高一数学寒假作业同步练习题点线面的位置关系含解析

点线面的位置关系

1．下列命题正确的是（    ）

A．空间任意三点确定一个平面

B．两条垂直直线确定一个平面

C．一条直线和一点确定一个平面

D．两条平行线确定一个平面

【答案】D

【解析】对于，若三点共线，则此三点无法确定一个平面，错误；

对于，两条直线垂直，有可能两条直线为异面直线，此时无法确定一个平面，错误；

对于，若点在直线上，则这条直线和这个点无法确定一个平面，错误；

对于，两条平行直线可确定唯一的一个平面，正确.故选：.

2．已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】②中，，而平面，平面，故平面；

①中，平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行；

③中，同样平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行；

故选：B．

3．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

【答案】D

【解析】A选项中，若，，有可能，故A错误；

B选项中，若，，则可能与平行，故B错误；

C选项中，若，，，则，故C错误；

D选项中，若，，则，而，故，故D正确；故选：D．

4．已知，是两个不同的平面，，是平面，外的两条不同的直线，给出下面4个论断：（1）；（2）；（3）；（4）.以其中3个论断为条件，余下一个做为结论，则正确的命题是（    ）

A．且 B．且

C．且 D．且

【答案】B

【解析】时：当，，时，此时与相交或平行或，所以是假命题；

时，当，，时，根据面面垂直的判定定理可得，所以是真命题；

时，当，，时，此时与相交或平行或，所以是假命题；

时，当，，时，根据面面垂直的性质定理可得，所以是真命题，故选：B.

5．如图所示，是二面角棱上的一点，分别在平面内引射线，，如果，设二面角的大小为，则（    ）

A．1 B．

C． D．

【答案】D

【解析】过上一点分别在内作的垂线，交于点和点，则即为二面角的平面角，设，

因为，

所以，，

所以，

故选：D

6．在正三棱锥中，底面是边长等于的等边三角形，侧棱，则侧棱与底面所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如下图所示：

设点在底面的射影点为点，连接、，则为的外接圆半径，

由正弦定理可得，则，

平面，平面，，，

设该正三棱锥的侧棱与底面所成的角为，则，

，因此，.故选：A.

7．下列命题错误的序号是（    ）

①如果平面内存在一条直线和平面外的一条直线平行，则 ；②如果平面内存在一条直线和平面垂直，则；③如果一条直线和平面内的任意一条直线垂直，则；④如果平面内存在一条直线和平面平行，则

A．①② B．①④ C．④ D．①③

【答案】C

【解析】命题①是线面平行的判定定理，正确；

命题②是面面垂直的判定定理，正确；

命题③是线面垂直的定义，正确；

命题④错误，平面内两条相交直线都和平面平行，则；故选：C.

8．在我国古代数学著作《九章算术》中，把底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱ABC-A1B1C1是一个“堑堵”，其中AB=BC=BB1=2，点D是AC的中点，则异面直线AB1与BD所成角的大小为________.

【答案】

【解析】取的中点，连接，则∥，从而得或其补角为异面直线AB1与BD所成角，

因为AB=BC，D是AC的中点，所以，

因为平面，在平面内，

所以，

因为

所以平面，

所以，所以，

因为AB=BC=BB1=2，所以，

所以，

所以，故答案为：

9．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点、，且，现有如下四个结论：

①；②平面平面；③异面直线、所成的角为定值；④三棱锥的体积为定值.

其中正确结论的序号是___________.

【答案】①②④

【解析】①设与相交于，

在正方体中，四边形为正方形，则，

平面，平面，，

，平面，

平面，，①正确；

 ②在正方体中，且，

所以，四边形为平行四边形，可得，

平面，平面，平面，

同理可证平面，

，所以，平面平面，即平面平面， ②正确；

 ③由于正方体的棱长为，所以，，而，

，则，又，所以四边形是平行四边形，

所以，所以是异面直线、所成的角，

因为平面，平面，所以，

所以，其中为定值，长度不固定，

所以不是定值，所以 ③错误；

 ④由 ①可知平面，

所以为定值，所以 ④正确.

故答案为： ① ② ④.

10．已知正四棱柱的底面边长，侧棱长，它的外接球的球心为，点是的中点，点是球上的任意一点，有以下命题：

①的长的最大值为9;

②三棱锥的体积的最大值是;  

③过点的平面截球所得的截面面积最大时，垂直于该截面.

④三棱锥的体积的最大值为20；

其中是真命题的序号是___________

【答案】①④

【解析】外接球半径为：，因为点是的中点，

所以，

故的最大值为，①正确；

，高，故，②错误；

当过点的平面截球所得的截面面积最大时，截面过直线，，故③错误.

，，故，故④正确；

故答案为：①④.

11．已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且，，则直线FH与直线EG（    ）

A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直

【答案】B

【解析】如图所示，连接EF,GH.

四边形是空间四边形，、分别是、的中点，

为三角形的中位线

且

又，

，且，

在四边形中，

即，，，四点共面，且，

四边形是梯形，

直线与直线相交，故选：B

12．在平面四边形中，，将该四边形沿着对角线折叠，得到空间四边形，则异面直线所成的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】取线段的中点，

连接.易得，

从而平面.

因此，

所以异面直线所成的角是故选：D.

13．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的角正切值为______.

【答案】2

【解析】由题意知，水的体积为，

如图所示，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱，，，交于，，，，则，

水的体积为，

，即，．

在平面内，过点作，交于，则四边形是平行四边形，，

，

侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，即侧面与平面所成的角，

即为所求，而，

在△中，，

侧面与桌面所成角的正切值为2．故答案为：2．

14．如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．

（1）证明：平面；

（2）求直线平面所成的角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：  由，，，，得，所以，由．

由，，，，得，

由，得，

由，得，所以，

故，又，因此平面．

（2）解  如图，过点作，交直线于点，连接．

由平面，平面，得

平面平面，由，得平面，

所以是与平面所成的角．

由，，

得，，

所以，故．

因此，直线与平面所成的角的正弦值是．