2022届新高考高三上学期期初考试数学试卷分类汇编：解析几何

解析几何集中练

说明：2022届高三新高考期初考试题目选自新高考地区，如江苏、山东、河北、湖南、湖北等。

1．(2022·南京9月学情【零模】)“m＝1”是“直线4x＋3y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切”的

A．充分不必要条件              B．必要不充分条件

C．充分必要条件                D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【考点】直线与圆的位置关系：相切、条件的判断

【解析】由题意可知，圆x2＋y2－2x＝0的圆心为(1，0)，半径为r＝1，当直线4x＋3y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切时，圆心(1，0)到直线4x＋3y＋m＝0的距离d＝＝r＝1，化简得|4＋m|＝5，解得m＝1或m＝－9，故“m＝1”是“直线4x＋3y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切”的充分不必要条件，故答案选A．

2．(2022·江苏海安中学期初)若点A(－1，0)，B(1，0)，P满足，则点P的轨迹C的方程为＝   ▲   ，设M，N是轨迹C与x轴的两个交点，则△PMN面积的最大值为   ▲   ．

【答案】；

【考点】双空题：解析几何的轨迹方程、面积的最值问题

【解析】由题意可设P(x，y)，则＝

＝

＝＝＝，所以(x2＋y2)2－2(x2－y2)＋1＝，所以(x2＋y2)2－2(x2－y2)＝；上式中，令y＝0，解得x2＝，所以x＝±，则M(－，0)，N(，0)，则MN＝3，所以(x2＋y2)2－2(x2－y2)＝可化为(y2＋x2＋1)2＝＋4x2，所以y2＝－(x2＋1)，可令＝t(t＞)，则y2＝t－(t2＋)＝－t2＋t－＝－(t－2)2＋，则y2max＝，所以|y|max＝，所以(S△PMN)max＝×3×＝．

3．(2022·沭阳如东中学期初考试)已知集合A＝{(x，y)|＝1}，B＝{(x，y)|y＝kx＋3}，若A∩B＝，则实数k＝______．

【答案】1或0

【考点】集合的综合应用

【解析】由题意可知，集合A表示直线y＝x＋2上除去点(1，3)的集合，集合B表示直线y＝kx＋3上点的集合，要使A∩B＝，则有：①若两直线平行时，两直线无交点，则k＝1；②若两直线不平行时，k≠1，所以y＝kx＋3恰好过点(1，3)，则k＋3＝3解得k＝0；综上，答案为1或0．

4．(2022·苏州期初考试)(多选题)已知曲线C：，以下判断正确的是

A．曲线C与y轴交点为(0，±2)

B．曲线C关于y轴对称

C．曲线C上的点的横坐标的取值范围是[－2，2]

D．曲线C上点到原点的距离最小值为

【答案】BCD

【考点】曲线的性质综合应用

【解析】由题意，对于选项A，令x＝0，得＝3，即y2＋1＝3，解得y＝±，即曲线C与y轴交点为(0，±)，则选项A错误；对于选项B，在C：中，以－x替换x，可得＝3，，即为＝3，则曲线C关于y轴对称，故选项B正确；对于选项C，因为y2≥0，所以3＝≥，即(x2－1)2≤9，所以－3≤x2－1≤3，解得－2≤x≤2，所以曲线C上的点的横坐标的取值范围是[－2，2]，故选项C正确；对于选项D，由＝3可得，(x2＋y2＋1)2＝9＋4x2≥9，则x2＋y2≥2，则曲线C上点到原点的距离≥，故选项D正确；综上，答案选BCD．

5．(2022·苏州期初考试)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图(单位：cm)所示，四边形AFED为矩形，AB，CD，FE均与圆O相切，B、C为切点，零件的截面BC段为圆O的一段弧，已知，则该零件的截面的周长为   ▲    ．(结果保留π)

(第16题图)

【答案】84＋6π

【考点】平面几何的实际问题

【解析】

法一：以A为原点，AD为x轴正方向建立平面直角坐标系，则直线AB的方程为：4x＋3y＝0，直线CD的方程为：3x－4y－105＝0，直线EF的方程为：y＝12，设圆心为(a，b)，则r＝＝－，解得：a＝15，b＝0，r＝12，易得9，CD＝，故周长为9＋16＋24

法二：易知AB⊥CD，所以r＋)，解得r＝12，所以35＋24＋2＝84＋6π．

6．(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为，，则||＝

A．              B．              C．2              D．4

【答案】B

【考点】直线的方程与平行线间的距离

【解析】由题意可得，菱形两组对边间的距离相等，则＝，解得||＝，故答案选B．

7．(2022·青岛期初考试)将函数的图象绕点(－3，0)逆时针旋转α(0≤α≤θ)，得到曲线C，对于每一个旋转角α，曲线C都是一个函数的图象，则θ最大时的正切值为

A．              B．              C．1               D．

【答案】B

【考点】函数的概念与性质、圆的方程综合应用

【解析】由题意可知，函数可化为x2＋(y＋2)2＝13(x∈[－3，3])，即为圆的一部分，图象为圆弧，且过点A(－3，0)，B(－3，0)，D(0，－2)，则此圆弧绕点(－3，0)逆时针旋转α，对于每一个旋转角α，曲线C都是一个函数的图象，则须满足旋转角α小于或等于∠BAC，而tan∠BAC＝，即tanθ＝，故答案选B．

8．(2022·江苏如皋期初考试)直线的斜率和它在y轴上的截距分别为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】C

【考点】直线方程的应用

【解析】由题意，直线3x＋4y＋5＝0的斜率为－，令x＝0，解得y＝－，故答案选C.

9．(2022·江苏如皋期初考试)已知，，三点，且满足，则直线的斜率取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【考点】直线与圆的位置关系应用

【解析】设动点，因为，则，整理得动点得轨迹为：；设直线的方程为，即，

所以圆心到直线的距离为，所以，则直线的斜率取值范围为；故答案选A.

10．(2022·江苏如皋期初考试)已知圆，过轴上的点存在圆的割线，使得，则的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【考点】直线与圆的位置关系综合应用

【解析】由题意得圆的圆心坐标为，半径，如图所示：连接，交圆分别点，易证△∽△，则，因为，故，，

所以，

又，所以，

解得.故答案选D.

11．(2022·江苏如皋期初考试)(多选题)下列说法正确的是(   )

A．方程能表示平面内的任意直线；

B．直线的倾斜角为；                 

C．“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件；

D． “直线与垂直”是“直线和的斜率之积为”的必要不充分条件 

【答案】AD

【考点】直线方程、两直线的位置关系、双曲线的概念

【解析】由题意，对于选项A，若直线不平行于坐标轴，则原方程可化为＝，为直线的两点式方程；当直线平行于x轴，则原方程可化为y＝y1；当直线平行于y轴，则原方程可化为x＝x1；综上所述，可表示平面内任意直线，故选项A正确；对于选项B，直线l的斜率k＝，则其倾斜角为－α，故选项B错误；对于选项C，方程表示双曲线，则(9－k)(k－4)＜0，解得k＞9或k＜4，则k＞9是方程表示双曲线的充分不必要条件，故选项C错误；对于选项D，当一条直线斜率不存在，一条直线斜率为0，可以满足两直线垂直，则选项D正确；综上，答案选AD.

12．(2022·江苏如皋期初考试)(多选题)已知直线：与：相交于A、B两点，若△ABC为钝角三角形，则满足条件的实数的值可能是(   )

A． B．1 C．2 D．4

【答案】AC

【考点】直线与圆的位置关系应用

【解析】由题意，圆的圆心为，半径为，由于△ABC为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则，设圆心到直线的距离为，则，则，整理可得，解得，且.所以.故答案选AC.

13．(2022·江苏如皋期初考试)过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程为________．

【答案】4x＋3y－13＝0

【考点】直线的方程

【解析】由题意可设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.

14．(2022·江苏如皋期初考试)已知点是直线：上的动点，过点作圆：的切线，切点分别为，，则切点弦所在直线恒过定点___________.

【答案】(1，－1)

【考点】直线与圆的位置关系应用：求定点

【解析】由题意可设Q的坐标为(m，n)，则m－n－4＝0，即m＝n＋4，过点Q作圆O：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，则直线AB的方程变形可得nx＋ny＋4x－4＝0，则有，解得，则直线AB恒过定点(1，－1).

15．(2022·湖南省长郡中学开学考试)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝2，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线y＝1相切．若存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值，则点P的坐标为　（0，﹣）　．

【解答】解：∵线段AB为⊙M的一条弦，O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，∵⊙M与直线y＝1相切，∴|MA|＝|y﹣1|，∴|y﹣1|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2+1，整理得x2＝﹣2y，∴M的轨迹是以F（0，﹣）为焦点，y＝为准线的抛物线，∴|MA|﹣|MP|＝|y﹣1|﹣|MP|＝|y﹣|﹣|MP|+＝|MF|﹣|MP|+，∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（0，﹣），

∴存在定点P（0，﹣）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．故答案是：（0，﹣）．

16．(2022·湖南省雅礼中学开学考试)(多选题)以下四个命题表述正确的是

A．直线(3＋m)x＋4y－3＋3m＝0(m∈R)恒过定点(－3，－3)

B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1

C．曲线C1：与曲线C2：恰有三条公切线，则m＝4

D．已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点(1，2)

【答案】BCD

【考点】直线与圆的综合应用：定点问题、圆上的点到直线的距离、两圆的公切线、圆的切线等综合问题

【解析】由题意，对于选项A，直线(3＋m)x＋4y－3＋3m＝0(m∈R)，可化为m(x＋3)＋3x＋4y－3＝0，由解得即直线恒过定点(－3，3)，故选项A错误；对于选项B，圆心C(0，0)到直线的距离d＝1，圆的半径r＝2，故圆C上有3个点到直线l的距离为1，故选项B正确；对于选项C，曲线C1：，即化为，曲C2：，即化为，则该两圆心的距离为，解得m＝4，故选项C正确；对于选项D，因为点P为直线上一动点，可设点P(4－2t，t)，圆的圆心为C(0，0)，以线段PC为直径的圆Q的方程为(x－4＋2t)x＋(y－t)y＝0，即化为，故圆Q与圆C的公共弦方程为，即(2t－4)x－ty＋4＝0，此直线即为直线AB，经验证点(1，2)在直线(2t－4)x－ty＋4＝0上，即直线AB经过定点(1，2)，故选项D正确；综上，答案选BCD．

17．(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为（    ）

A  B.  C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意画出图形，结合图形求出点关于直线的对称点，则即为的最小值.

【详解】根据题意画出图形，如图所示：

设点关于直线的对称点，

连接，则即为的最小值，且.

故选：.

18．(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)已知圆：上恰有两个点到直线：的距离为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆心到直线的距离可求直线斜率的取值范围，从而可求倾斜角的取值范围.

【详解】设圆心到直线的距离为.

因为圆：上恰有两个点到直线：的距离为，

故，所以，解得，

故倾斜角的范围为 ，

故选：B.

19．(2022·江苏如皋期初考试)已知直线过点(2，1)，点是坐标原点

（1）若直线在两坐标轴上截距相等，求直线方程；（5分）

（2）若直线与轴正方向交于点，与轴正方向交于点，求的最小值及此时的直线方程. （5分）

【考点】直线方程的求解与应用

【解析】（1）当过坐标原点时，方程为，即，满足题意；

当不过坐标原点时，可设其方程为：，，；

综上所述：直线方程为：或；

（2）的最小值为，此时直线方程为：

20．(2022·江苏如皋期初考试) 疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米

的区域，如图，、分别是经过王阿姨家（点）

的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿

姨家的东偏北方向，以点O为坐标原点，

、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知

健康检查点（即点）和平安检查点（即点）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.

(1)求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；（6分）

(2)王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在育贤路（直线）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由.（6分）

【考点】直线与圆的位置关系的实际应用

【解析】

(1)由题意易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：

李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，设李叔叔家所在的位置为，离和距离相等

故   故

即，故，所以

故李叔叔负责区域边界的曲线方程为

(2)圆心关于的对称点为，

则有，，解得，

，，

联立与，可得交点为。

答：王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点碰面，距离之和最近.

21．(2022·江苏如皋期初考试)如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆外切，且与轴及直线分别相切于、两点．

（1）求圆和圆的方程；（6分）

（2）过点作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度．（6分）

【考点】圆与圆的位置关系综合应用

【解析】

（1）由于与的两边均相切，故到及的距离均为的半径，

则在的平分线上，同理，也在的平分线上，

即三点共线，且为的平分线，

∵的坐标为，∴到轴的距离为1，即的半径为1，

则的方程为，

设的半径为，其与轴的切点为，连接、，

由可知，，即．

则，则圆的方程为；

（2）由对称性可知，所求的弦长等于过点，直线的平行线被圆截得的弦的长度，

此弦的方程是，即：，

圆心到该直线的距离，则弦长=．