高中数学人教版新课标A必修3第三章 概率综合与测试同步训练题

这是一份高中数学人教版新课标A必修3第三章 概率综合与测试同步训练题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是 ( C )
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．既不互斥又不对立事件
[解析] 甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．
2．已知小红的钱包中有2枚“壹分”，2枚“贰分”，3枚“伍分”的硬币，她随意地从钱包中取出2枚硬币观察其面值．这一试验的基本事件总数n等于( A )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析] 由题意知，基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,5)，(2,2)，(2,5)，(5,5)，故6个，故选A．
3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为( D )
A．0.7 B．0.65
C．0.35 D．0.3
[解析] 由题意知事件A、B、C互为互斥事件，记事件D＝“抽到的是二等品或三等品”，则P(D)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＝0.3，故选D．
4．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷56粒，则这批米内夹谷约为 ( B )
A．1 365石 B．336石
C．168石 D．134石
[解析] 设这批米内夹谷约为x石，则根据题意得到eq \f(x,1 524)＝eq \f(56,254)⇒x＝336.
5．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( D )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(3,5) D．eq \f(9,10)
[解析] 五人录用三人共有10种不同方式，分别为：{丙，丁，戊}，{乙，丁，戊}，{乙，丙，戊}，{乙，丙，丁}，{甲，丁，戊}，{甲，丙，戊}，{甲，丙，丁}，{甲，乙，戊}，{甲，乙，丁}，{甲，乙，丙}．
其中含甲或乙的情况有9种，故选D．
6．一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球，现有放回地摸球，规定每次只能摸一个球，若第一次摸到的球的编号为x，第二次摸到的球的编号为y，构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为 ( A )
A．eq \f(3,16) B．eq \f(1,8)
C．eq \f(1,18) D．eq \f(1,6)
[解析] 由题意可知两次摸球得到的所有数对(x，y)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)(4,3)，(4,4)，共16个，其中满足xy＝4的数对有(1,4)，(2,2)，(4,1)，共3个．故所求事件的概率为eq \f(3,16).
7．设p在[0,5]上随机地取值，则关于x的方程x2＋px＋1＝0有实数根的概率为( C )
A．eq \f(1,5) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(3,5) D．eq \f(4,5)
[解析] 0≤p≤5且方程有实根满足p2－4≥0，则2≤p≤5，所以对应的概率为P＝eq \f(5－2,5－0)＝eq \f(3,5).
8．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以eq \f(7,10)为概率的事件是( C )
A．恰有2件一等品 B．至少有一件一等品
C．至多有一件一等品 D．都不是一等品
[解析] 将3件一等品编号为1,2,3；2件二等品编号为4,5.从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P1＝eq \f(6,10)；恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)，故恰有2件一等品的概率为P2＝eq \f(3,10)，其对立事件是“至多有1件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－eq \f(3,10)＝eq \f(7,10).
9．如图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为eq \f(1,2)的正方形ABCD，向半圆内任投一点，则该点落在正方形内的概率为( C )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,π)
C．eq \f(1,2π) D．eq \f(1,π2)
[解析] 设事件A为“该点落在正方形内”，则SG＝eq \f(π,2)，SG1＝(eq \f(1,2))2＝eq \f(1,4)，
∴P(A)＝eq \f(SG1,SG)＝eq \f(\f(1,4),\f(π,2))＝eq \f(1,2π).
10．袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套3只，白色手套2只．现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．则甲、乙获胜的机会是( C )
A．一样多 B．甲多
C．乙多 D．不能确定
[解析] 乙获胜的概率为eq \f(3,5)，甲获胜的概率为eq \f(2,5)，乙获胜的概率大于甲获胜的概率．
11．一个球形容器的半径为3 cm，里面装满纯净水，因不小心混入了1个感冒病毒，从中任取1 mL水含有感冒病毒的概率为( C )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,3π)
C．eq \f(1,36π) D．eq \f(4,9π)
[解析] 纯净水的体积为eq \f(4,3)π×33＝36π(cm3)＝36π(mL)，任取1 mL水含有感冒病毒的概率P＝eq \f(1,36π).
12．为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( C )
A．eq \f(1,10) B．eq \f(7,15)
C．eq \f(8,15) D．eq \f(13,15)
[解析] 根据频率分布直方图可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4，
设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A，B，设生产产品件数在[15,20)内的4人分别为C，D，E，F，
则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
2位工人不在同一组的结果有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8种．
则选取这2人不在同一组的概率为eq \f(8,15).
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx＋ny＝3,2x＋3y＝2))只有一组解的概率是__eq \f(17,18)__.
[解析] 方程组只有一组解，除了eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2,n＝3))，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝4,n＝6)).这两种情况之外都可以，故所求概率P＝eq \f(6×6－2,6×6)＝eq \f(17,18).
14．设A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{1,3,5,7,9}，集合C是从A∪B中任取2个元素组成的集合，则CA∩B的概率是__eq \f(3,28)__.
[解析] 由题意知，A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7,9}，含8个元素，A∩B＝{1,3,5}，含3个元素，从A∪B中任取2个元素，共有28种情况，从A∩B中任取2个元素，共有3种情况，所以CA∩B的概率P＝eq \f(3,28).
15．为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只作过标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中作过标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚__160 000__只．
[解析] 设保护区内有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所以eq \f(400,x)＝eq \f(2,800)，解得x＝160 000.
16．某校组织“中国诗词”竞赛，在“风险答题”的环节中，共为选手准备了A、B、C三类不同的题目，选手每答对一个A类、B类或C类的题目，将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，则相应要扣去300分、200分、100分，根据平时训练经验，选手甲答对A类、B类或C类题目的概率分别为0.6、0.75、0.85，若要每一次答题的平均分更大一些，则选手甲应选择的题目类型应为__B__.(填A、B或C)
[解析] 选手甲选择A类题目，得分的均值为：0.6×300＋0.4×(－300)＝60；
选手甲选择B类题目，得分的均值为：0.75×200＋0.25×(－200)＝100；
选手甲选择C类题目，得分的均值为：0.85×100＋0.15×(－100)＝70，
∴若要每一次答题的平均分更大一些，则选手甲选择的题目类型应为B．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)一个口袋内装有大小相同的1个白球和已编有号码的3个黑球，从中摸出2个球．
(1)共有多少种不同的结果？
(2)2个球均为黑球有多少种不同结果？
(3)2个球均为黑球的概率是多少？
[解析] (1)共有6种不同的结果，分别为(黑1，黑2)、(黑1，黑3)、(黑2，黑3)、(白，黑1)、(白、黑2)、(白、黑3)．
(2)2个球均为黑球有3种不同的结果．
(3)由于6种结果是等可能的，其中2个球均为黑球(记为事件A)有3种不同的结果，
∴P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).
18．(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
[解析] (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).
(2)基本事件同(1)．用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝eq \f(8,15).
19．(本小题满分12分)据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 600人进行调查(若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的80%，则认为本次调查“失效”)，就“是否取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：
已知在样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.
(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？
(2)已知y≥657，z≥55，求本次调查“失效”的概率．
[解析] (1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，∴eq \f(120＋x,3 600)＝0.05，解得x＝60.∴持“无所谓”态度的人数为3 600－2 100－120－600－60＝720.
∴应在持“无所谓”态度的人中抽取720×eq \f(360,3 600)＝72人．
(2)∵y＋z＝720，且y，z∈N，y≥657，z≥55，故满足条件的(y，z)有(657,63)，(658,62)，(659,61)，(660,60)，(661,59)，(662,58)，(663,57)，(664,56)，(665,55)，共9种情况．
记本次调查“失效”为事件A，若调查“失效”，则2 100＋120＋y<3 600×0.8，解得y<660.
∴事件A包含(657,63)，(658,62)，(659,61)，共3种情况，∴P(A)＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).
20．(本小题满分12分)某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级，现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下
(1)在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；
(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
[解析] (1)由频率分布表得
0．05＋m＋0.15＋0.35＋n＝1.
即m＋n＝0.45.
由抽取的20零件中，等级为5的恰有2个得
n＝eq \f(2,20)＝0.1，
所以m＝0.45－0.1＝0.35.
(2)由(1)得，等级为3的零件有3个，记为x1，x2，x3，等级为5的零件有2个，记为y1，y2，从中任意抽取2个零件，所有可能结果为：(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)共计10种，记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”，则A包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)共4个．
故所求概率P(A)＝eq \f(4,10)＝0.4.
21．(本小题满分12分)有一天，小明去公园玩，被公园门口的一种游戏所吸引，其游戏规则是：如图是一个转盘，游戏者免费转一下，转盘停止后，找到指针所指的数，从这一格的下一格开始，顺时针数与该数相同数目的格子停止，按照停止的格子上的提示得到或付出相应的钱数．你想来试试吗？
[解析] 假设指针所指的数为3，则按规则可得到3元(数字12位置中的奖励)，同理，指针所指的数为5,7,11,13,15中的一个时，同样可得3元．但指针所指的数为除3,5,7,11,13,15之外的数时，就要罚3元．例如，若指针所指的数为10，按规则从这一格的下一格开始数，顺时针数10个位置到位置16，则要罚3元．
设得到钱的概率为P1，付出钱的概率为P2，则
P1＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8)，P2＝eq \f(10,16)＝eq \f(5,8).
上述概率说明，如果玩很多次的话，平均每8次能得到3×3＝9(元)，却要付出5×3＝15(元)，亏6元．所以玩的次数越多，亏得越多，建议这种游戏还是不玩为好．
22．(本小题满分12分)砂糖橘是柑橘类的名优品种，因其味甜如砂糖故名．某果农选取一片山地种植砂糖橘，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位：kg)，获得的所有数据按照区间[40,45]，(45,50]，(50,55]，(55,60]进行分组，得到频率分布直方图如图．已知样本中产量在区间(45,50]上的果树株数是产量在区间(50,60]上的果树株数的eq \f(4,3)倍．
(1)求a、b的值；
(2)从样本中产量在区间(50,60]上的果树里随机抽取两株，求产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中的概率．
[解析] (1)样本中产量在区间(45,50]上的果树有a×5×20＝100a(株)，
样本中产量在区间(50,60]上的果树有(b＋0.02)×5×20＝100(b＋0.02)(株)，依题意，有100a＝eq \f(4,3)×100(b＋0.02)．即a＝eq \f(4,3)(b＋0.02)．①
根据频率分布直方图可知
(0.02＋b＋0.06＋a)×5＝1，②.
解①②组成的方程组得a＝0.08，b＝0.04.
(2)样本中产量在区间(50,55]上的果树有0.04×5×20＝4(株)，分别记为A1，A2，A3，A4，产量在区间(55,60]上的果树有0.02×5×20＝2(株)，分别记为B1，B2.
从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)．
其中产量在(55,60]上的果树至少有一株被抽中共有9种情况：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)．
记“从样本中产量在区间(50,60]上的果树里随机抽取两株，产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中为事件M”，则P(M)＝eq \f(9,15)＝eq \f(3,5).
态度调查人群
应该取消
应该保留
无所谓
在校学生
2 100人
120人
y人
社会人士
600人
x人
z人
等级
1
2
3
4
5
频率
0.05
m
0.15
0.35
n