°，
∴OH=OG×sin30°=R，
∴OQ：OH=（R）：（R）=：1，
故答案为：：1．
【点睛】本题考查了正多边形与圆、解直角三角形，等边三角形的性质、正方形的性质解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留π）
【来源】重庆市2018年中考数学试卷（b卷）
【答案】8﹣2π
【解析】
【分析】
根据S阴=S△ABD-S扇形BAE计算即可；
【详解】
S阴=S△ABD-S扇形BAE=×4×4-=8-2π，
故答案为8-2π．
【点睛】
本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．
19．如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA=2，AC=1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1，），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为______．
【来源】四川省乐山市2018年中考数学试题
【答案】
详解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA=90°，
∵点O′的坐标是（1，），
∴O′M=，OM=1，
∵AO=2，
∴AM=2-1=1，
∴tan∠O′AM=，
∴∠O′AM=60°，
即旋转角为60°，
∴∠CAC′=∠OAO′=60°，
∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，
∴S△OAC=S△O′AC′，
∴阴影部分的面积S=S扇形OAO′+S△O′AC′-S△OAC-S扇形CAC′=S扇形OAO′-S扇形CAC′
=
=，
故答案为：．
点睛：本题考查了解直角三角形，旋转的性质、扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求出规则图形的面积是解此题的关键．
20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为_____．
【来源】河南省2018年中考数学试卷
【答案】
【解析】分析：连接DB、DB′，先利用勾股定理求出DB′=，A′B′=，再根据S阴=S扇形BDB′-S△DBC-S△DB′C，计算即可．
详解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB，
连接DB、DB′，
则DB′=，A′B′=，
∴S阴=.
故答案为．
点睛：本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．学科#网
21．如图，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为_____．（结果保留π）
【来源】广东省2018年中考数学试题
【答案】π
【解析】【分析】连接OE，如图，利用切线的性质得OD=2，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OECD﹣S扇形EOD计算由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．
【详解】连接OE，如图，
∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，
∴OD=2，OE⊥BC，
易得四边形OECD为正方形，
∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积=S正方形OECD﹣S扇形EOD=22﹣=4﹣π，
∴阴影部分的面积=×2×4﹣（4﹣π）=π，
故答案为：π．
【点睛】本题考查了切线的性质、矩形的性质和扇形的面积公式，正确添加辅助线、仔细识图从中得到阴影部分面积的由来是解题的关键.
22．同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是_____．
【来源】广东省2018年中考数学试题
【答案】50°
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
23．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM=BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是_____度．
【来源】贵州省贵阳市2018年中考数学试卷
【答案】72
【解析】【分析】连接OA、OB、OC，根据正多边形的中心角的计算公式求出∠AOB，证明△AOM≌△BON，根据全等三角形的性质得到∠BON=∠AOM，得到答案．
【详解】如图，连接OA、OB、OC，
∠AOB==72°，
∵∠AOB=∠BOC，OA=OB，OB=OC，
∴∠OAB=∠OBC，
在△AOM和△BON中，
，
∴△AOM≌△BON，
∴∠BON=∠AOM，
∴∠MON=∠AOB=72°，
故答案为：72．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形与圆的关系、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．
【来源】黑龙江省龙东地区2018年中考数学试卷
【答案】2-2
【解析】【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．
【详解】如图：
取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆，
连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG，连CG并延长交AB于点E，
由以上作图可知，BG⊥EC于G，
PD+PG=PD′+PG=D′G，
由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小，
∵D′C=4，OC′=6，
∴D′O=，
∴D′G=-2，
∴PD+PG的最小值为-2，
故答案为：-2.
【点睛】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强，能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短.
25．用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为_____．
【来源】黑龙江省龙东地区2018年中考数学试卷
【答案】
【解析】【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=，然后求出r后利用勾股定理计算圆锥的高．
【详解】设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr=，解得r=1，
所以此圆锥的高=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留π）．
【来源】广西壮族自治区贵港市2018年中考数学试卷
【答案】4π
【解析】【分析】由将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，可得△ABC≌△A′BC′，由题给图可知：S阴影=S扇形ABA′+S△ABC﹣S扇形CBC′﹣S△A′BC′可得出阴影部分面积．
【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算等，确定出S阴影=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′是解题的关键.
27．小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是_____cm．
【来源】广西壮族自治区玉林市2018年中考数学试卷
【答案】10
【解析】【分析】如图，先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论．
【详解】如图，
记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D，
∴OC⊥AB，BD=AB，
由图知，AB=16﹣4=12cm，CD=2cm，
∴BD=6，设圆的半径为r，则OD=r﹣2，OB=r，
在Rt△BOD中，根据勾股定理得，OB2=AD2+OD2，
∴r2=36+（r﹣2）2，
∴r=10cm，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，正确添加辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
28．已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为_____．
【来源】黑龙江省大庆市2018年中考数学试卷
【答案】0
【详解】把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，
﹣5=12k，
∴k=﹣；
由y=﹣x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m（m＞0），
设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如图所示）
当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，
∴A（m，0），B（0，m），
即OA=m，OB=m，
在Rt△OAB中，AB=，
过点O作OD⊥AB于D，
∵S△ABO=OD•AB=OA•OB，
∴OD•=×m×m，
∵m＞0，解得OD=m，
由直线与圆的位置关系可知m ＜6，解得m＜，
故答案为：0
【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了. 学科#网
29．如图，已知在⊙O 中，半径 OA=，弦 AB=2，∠BAD=18°，OD 与AB 交于点 C，则∠ACO=______ 度．
【来源】广西壮族自治区梧州市2018年中考数学试题
【答案】81
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理可以判断△AOB 的形状，由圆周角定理可以求得∠BOD 的度数，再根据三角形的外角和不相邻的内角的关系，即可求得∠AOC的度数．
【点睛】
本题考查圆周角定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质，解答本 题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
30．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE=_____°．
【来源】云南省曲靖市2018年中考数学试题
【答案】n
【解析】
【分析】
利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．
【详解】
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠DCB=180°，
又∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠DCE=∠A=n°
故答案为：n
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质．解决本题的关键是掌握：圆内接四边形的对角互补．
三、解答题
31．如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若OB=2，求BD的长．
【来源】辽宁省葫芦岛市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）BD=．
【解析】【分析】（1）连接OC，由已知可得∠BOC=90°，根据SAS证明△OCE≌△BFE，根据全等三角形的对应角相等可得∠OBF=∠COE=90°，继而可证明直线BF是⊙O的切线；
（2），由（1）的全等可知BF=OC=2，利用勾股定理求出AF的长，然后由S△ABF=，即可求出BD=．
【详解】（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，，∴∠BOC=90°，
∵E是OB的中点，∴OE=BE，
在△OCE和△BFE中，
，
∴△OCE≌△BFE（SAS），
∴∠OBF=∠COE=90°，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，
∴BF=OC=2，
∴AF=，
∴S△ABF=，
即4×2=2BD，
∴BD=．
【点睛】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的不同表示方法，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
32．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B=∠BAE=30°．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC=3，求⊙O的半径r；
（3）在（1）的条件下，判断以A、O、E、F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．
【来源】辽宁省盘锦市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为2；（3）四边形OAFE是菱形，理由见解析.
详解：（1）如图1，
连接OE，∴OA=OE，
∴∠BAE=∠OEA，
∵∠BAE=30°，
∴∠OEA=30°，
∴∠AOE=∠BAE+∠OEA=60°，
在△BOE中，∠B=30°，
∴∠OEB=180°-∠B-∠BOE=90°，
∴OE⊥BC，
∵点E在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图2，
∵∠B=∠BAE=30°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°，
在Rt△ACE中，AC=3，sin∠AEC=，
∴AE=，
连接DE，∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
在Rt△ADE中，∠BAE=30°，cos∠DAE=，
∴AD=，
∴⊙O的半径r=AD=2；
（3）以A、O、E、F为顶点的四边形是菱形，理由：如图3，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
连接OF，∴OA=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴OA=AF，∠AOF=60°，
连接EF，OE，
∴OE=OF，
∵∠OEB=90°，∠B=30°，
∴∠AOE=90°+30°=120°，
∴∠EOF=∠AOE-∠AOF=60°，
∵OE=OF，
∴△OEF是等边三角形，
∴OE=EF，
∵OA=OE，
∴OA=AF=EF=OE，
∴四边形OAFE是菱形．
点睛：此题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质，三角形的外角的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，菱形的判定，求出∠AEC=60°是解本题的关键．
33．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．
（1）求证：AC∥PO；
（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求的值．
【来源】四川省乐山市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）．
详解：（1）证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∴PA=PB，且PO平分∠BPA，
∴PO⊥AB．
∵BC是直径，
∴∠CAB=90°，
∴AC⊥AB，
∴AC∥PO；
（2）连结OA、DF，如图，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∴∠OAQ=∠PBQ=90°．
在Rt△OAQ中，OA=OC=3，
∴OQ=5．
由QA2+OA2=OQ2，得QA=4．
在Rt△PBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由QB2+PB2=PQ2，得82+PB2=（PB+4）2，解得PB=6，
∴PA=PB=6．
∵OP⊥AB，
∴BF=AF=AB．
又∵D为PB的中点，
∴DF∥AP，DF=PA=3，
∴△DFE∽△QEA，
∴
设AE=4t，FE=3t，则AF=AE+FE=7t，
∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，
∴．
点睛：本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．
34．如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点．
（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；
（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．
【来源】辽宁省沈阳市2018年中考数学试卷
【答案】（1）∠C=40°；（2）⊙O的半径为2．
【解析】【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；
（2）根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵,∠ADE=25°，
∴∠AOE=2∠ADE=50°，
∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；
（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵，
∴∠AOC=2∠B，
∴∠AOC=2∠C，
∵∠OAC=90°，
∴∠AOC+∠C=90°，
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键. 学科#网
35．如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠PCA=∠ABC．
（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P=，CF=10，求BE的长
【来源】四川省广安市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）BE=24．
【解析】分析：（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OC⊥PC，由圆周角定理得：∠ACB=90°，所以∠PCA=∠OCB，再由同圆的半径相等可得：∠OCB=∠ABC，从而得结论；
（2）先证明∠CAF=∠ACF，则AF=CF=10，根据cos∠P=cos∠FAD=，可得AD=8，FD=6，得CD=CF+FD=16，设OC=r，OD=r﹣8，根据勾股定理列方程可得r的值，再由三角函数cos∠EAB=，可得AE的长，从而计算BE的长.
详解:证明：（1）连接OC，交AE于H，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠ACO=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCA=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC，
∴∠PCA=∠ABC；
（2）∵AE∥PC，
∴∠CAF=∠PCA，
∵AB⊥CG，
∴，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠ABC=∠PCA，
∴∠CAF=∠ACF，
∴AF=CF=10，
∵AE∥PC，
∴∠P=∠FAD，
∴cos∠P=cos∠FAD=，
在Rt△AFD中，cos∠FAD=，AF=10，
∴AD=8，
∴FD==6，
∴CD=CF+FD=16，
在Rt△OCD中，设OC=r，OD=r﹣8，
r2=（r﹣8）2+162，
r=20，
∴AB=2r=40，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
在Rt△AEB中，cos∠EAB=，AB=40，
∴AE=32，
∴BE==24．
点睛：本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接OC构造直角三角形是解题的关键．
36．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC的长．
【来源】内蒙古通辽市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CP=16.9cm．
【详解】（1）如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD，
∵∠BOD=2∠BAD，
∴∠BOD=∠BAC=90°，
∵DP∥BC，
∴∠ODP=∠BOD=90°，
∴PD⊥OD，
∵OD是⊙O半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）∵PD∥BC，
∴∠ACB=∠P，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠ADB=∠P，
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，
∴∠DCP=∠ABD，
∴△ABD∽△DCP；
（3）∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，BC==13cm，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BOD=∠COD，
∴BD=CD，
在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，
∴BD=CD=BC=，
∵△ABD∽△DCP，
∴，
∴，
∴CP=16.9cm．
【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握切线的判定方法、相似三角形的判定与性质定理是解题的关键.
37．如图，已知AB是⊙O上的点，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．
【来源】云南省2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分面积为
【解析】【分析】（1）连接OC，易证∠BCD=∠OCA，由于AB是直径，所以∠ACB=90°，所以∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°，CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，AB=2r，由于∠D=30°，∠OCD=90°，所以可求出r=2，∠AOC=120°，BC=2，由勾股定理可知：AC=2，分别计算△OAC的面积以及扇形OAC的面积即可求出阴影部分面积.
【详解】（1）如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠BCD=∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°
∴∠OCD=90°
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线
（2）设⊙O的半径为r，
∴AB=2r，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴OD=2r，∠COB=60°
∴r+2=2r，
∴r=2，∠AOC=120°
∴BC=2，
∴由勾股定理可知：AC=2，
易求S△AOC=×2×1=
S扇形OAC=，
∴阴影部分面积为.
【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 学科#网
38．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=25，BC=，求DE的长．
【来源】湖北省咸宁市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）DE=．
【详解】（1）如图，连接OD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=45°，
∴∠AOD=90°，
∵DE∥AC，
∴∠ODE=∠AOD=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）在Rt△ABC中，AB=2，BC=，
∴AC==5，
∴OD=，
过点C作CG⊥DE，垂足为G，
则四边形ODGC为正方形，
∴DG=CG=OD=，
∵DE∥AC，
∴∠CEG=∠ACB，
∴tan∠CEG=tan∠ACB，
∴，即，
解得：GE=，
∴DE=DG+GE=．
【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的判定与性质、解直角三角形的应用等，正确添加辅助线、熟练掌握和应用切线的判定、三角函数的应用等是解题的关键.
39．如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．
（1）求证：CE=EF；
（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为 时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为 时，四边形ECOG为正方形．
【来源】河南省2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）①30°；②22.5°.
【解析】分析：（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠1+∠4=90°，再利用等腰三角形和互余证明∠1=∠2，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；
（2）①当∠D=30°时，∠DAO=60°，证明△CEF和△FEG都为等边三角形，从而得到EF=FG=GE=CE=CF，则可判断四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，利用三角形内角和计算出∠COE=45°，利用对称得∠EOG=45°，则∠COG=90°，接着证明△OEC≌△OEG得到∠OEG=∠OCE=90°，从而证明四边形ECOG为矩形，然后进一步证明四边形ECOG为正方形．
详解：（1）证明：连接OC，如图，
.
（2）解：①当∠D=30°时，∠DAO=60°，
而AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∴∠3=∠2=60°，
而CE=FE，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF，
同理可得∠GFE=60°，
利用对称得FG=FC，
∵FG=EF，
∴△FEG为等边三角形，
∴EG=FG，
∴EF=FG=GE=CE，
∴四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，
而OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=67.5°，
∴∠AOC=180°-67.5°-67.5°=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠COE=45°，
利用对称得∠EOG=45°，
∴∠COG=90°，
易得△OEC≌△OEG，
∴∠OEG=∠OCE=90°，
∴四边形ECOG为矩形，
而OC=OG，
∴四边形ECOG为正方形．
故答案为30°，22.5°．
点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了菱形和正方形的判定．
40．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．
（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC=，求四边形OCDB的面积．
【来源】云南省曲靖市2018年中考数学试题
【答案】（1）PM与⊙O相切，理由见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）连接DO并延长交PM于E，如图，利用折叠的性质得OC=DC，BO=BD，则可判断四边形OBDC为菱形，所以OD⊥BC，△OCD和△OBD都是等边三角形，从而计算出∠COP=∠EOP=60°，接着证明PM∥BC得到OE⊥PM，所以OE=OP，根据切线的性质得到OC⊥PC，则OC=OP，从而可判定PM是⊙O的切线；
（2）先在Rt△OPC中计算出OC=1，然后根据等边三角形的面积公式计算四边形OCDB的面积．
【详解】
（1）PM与⊙O相切．
理由如下：连接DO并延长交PM于E，如图，
∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，
∴OC=DC，BO=BD，
∴OC=DC=BO=BD，
∴四边形OBDC为菱形，
∴OD⊥BC，
∴△OCD和△OBD都是等边三角形，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∴∠COP=∠EOP=60°，
∵∠MPB=∠ADC，
（2）在Rt△OPC中，OC=PC=，
∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2××12=．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了直线与圆的关系、圆周角定理和折叠的性质．学科#网
41．如图，AB 是⊙M 的直径，BC 是⊙M 的切线，切点为 B，C 是 BC 上（除 B 点外）的任意一点，连接 CM 交⊙M 于点 G，过点 C 作 DC⊥BC 交 BG 的 延长线于点 D，连接 AG 并延长交 BC 于点 E．
（1）求证：△ABE∽△BCD；
（2）若 MB=BE=1，求 CD 的长度．
【来源】广西壮族自治区梧州市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）CD=
【解析】
【分析】
（1）根据直径所对圆周角是直角和切线的性质，即可证明三角形相似；
（2）利用勾股定理和面积法得到 AG、GE，根据三角形相似求得 GH，得到 MB、GH 和 CD 的数量关系，求得 CD的长即可．
【详解】
（1）∵BC 为⊙M 切线，
∴∠ABC=90°，
∵DC⊥BC，
∴∠BCD=90°，
∴∠ABC=∠BCD，
∵AB 是⊙M 的直径，
∴∠AGB=90°，
即：BG⊥AE，
∴∠CBD=∠A，
∴△ABE∽△BCD；
（2）过点 G 作 GH⊥BC 于 H，
∵MB=BE=1∴AB=2，
∴AE=，
由（1）根据面积法 AB•BE=BG•AE，
∴BG=，
由勾股定理：AG=，GE=，
∵GH∥AB，
∴，
∴，
∴GH=，
又∵GH∥AB，
∴① ，
同理：②，
①+②，得 ，
∴ ，
∴CD=.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.
42．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．
【来源】辽宁省抚顺市2018年中考数学试卷
【答案】（1）相切，证明见解析；（2）6.
【详解】
（1）相切，理由如下，
如图，连接OC，
∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，
∴（8﹣r）2=r2+42，
∴r=3，AB=2r=6，
∵tan∠E=，
∴，
∴CD=BC=6，
在Rt△ABC中，AC=．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相关知识解决问题是关键.
43．如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB=DE．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．
【来源】广西壮族自治区贺州市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）27．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和切线的判定方法可以求得∠OBD的度数，从而可以证明结论成立；
（2）要求△AOB的面积只要求出OE的长即可，根据题目中的条件和三角形相似的知识可以求得OE的长，从而可以解答本题．
【详解】（1）∵OA=OB，DB=DE，
∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠DBE，
∵EC⊥OA，∠DEB=∠AEC，
∴∠A+∠DEB=90°，
∴∠OBA+∠DBE=90°，
∴∠OBD=90°，
∵OB是圆的半径，
∴BD是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接OE，
∵点E是AB的中点，AB=12，
∴AE=EB=6，OE⊥AB，
又∵DE=DB，DF⊥BE，DB=5，DB=DE，
∴EF=BF=3，
∴DF==4，
∵∠AEC=∠DEF，
∴∠A=∠EDF，
∵OE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEO=∠DFE=90°，
∴△AEO∽△DFE，
∴，
即，得EO=4.5，
∴△AOB的面积是：=27．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理、应用数形结合思想是解题的关键.
44．问题：已知α、β均为锐角，tanα=，tanβ=，求α+β的度数．
探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；
延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长．
【来源】湖北省荆州市2018年中考数学试卷
【答案】（1）α+β=45°；（2）．
【详解】（1）如图，连结AM、MH，则∠MHP=∠α，
∵AD=MC，∠D=∠C，MD=HC，
∴△ADM≌△MCH．
∴AM=MH，∠DAM=∠HMC．
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠HMC=90°，
∴∠AMH=90°，
∴∠MHA=45°，即α+β=45°；
（2）由勾股定理可知MH=，
∵∠MHR=45°，
∴的长=．
【点睛】本题考查了弧长的计算、等腰直角三角形的判定，锐角三角函数的性质，正确添加辅助线是解题的关键．学科#网
45．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AD=12，AM=MC，求的值．
【来源】内蒙古呼和浩特市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】【分析】（1）欲证明PD是⊙O的切线，只要证明OD⊥PA即可解决问题；
（2）连接CD．由（1）可知：PC=PD，由AM=MC，推出AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，可得R2+122=9R2，推出R=3，推出OD=3，MC=6，由，可得DP=6，再利用相似三角形的性质求出MD即可解决问题.
【详解】（1）如图，连接OD、OP、CD，
∵，∠A=∠A，
∴△ADM∽△APO，
∴∠ADM=∠APO，
∴MD∥PO，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵OD=OM，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
∵OP=OP，OD=OC，
∴△ODP≌△OCP，
∴∠ODP=∠OCP，
∵BC⊥AC，
∴∠OCP=90°，
∴OD⊥AP，
∴PD是⊙O的切线；
（2）如图，连接CD，由（1）可知：PC=PD，
∵AM=MC，
∴AM=2MO=2R，
在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，
∴R2+122=9R2，
∴R=3，
∴OD=3，MC=6，
在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6，
∴BM=6，
∵△BCM∽△CDM，
∴，即，
∴MD=2，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题是关键．
46．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．
【来源】辽宁省大连市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）AC的长为．
【解析】分析：（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；
（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC＝AB＝8，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．
详解：（1）如图，连接BD，
∵∠BAD=90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠DEC+∠CDE=90°．
∵∠DEC=∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE=90°．
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE=90°，
∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵DE∥AC．
∵∠BDE=90°，
∴∠BFC=90°，
∴CB=AB=8，AF=CF=AC，
∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，
∴∠CDE=∠CBD．
∵∠DCE=∠BCD=90°，
∴△BCD∽△DCE，
∴，
∴，
∴CD=4．
在Rt△BCD中，BD==4，
同理：△CFD∽△BCD，
∴，
∴，
∴CF=，
∴AC=2AF=．
点睛：此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC＝8是解本题的关键．
47．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若tanC=2，求的值．
【来源】湖北省十堰市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）BG：GA=1：4．
【解析】【分析】（1）欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG即可；
（2）由△GDB∽△GAD，设BG=a．可得，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题.
【详解】（1）如图，连接AD、OD，
（2）∵tanC==2，BD=CD，
∴BD：AD=1：2，
∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠GDB=∠GAD，
∵∠G=∠G，
∴△GDB∽△GAD，设BG=a．
∴，
∴DG=2a，AG=4a，
∴BG：GA=1：4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周角定理、切线的判定等知识，正确添加辅助线构造三角形的中位线或相似三角形是解题的关键. 学科#网
48．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）求证：∠EDF=∠DAC．
【来源】四川省攀枝花市2018年中考数学试题
【答案】（1）阴影部分的面积为3π﹣；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】分析：（1）连接OE，过O作OM⊥AC于M，求出AE、OM的长和∠AOE的度数，分别求出△AOE和扇形AOE的面积，即可求出答案；
（2）连接OD，求出OD⊥DF，根据切线的判定求出即可；
（3）连接BE，求出∠FDC=∠EBC，∠FDC=∠EDF，即可求出答案．
详（1）解： 连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∵∠FDC=15°，
∴∠C=180°-90°-15°=75°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=75°，
∴∠BAC=180°-∠ABC∠C=30°，
∴OM=OA=×3=，AM=OM=，
∵OA=OE，OM⊥AC，
∴AE=2AM=3，
∴∠BAC=∠AEO=30°，
∴∠AOE=180°-30°-30°=120°，
∴阴影部分的面积S=S扇形AOE-S△AOE=；
（2）证明：连接OD，
∵AB=AC，OB=OD，
∴∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴AC∥OD，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD过O，
∴DF是⊙O的切线；
（3）证明：连接BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴BE⊥AC，
∵DF⊥AC，
∴BE∥DF，
∴∠FDC=∠EBC，
∵∠EBC=∠DAC，
∴∠FDC=∠DAC，
点睛：本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、扇形的面积计算、切线的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
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