2023届高考一轮复习讲义（理科）选修4－4　坐标系与参数方程 第2讲　参数方程学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）选修4－4　坐标系与参数方程 第2讲　参数方程学案，共15页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。


一、知识梳理
1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝f（t），,y＝g（t）))就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程
常用结论
1．直线参数方程的三个应用及一个易错点
(1)三个应用：
已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数)．
①若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则|eq \(M0M1,\s\up6(→))| |eq \(M0M2,\s\up6(→))|＝|t1t2|，|eq \(M1M2,\s\up6(→))|＝|t2－t1|＝eq \r(（t2＋t1）2－4t1t2)；
②若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝eq \f(t1＋t2,2)；
③若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0.
(2)一个易错点：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．
2．掌握圆的参数方程的两种应用
(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．
(2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．
二、习题改编
1．(选修4­4P25例3改编)曲线eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1＋cs θ，,y＝2＋sin θ))(θ为参数)的对称中心( )
A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上
解析：选B.由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1＋cs θ，,y＝2＋sin θ，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs θ＝x＋1，,sin θ＝y－2.))
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线y＝－2x上．
2．(选修4­4P37例2改编)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝t－a))(t为参数)过椭圆C：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3cs φ，,y＝2sin φ))(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
解析：直线l的普通方程为x－y－a＝0，
椭圆C的普通方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，
所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，若直线l过点(3，0)，
则3－a＝0，
所以a＝3.
答案：3
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝f（t），,y＝g（t）))中的x，y都是参数t的函数．( )
(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))的直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量．( )
(3)方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝1＋2sin θ))(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆．( )
(4)已知椭圆的参数方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2cs t，,y＝4sin t))(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝eq \f(π,3)，点O为原点，则直线OM的斜率为eq \r(3).( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)不注意互化的等价性致误；
(2)直线参数方程中参数t的几何意义不清致误；
(3)交点坐标计算出错致错．
1．若曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs 2θ，,y＝sin2θ))(θ为参数)，则曲线C上的点的轨迹是( )
A．直线x＋2y－2＝0
B．以(2，0)为端点的射线
C．圆(x－1)2＋y2＝1
D．以(2，0)和(0，1)为端点的线段
解析：选D.将曲线C的参数方程化为普通方程得x＋2y－2＝0(0≤x≤2，0≤y≤1)．故选D.
2．已知直线eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝x0＋at，,y＝y0＋bt))(t为参数)上两点A，B对应的参数值是t1，t2，则|AB|＝( )
A．|t1＋t2| B．|t1－t2|
C.eq \r(a2＋b2)|t1－t2| D．eq \f(|t1－t2|,\r(a2＋b2))
解析：选C.依题意，A(x0＋at1，y0＋bt1)，B(x0＋at2，y0＋bt2)，则|AB|＝eq \r([x0＋at1－（x0＋at2）]2＋[y0＋bt1－（y0＋bt2）]2)＝eq \r(a2＋b2)|t1－t2|.故选C.
3．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cs θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝t2，,y＝2\r(2)t))(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．
解析：由ρ(cs θ＋sin θ)＝－2，得x＋y＝－2 ①.
又eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝t2，,y＝2\r(2)t，))消去t，得y2＝8x ②.
联立①②得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－4，))即交点坐标为(2，－4)．
答案：(2，－4)
参数方程与普通方程的互化(自主练透)
1．将下列参数方程化为普通方程．
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,t)，,y＝\f(1,t)\r(t2－1)))(t为参数)；
(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋sin2θ，,y＝－1＋cs 2θ))(θ为参数)．
解：(1)由t2－1≥0⇒t≥1或t≤－1
⇒0①式代入②式得x2＋y2＝1.
其中eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0(2)由x＝2＋sin2θ，0≤sin2θ≤1
⇒2≤2＋sin2θ≤3⇒2≤x≤3，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋sin2θ，,y＝－1＋cs 2θ))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2＝sin2θ，,y＝－1＋1－2sin2θ))⇒
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2＝sin2θ，,y＝－2sin2θ))⇒2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．
2．已知曲线C1：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－4＋cs t，,y＝3＋sin t))(t为参数)，曲线C2：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝8cs θ，,y＝3sin θ))(θ为参数)．化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．
解：曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线C2：eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,9)＝1，
所以曲线C1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；
曲线C2是中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
eq \a\vs4\al()
将参数方程化为普通方程的方法
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cs2θ＝1等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．
参数方程的应用(师生共研)
(2020·信阳模拟)在直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝2sin θ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋t，,y＝4＋t))(t为参数)．
(1)若直线l与圆O相交于A，B两点，求弦长|AB|，若点P(2，4)，求|PA|·|PB|的值；
(2)以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cs θ＋2eq \r(3)sin θ，圆O和圆C的交点为P，Q，求弦PQ所在直线的直角坐标方程．
【解】 (1)由直线l的参数方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋t，,y＝4＋t))(t为参数)，消去参数t可得x－y＋2＝0，即直线l的普通方程为x－y＋2＝0.
圆O的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝2sin θ))(θ为参数)，根据sin2θ＋cs2θ＝1消去参数θ，可得x2＋y2＝4，所以圆心O到直线l的距离d＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)，故弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(2).
把直线l的参数方程标准化可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝4＋\f(\r(2),2)t，))将其代入圆O的方程x2＋y2＝4得t2＋6eq \r(2)t＋16＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝16.
(2)圆C的极坐标方程为ρ＝2cs θ＋2eq \r(3)sin θ，利用ρ2＝x2＋y2，ρcs θ＝x，ρsin θ＝y，可得圆C的普通方程为x2＋y2＝2x＋2eq \r(3)y.
因为圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝4，所以弦PQ所在直线的直角坐标方程为4＝2x＋2eq \r(3)y，即x＋eq \r(3)y－2＝0.
eq \a\vs4\al()
(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．
(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：
过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.
①弦长l＝|t1－t2|；
②弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；
③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
1．(2020·日照模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))，直线l过点P(0，－eq \r(3))且倾斜角为eq \f(π,3).
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．
解：(1)曲线C：ρ＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))⇒ρ＝4cs θcs eq \f(π,3)＋4sin θsin eq \f(π,3)，
所以ρ2＝2ρcs θ＋2eq \r(3)ρsin θ，
即x2＋y2＝2x＋2eq \r(3)y，
得曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－eq \r(3))2＝4.
直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)t，,y＝－\r(3)＋\f(\r(3),2)t))(t为参数)．
(2)将eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)t，,y＝－\r(3)＋\f(\r(3),2)t))(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)t－1))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)t－2\r(3)))eq \s\up12(2)＝4，
整理得t2－7t＋9＝0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝7，t1t2＝9，所以t1>0，t2>0，所以|PA|＋|PB|＝t1＋t2＝7.
2．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝a＋4t，,y＝1－t))(t为参数)．
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为eq \r(17)，求a.
解：(1)曲线C的普通方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋4y－3＝0，,\f(x2,9)＋y2＝1，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(21,25)，,y＝\f(24,25).))
从而C与l的交点坐标为(3，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21,25)，\f(24,25))).
(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cs θ，sin θ)到l的距离为d＝eq \f(|3cs θ＋4sin θ－a－4|,\r(17))＝eq \f(|5sin（θ＋φ）－a－4|,\r(17))，φ满足tan φ＝eq \f(3,4).
当－a－4≤0，即a≥－4时，d的最大值为eq \f(a＋9,\r(17)) .
由题设得eq \f(a＋9,\r(17))＝eq \r(17)，所以a＝8；
当－a－4>0，即a<－4时，d的最大值为eq \f(－a＋1,\r(17))，
由题设得eq \f(－a＋1,\r(17))＝eq \r(17)，所以a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16.
参数方程与极坐标方程的综合应用(师生共研)
(2020·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)＋tcs α，,y＝2＋tsin α))(α为参数)．在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝eq \f(2,\r(1＋3cs2θ))，直线l与曲线C相交于不同的两点A，B.
(1)若α＝eq \f(π,6)，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若|OP|为|PA|与|PB|的等比中项，其中P(eq \r(3)，2)，求直线l的斜率．
【解】 (1)因为α＝eq \f(π,6)，所以直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)＋\f(\r(3),2)t，,y＝2＋\f(1,2)t))(t为参数)．
消t可得直线l的普通方程为x－eq \r(3)y＋eq \r(3)＝0.
因为曲线C的极坐标方程ρ＝eq \f(2,\r(1＋3cs2θ))可化为ρ2(1＋3cs2θ)＝4，
所以曲线C的直角坐标方程为4x2＋y2＝4.
(2)设直线l上两点A，B对应的参数分别为t1，t2，
将eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)＋tcs α，,y＝2＋tsin α))代入曲线C的直角坐标方程4x2＋y2＝4可得4(eq \r(3)＋tcs α)2＋(2＋tsin α)2＝4，
化简得(4cs2α＋sin2α)t2＋(8eq \r(3)cs α＋4sin α)t＋12＝0，
因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝eq \f(12,4cs2α＋sin2α)，|OP|2＝7，
所以eq \f(12,4cs2α＋sin2α)＝7，解得tan2α＝eq \f(16,5).
因为Δ＝(8eq \r(3)cs α＋4sin α)2－48(4cs2α＋sin2α)>0
即2sin α(2eq \r(3)cs α－sin α)>0，可知tan α>0，
解得tan α＝eq \f(4\r(5),5)，
所以直线l的斜率为eq \f(4\r(5),5).
eq \a\vs4\al()
(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
1．(2020·河南省第五次测评)在直角坐标系xOy中，曲线C1：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(5)cs α，,y＝2＋\r(5)sin α))(α为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ2＝4ρcs θ－3.
(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)若曲线C1与C2交于A，B两点，A，B的中点为M，点P(0，－1)，求|PM|·|AB|的值．
解：(1)曲线C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝5.
由ρ2＝x2＋y2，ρcs θ＝x，得曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x＋3＝0.
(2)将两圆的方程x2＋(y－2)2＝5与x2＋y2－4x＋3＝0作差得直线AB的方程为x－y－1＝0.
点P(0，－1)在直线AB上，设直线AB的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)t，,y＝－1＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，
代入x2＋y2－4x＋3＝0化简得t2－3eq \r(2)t＋4＝0，所以t1＋t2＝3eq \r(2)，t1t2＝4.
因为点M对应的参数为eq \f(t1＋t2,2)＝eq \f(3\r(2),2)，
所以|PM|·|AB|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(t1＋t2,2)))·|t1－t2|＝eq \f(3\r(2),2)×eq \r(（t1＋t2）2－4t1t2)＝eq \f(3\r(2),2)×eq \r(18－4×4)＝3.
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1－t2,1＋t2)，,y＝\f(4t,1＋t2)))(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcs θ＋eq \r(3)ρsin θ＋11＝0.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l距离的最小值．
解：(1)因为－1＜eq \f(1－t2,1＋t2)≤1，
且x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－t2,1＋t2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(4t2,（1＋t2）2)＝1，
所以C的直角坐标方程为x2＋eq \f(y2,4)＝1(x≠－1)．
l的直角坐标方程为2x＋eq \r(3)y＋11＝0.
(2)由(1)可设C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝cs α，,y＝2sin α))(α为参数，－π＜α＜π)．
C上的点到l的距离为
eq \f(|2cs α＋2\r(3)sin α＋11|,\r(7))＝eq \f(4cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＋11,\r(7)).
当α＝－eq \f(2π,3)时，4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为eq \r(7).
[基础题组练]
1．(2020·四川广元模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)t，,y＝3＋\f(\r(3),2)t))(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin(θ＋eq \f(π,3))．
(1)求曲线C的直角坐标方程．
(2)设点M的直角坐标为(0，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|＋|MB|的值．
解：(1)把ρ＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))，展开得ρ＝2sin θ＋2eq \r(3) cs θ，两边同乘ρ得ρ2＝2ρsin θ＋2eq \r(3)ρcs θ ①.
将ρ2＝x2＋y2，ρcs θ＝x，ρsin θ＝y代入①，
即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2eq \r(3)x－2y＝0 ②.
(2)将eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)t，,y＝3＋\f(\r(3),2)t))代入②式，得t2＋3eq \r(3)t＋3＝0，
点M的直角坐标为(0，3)．
设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－3eq \r(3)，t1·t2＝3，
所以t1<0，t2<0.
则由参数t的几何意义即得|MA|＋|MB|＝|t1＋t2|＝3eq \r(3).
2．(2020·太原模拟)在直角坐标系中，圆C的参数方程为：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋2cs α，,y＝\r(3)＋2sin α))(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若直线l：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝tcs φ，,y＝tsin φ))(t为参数)被圆C截得的弦长为2eq \r(3)，求直线l的倾斜角．
解：(1)圆C：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋2cs α，,y＝\r(3)＋2sin α，))消去参数α得(x－1)2＋(y－eq \r(3))2＝4，
即x2＋y2－2x－2eq \r(3)y＝0，
因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcs θ，y＝ρsin θ.
所以ρ2－2ρcs θ－2eq \r(3)ρsin θ＝0，ρ＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3))).
(2)因为直线l：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝tcs φ，,y＝tsin φ))的极坐标方程为θ＝φ，
当θ＝φ时ρ＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ－\f(π,3)))＝2eq \r(3).
即cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ－\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),2)，
所以φ－eq \f(π,3)＝eq \f(π,6)或φ－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,6).
所以φ＝eq \f(π,2)或φ＝eq \f(π,6)，
所以直线l的倾斜角为eq \f(π,6)或eq \f(π,2).
3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2t－1，,y＝－4t－2))(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝eq \f(2,1－cs θ).
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．
解：(1)因为ρ＝eq \f(2,1－cs θ)，
所以ρ－ρcs θ＝2，
即ρ＝ρcs θ＋2.
因为x＝ρcs θ，ρ2＝x2＋y2，
所以x2＋y2＝(x＋2)2，化简得y2－4x－4＝0.
所以曲线C2的直角坐标方程为y2－4x－4＝0.
(2)因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2t－1，,y＝－4t－2，))
所以2x＋y＋4＝0.
所以曲线C1的普通方程为2x＋y＋4＝0.
因为M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，
所以|M1M2|的最小值等于点M2到直线2x＋y＋4＝0的距离的最小值．
不妨设M2(r2－1，2r)，点M2到直线2x＋y＋4＝0的距离为d，
则d＝eq \f(2|r2＋r＋1|,\r(5))＝eq \f(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))),\r(5))≥eq \f(3,2\r(5))＝eq \f(3\r(5),10)，
当且仅当r＝－eq \f(1,2)时取等号．
所以|M1M2|的最小值为eq \f(3\r(5),10).
4．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3cs α，,y＝2sin α))(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6))).
(1)写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；
(2)若过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4)))(极坐标)且倾斜角为eq \f(π,3)的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求eq \f(|AP|,|AM|·|AN|)的值．
解：(1)由题意可得曲线C的普通方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，
将eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入曲线C的普通方程可得，曲线C的极坐标方程为eq \f(ρ2cs2θ,9)＋eq \f(ρ2sin2θ,4)＝1.
因为曲线D的极坐标方程为ρ＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))，
所以ρ2＝4ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))＝4ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin θ－\f(1,2)cs θ))，
又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，
所以x2＋y2＝2eq \r(3)y－2x，
所以曲线C的极坐标方程为eq \f(ρ2cs2θ,9)＋eq \f(ρ2sin2θ,4)＝1；曲线D的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2eq \r(3)y＝0.
(2)点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4)))，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2\r(2)cs\f(π,4)＝2，,y＝2\r(2)sin\f(π,4)＝2，))所以A(2，2)．
因为直线l过点A(2，2)且倾斜角为eq \f(π,3)，所以直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs \f(π,3)，,y＝2＋tsin \f(π,3)))(t为参数)，代入eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1中可得，eq \f(31,4)t2＋(8＋18eq \r(3))t＋16＝0，
设M，N对应的参数分别为t1，t2，
由一元二次方程根与系数的关系得，t1＋t2＝－eq \f(32＋72\r(3),31)，t1t2＝eq \f(64,31)，
所以eq \f(|AP|,|AM|·|AN|)＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(t1＋t2,2))),|t1t2|)＝eq \f(4＋9\r(3),16).
[综合题组练]
1．(2020·广州模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋\r(7)cs α，,y＝\r(7)sin α))(α为参数)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8cs θ，直线l的极坐标方程为θ＝eq \f(π,3)(ρ∈R)．
(1)求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C1，C2在第一象限分别交于A，B两点，P为曲线C2上的动点，求△PAB面积的最大值．
解：(1)依题意得，曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝7，曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρcs θ－3＝0.
直线l的直角坐标方程为y＝eq \r(3)x.
(2)曲线C2的直角坐标方程为(x－4)2＋y2＝16，
设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ1，\f(π,3)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2，\f(π,3)))，
则ρeq \\al(2,1)－4ρ1cs eq \f(π,3)－3＝0，即ρeq \\al(2,1)－2ρ1－3＝0，
得ρ1＝3或ρ1＝－1(舍)，
又ρ2＝8cs eq \f(π,3)＝4，则|AB|＝|ρ2－ρ1|＝1.
C2(4，0)到l的距离d＝eq \f(|4\r(3)|,\r(4))＝2eq \r(3)，以AB为底边的△PAB的高的最大值为4＋2eq \r(3)，
则△PAB的面积的最大值为eq \f(1,2)×1×(4＋2eq \r(3))＝2＋eq \r(3).
2．(2020·南昌模拟)在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρcs θ－ρsin θ＝2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2Pcs θ(P>0)．
(1)求直线l过点(－2，－4)的参数方程；
(2)已知直线l与曲线C交于N，Q两点，M(－2，－4)，且|NQ|2＝|MN|·|MQ|，求实数P的值．
解：(1)将x＝ρcs θ，y＝ρsin θ代入直线l的极坐标方程，得直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.
所以直线l过点(－2，－4)的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝－4＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)．
(2)由ρsin2θ＝2Pcs θ(P>0)，
得(ρsin θ)2＝2Pρcs θ(P>0)，
将ρcs θ＝x，ρsin θ＝y代入，得y2＝2Px(P>0)．
将直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程联立，得t2－2eq \r(2)(4＋P)t＋8(4＋P)＝0，(*)
Δ＝8P(4＋P)>0.
设点N，Q分别对应参数t1，t2，恰好为上述方程的根，
则|MN|＝t1，|MQ|＝t2，|NQ|＝|t1－t2|.
由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|.
由(*)得t1＋t2＝2eq \r(2)(4＋P)，t1t2＝8(4＋P)>0，
则有(4＋P)2－5(4＋P)＝0，
得P＝1或P＝－4.因为P>0，所以P＝1.
3．(2020·栖霞模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝acs t，,y＝2sin t))(t为参数，a>0)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－4eq \r(2).
(1)设P是曲线C上的一个动点，当a＝2eq \r(3)时，求点P到直线l的距离的最小值；
(2)若曲线C上所有的点都在直线l的右下方，求实数a的取值范围．
解：(1)由ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－4eq \r(2)，得到ρ(cs θ－sin θ)＝－8，
因为ρcs θ＝x，ρsin θ＝y，
所以直线l的普通方程为x－y＋8＝0.
设P(2eq \r(3)cs t，2sin t)，则点P到直线l的距离
d＝eq \f(|2\r(3)cs t－2sin t＋8|,\r(2))＝eq \f(|4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,3)))－8|,\r(2))
＝2eq \r(2)|sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,3)))－2|，
当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,3)))＝1时，dmin＝2eq \r(2)，
所以点P到直线l的距离的最小值为2eq \r(2).
(2)设曲线C上任意点P(acs t，2sin t)，由于曲线C上所有的点都在直线l的右下方，
所以acs t－2sin t＋8>0对任意t∈R恒成立．
eq \r(a2＋4)sin(t－φ)<8，其中cs φ＝eq \f(2,\r(a2＋4))，
sin φ＝eq \f(a,\r(a2＋4)).
从而eq \r(a2＋4)<8.
由于a>0，解得0即a∈(0，2eq \r(15))．
4．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－5＋\r(2)cs t，,y＝3＋\r(2)sin t))(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcs(θ＋eq \f(π,4))＝－eq \r(2).
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．
解：(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－5＋\r(2)cs t，,y＝3＋\r(2)sin t，))消去参数t，
得(x＋5)2＋(y－3)2＝2，
所以圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.
由ρcs (θ＋eq \f(π,4))＝－eq \r(2)，得ρcs θ－ρsin θ＝－2，
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2，0)，B(0，2)，化为极坐标为A(2，π)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2)))，
设点P的坐标为(－5＋eq \r(2)cs t，3＋eq \r(2)sin t)，则点P到直线l的距离为d＝eq \f(|－5＋\r(2)cs t－3－\r(2)sin t＋2|,\r(2))
＝eq \f(|－6＋2cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(π,4)))|,\r(2)).
所以dmin＝eq \f(4,\r(2))＝2eq \r(2)，又|AB|＝2eq \r(2).
所以△PAB面积的最小值是S＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×2eq \r(2)＝4.
名称
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝k(x－x0)
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α,y＝y0＋tsin α))
(t为参数)
圆
(x－x0)2＋(y－y0)2＝R2
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝x0＋Rcs θ,y＝y0＋Rsin θ))
(θ为参数且0≤θ<2π)
椭圆
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝acs t,y＝bsin t))
(t为参数且0≤t<2π)
抛物线
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2pt2,y＝2pt))(t为参数)