人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）教案设计

5.6.1匀速圆周运动的数学模型

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章)

一、教学目标 

1. 让学生经历匀速圆周运动的数学建模过程，了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的现实背景，进一步体会三角函数与现实世界的密切联系.

2. 依托现实情境，发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养.

二、教学重难点

1. 教学重点：用函数y＝Asin(ωx＋φ)模型来刻画一般的匀速圆周运动的建模过程.

2.教学难点：将实际问题抽象为数学问题的过程.

三、教学过程

1.承上启下，激发兴趣

引导语：我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画．对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？

设计意图：承上启下，让学生感受到之前只是研究了一个特殊的问题，需要进一步研究一般的匀速圆周运动，从而明确目标，激发兴趣．

2.新知探究，构建模型

2.1  模型的建立

问题1：筒车是中国古代发明的一种灌溉工具，它省时、省力，环保、经济，现代农村至今还在大量使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图示描绘了人们利用筒车轮的圆周运动进行灌溉的工作原理（用信息技术呈现筒车运动的实际情境）．

假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都作匀速圆周运动．如果将这个筒车抽象成一个圆，水筒抽象成一个质点，你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系吗？

预设的师生活动：请学生叙述建模的构想．

预设答案：因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律.

问题2：与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？

预设的师生活动：从圆周运动这个视角下进行整体分析：角速度、半径、初始位置、圆心角及建系，同时帮助学生抽象出相应的数学问题．

预设答案：如图2，相关的量有：水车半径r，水车中心距水面的高度h；水车转动的角速度ω；初始位置所对应的角φ；水车转动的时间t；盛水筒距离水面的相对高度H；

若以为原点，以与水平面平行的直线为轴建立直角s坐标系.设时，盛水筒位于，以为始边，为终边的角为，经过t s后运动到点.于是，以为始边，为终边的角为，并且有

＝rsin(ωt＋φ).                                                                    ①

所以，盛水筒距离水面的高度H与时间t的关系是：                                                                       图2                                                                                              

H＝rsin(ωt＋φ)＋h．                                                               ②

函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律了.由于h为常量，我们可以只研究函数①的性质.

设计意图：通过筒车模型引入和建立三角函数的数学模型，体现数学的实际价值，表示其上质点匀速圆周远动，引出这一课时的核心内容．

2.2  模型的巩固和应用

例.如图3，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min．

（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；

（2）求游客甲在开始转动5 min后离地面的高度；

（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差的最大值（精确到0.1）．

预设的师生活动：学生讨论，然后回答．

提问：你打算选择什么函数模型来刻画这个实际问题？为什么？

预设答案：摩天轮上座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转，在旋转过程中，游客距离地面的高度H呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数模型来刻画．

预设答案：摩天轮上座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转，在旋转过程中，游客距离地面的高度H呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数模型来刻画．

如图4，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系．

（1）设t＝0 min时，游客甲位于点P（0，－55），以OP为终边的角为； 根据摩天轮转一周大约需要30 min，可知座舱转动的角速度约为 rad/min，由题意可得

．

（2）当t＝5时，．

（3）甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则．经过t min后甲距离地面的高度为，点B相对于点A始终落后rad，此时乙距离地面的高度为．则甲、乙距离地面的高度差

当（或），即t≈7.8（或22.8）时，

h的最大值为110 sin≈7.2 m．

设计意图：本例与筒车问题相呼应，且取自学生的真实生活情境，能充分激发学生的探究热情，进一步体会圆周运动与三角函数模型之间的内在联系，感受数学建模思想，体现数学的综合运用和实际应用，也是对课堂所学知识学习效果的一次检测.

3.归纳小结，文化渗透

问题3：用函数y＝Asin(ωx＋φ)描述匀速圆周运动经历了怎样的研究路径和过程？

预设的师生活动：与学生一起回顾小结．

预设答案：

函数y＝Asin(ωx＋φ)具有广泛的应用价值，可以解决许多实际问题.本节内容充分体现了数学建模的核心思想.

设计意图：梳理本节课对于匀速圆周运动的数学建模过程，进一步了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的现实背景，体会三角函数与现实世界的密切联系；并且进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习研究三角函数的必要性 .

四、课后作业

1. 摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图5所示，某摩天轮最高点离地面高度米，转盘直径为米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为：

A．摩天轮离地面最近的距离为米

B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则

C．若在时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为

D．，使得游客在该时刻距离地面的高度均为米

预设答案：BC                                                                                                                                                            图5

设计意图：该问题与本节课的两个例子联系紧密，4个选项的思维难度坡度明显，层层递进，对不同层次的学生都能达到巩固课堂所学的目标。

2. 思考并回答下列问题

本节课我们将一个实际问题抽象转化成了一个数学问题，并建立了一个新的函数．根据研究指数函数、对数函数等函数的经验，你认为接下来应该研究什么？

预设答案：类比之前对函数的研究方法，接下来我们应该研究函数的图象与性质．回想一下，我们在“三角恒等变换”那一节中，已经纯粹地从形式上研究过它的性质，比如周期、单调性，所以接下来主要研究函数的图象，有了图象之后可以使我们更好地把握这个函数的性质．显然，y＝Asin(ωx＋φ)这个函数由参数A，ω，φ所确定．因此关键是研究这些参数的变化对函数图象的影响．

设计意图：让学生清楚我们研究一个新函数的一般套路，得到函数解析式之后，需要研究其图象及性质，而此函数的性质在之前已通过代数方法进行过研究，因此，接下来的重点自然就是先研究图象，进而利用图象直观地认识此函数的性质，为引出下一节5.6.2  y＝Asin(ωx＋φ)的图像铺垫.