高中物理教科版必修18 匀变速直线运动规律的应用导学案及答案

匀变速直线运动规律的应用

1．位移与速度的关系式：v－v＝2ax，若v0＝0，则关系式为v＝2ax。

2．公式推导：速度公式vt＝v0＋at，①

位移公式x＝v0t＋at2，②

由①②式解得v－v＝2ax。

3．位移与速度关系式是矢量式，使用时应先规定正方向，以便确定v0、vt、a、x的正负。

4．以下对匀变速直线运动规律的应用，符合科学实际的有①③。

①公式v－v＝2ax中v前面的“－”号表示运算符号，不代表方向；

②加速度公式a＝和a＝既适用于匀变速直线运动，又适用于非匀变速直线运动；

③计算位移的关系式x＝v0t＋at2、x＝t和x＝都是只适用于匀变速直线运动。

知识点一　关系式v－v＝2ax的应用

1．适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动。

2．意义：公式v－v＝2ax反映了初速度v0、末速度vt、加速度a、位移x之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求另一个未知量。

3．公式的矢量性：公式中v0、vt、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向。

(1)物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值。

(2)x>0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x<0，说明位移的方向与初速度的方向相反。

4．两种特殊形式：

(1)当v0＝0时，v＝2ax。(初速度为零的匀加速直线运动)

(2)当vt＝0时，－v＝2ax。(末速度为零的匀减速直线运动)

物体做初速度为v0、加速度为a的匀加速直线运动，取初速度的方向为正方向，应用公式v－v＝2ax求解运动位移x时的速度vt，vt有一正一负两解，两解都有意义吗？为什么？

提示：物体做单一方向的加速直线运动，速度不可能是负值，故正值有意义，负值无意义应舍掉。

【典例】如图所示，一物块从一光滑且足够长的固定斜面顶端O点无初速度释放后，先后通过P、Q、N三点，已知物块从P点运动到Q点与从Q点运动到N点所用的时间相等，且PQ长度为3 m，QN长度为4 m，则由上述数据可以求出OP的长度为(　　)

A．2 m　　　B． m　　　C． m　　　D．3 m

【解析】选C。在相邻的相等时间内的位移差是恒量，即Δx＝at2，结合Q点的速度等于PN段的平均速度，求出Q点的速度，再结合运动学公式求出OQ的距离，结合PQ距离求出OP长度；设相等的时间为t，加速度为a，由：Δx＝at2，得加速度：a＝＝＝，Q点瞬时速度的大小等于PN段的平均速度的大小：即vQ＝PN＝＝，则OQ间的距离：xOQ＝＝×＝

 m，则OP长度为：xOP＝xOQ－xPQ＝ m－3 m＝ m，故A、B、D错误，C正确。

运动学问题的一般求解思路

(1)弄清题意。建立一幅物体运动的图景，尽可能地画出草图，并在图中标明一些位置和物理量。

(2)弄清研究对象。明确哪些是已知量，哪些是未知量，根据公式特点选用恰当公式。

(3)列方程、求解。必要时要检查计算结果是否与实际情况相符合。

1．一质点做匀加速直线运动时，速度变化Δv时发生位移为x1，紧接着速度变化同样的Δv时发生位移为x2，则该质点的加速度大小为(　　)

A．　　　　　 B．

C．       D．(Δv)2(－)

【解析】选B。设匀加速的加速度为a，质点的速度分别为v1、v2和v3，根据运动学公式可知：v－v＝2ax1，v－v＝2ax2，且v2－v1＝v3－v2＝Δv，则v3－v1＝2Δv，联立以上三式解得a＝，B正确。

2．(2020·许昌高一检测)如图所示是某物体做直线运动的v2­x图像(其中v为速度，x为位置坐标)，下列关于物体从x＝0运动至x＝x0的过程分析，正确的是(　　)

A．该物体做匀加速直线运动

B．该物体的加速度大小为

C．当该物体速度大小为v0时，位移大小为

D．当该物体位移大小为x0时，速度大小为v0

【解析】选C。由匀变速直线运动的速度—位移关系公式v2－v＝2ax可得：v2＝2ax＋v，所以2a＝－，a＝－，可知物体的加速度恒定不变，由于物体的速度减小，故物体做匀减速直线运动，故A、B项与题意不相符； 当该物体速度大小为时，代入速度—位移关系公式得：位移为：x＝x0，所以C正确；当该物体位移大小为时，代入速度—位移关系公式得：v＝，故D项错误。

【加固训练】

物体从静止开始做匀加速直线运动，测得第n秒内的位移为x，则物体的加速度为(　　)

A．　　　B．  C．   D．

【解析】选C。物体在第n秒末的速度为vn＝na，在第n秒初的速度[也就是(n－1)秒末的速度]为vn－1＝(n－1)a，根据公式2ax＝v－v得2ax＝(na)2－[(n－1)a]2，解得a＝，故C正确。

知识点二　匀变速直线运动基本公式的比较

1．共同点：

(1)适用条件相同：适用于匀变速直线运动。

(2)都是矢量式： v0、vt、a、x都是矢量，应用这些公式时必须选取统一的正方向，一般选取v0方向为正方向。

(3)都涉及四个物理量，当已知其中三个物理量时，可求另一个未知量。

2．不同点：

【典例】小轿车以20 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，司机发现正前方有个收费站，经20 s后司机才开始刹车使车匀减速，恰好停在收费窗口，缴费后匀加速到20 m/s后继续匀速前行。已知小轿车刹车时的加速度为2 m/s2，停车缴费所用时间为30 s，启动时加速度为1 m/s2。

(1)司机是在离收费窗口多远处发现收费站的。

(2)因国庆放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求轿车通过收费窗口前9 m区间速度不超过6 m/s，则国庆期间该小轿车：

①应离收费窗口至少多远处开始刹车？

②因不停车通过可以节约多少时间？

【解析】(1)根据题意，设小轿车匀速运动位移为s1；减速运动时间为t2，位移为s2。则t2＝＝ s＝10 s

匀速位移s1＝vt1＝20×20 m＝400 m

减速位移s2＝vt2－at＝100 m

所以司机在离收费窗口(100＋400) m＝500 m处发现收费站的。

(2) ①根据题意轿车应在收费窗口前9 m处速度减为6 m/s；设车减速位移为s3。

由2as3＝v－v2，得，s3＝＝ m＝91 m。

所以，轿车应离收费窗口(91＋9) m＝100 m处开始刹车。

②设停车收费后加速时间为t3，位移为s4，则有

t3＝＝20 s，s4＝a′t＝200 m

若停车收费经过窗口前100米到窗口后200米的总时间为(10＋30＋20) s＝60 s

若不停车收费也是窗口前100米开始刹车，时间为t4＝＝7 s

窗口前匀速时间为t5＝＝ s＝1.5 s

窗口后加速到20 m/s所用时间为t6＝＝14 s

加速运动位移由s＝v0t＋at2得s′3＝6×14 m＋×1×142 m＝182 m

窗口后还有200 m－182 m＝18 m匀速，则t7＝＝ s＝0.9 s

若不停车经过窗口前100米到窗口后200米的总时间为

(7＋1.5＋14＋0.9) s＝23.4 s

所以不停车通过可以节约的时间为60 s－23.4 s＝36.6 s。

答案：(1)500 m　(2)①100 m　②36.6 s

1．汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，看到前方有障碍物立即刹车(反应时间不计)，刹车后加速度大小为5 m/s2，则汽车刹车后第2 s内的位移和刹车后5 s内的位移为(　　)

A．30 m，40 m　　　　　　 B．30 m，37.5 m

C．12.5 m，40 m       D．12.5 m，37.5 m

【解析】选C。汽车减速到0需要的时间为：t＝＝ s＝4 s，刹车后第2 s初的速度为v′＝v0＋at′＝20 m/s－5×1 m/s＝15 m/s，刹车后第2 s内的位移为：x1＝v′t1＋at＝15×1 m－×5×1 m＝12.5 m，汽车运动4 s就停止运动，则刹车后5 s内的位移为：x＝＝ m＝40 m。故选项C正确。

2．(多选)汽车自A点从静止开始在平直公路上做匀加速直线运动，车的加速度是2 m/s2，途中分别经过P、Q两根电线杆，已知P、Q电线杆相距50 m，车经过电线杆Q时的速度是15 m/s，则下列结论中正确的是(　　)

A．汽车经过P电线杆的速度是5 m/s

B．经过7.5 s汽车运动到P电线杆

C．汽车经过P、Q电线杆的时间是5 s

D．汽车经过P、Q电线杆的平均速度是12 m/s

【解析】选A、C。由匀变速直线运动的速度与位移关系可知v－v＝2ax，代入数据解得vP＝5 m/s，故A正确；根据速度公式可以知道到达P电线杆的时间为：tP＝＝2.5 s，故选项B错误；汽车经过P、Q电线杆的时间t＝＝ s＝5 s，故C正确；则经过P、Q电线杆的平均速度为＝＝ m/s＝10 m/s，故选项D错误。

【加固训练】

汽车正在以12 m/s的速度在平直的公路上前进，在它的正前方15 m处有一障碍物，汽车立即刹车做匀减速运动，加速度大小为6 m/s2，刹车后3 s末汽车和障碍物之间的距离为(　　)

A．3 m　　B．6 m　　C．12 m　　D．9 m

【解析】选A。汽车从刹车到静止用时t＝＝2 s，刹车后3 s末汽车已静止，此过程汽车前进的距离x＝＝ m＝12 m，故刹车后3 s末汽车和障碍物之间的距离为15 m－12 m＝3 m ，A正确。

知识点三　初速度为零的匀变速直线运动的常用推论

1．等分运动时间(以T为时间单位)：

(1)1T末、2T末、3T末…瞬时速度之比：

由v＝at可得：v1∶v2∶v3…＝1∶2∶3…

(2)1T内、2T内、3T内…位移之比：

由x＝at2可得：x1∶x2∶x3…＝1∶4∶9…

(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内…的位移之比：

由xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1，xⅢ＝x3－x2…可得：

xⅠ∶xⅡ∶xⅢ…＝1∶3∶5…

2．等分位移(以x为单位)：

(1)通过x、2x、3x…所用时间之比：

由x＝at2可得t＝，所以

t1∶t2∶t3…＝1∶∶…

(2)通过第一个x、第二个x、第三个x…所用时间之比：

由tⅠ＝t1，tⅡ＝t2－t1，tⅢ＝t3－t2…可得：

tⅠ∶tⅡ∶tⅢ…＝1∶(－1)∶(－)…

(3)x末、2x末、3x末…的瞬时速度之比：

由v2＝2ax，可得v＝，所以

v1∶v2∶v3…＝1∶∶…

【典例】飞机、火车、汽车等交通工具由静止到稳定运动的过程都可以看作初速度为零的匀加速直线运动。若一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，则求汽车：

(1)1 s末、2 s末、3 s末瞬时速度之比。

(2)1 s内、2 s内、3 s内的位移之比。

(3)第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比。

(4)经过连续相等的位移，如经过第一个x、第二个x、第三个x所用时间之比。

【解析】(1)由v＝at知：v1∶v2∶v3＝1∶2∶3；

(2)由x＝at2得：x1∶x2∶x3＝1∶22∶32＝1∶4∶9；

(3)第1 s内位移xⅠ＝a×12

第2 s内位移xⅡ＝a×22－a×12＝a×3

第3 s内位移为xⅢ＝a×32－a×22＝a×5

故xⅠ∶xⅡ∶xⅢ＝1∶3∶5；

(4)由x＝at得第一个x所用时间tⅠ＝。

前2x所用时间t2＝

故第二个x所用时间为tⅡ＝t2－tⅠ＝(－1)

同理第三个x所用时间tⅢ＝(－)

所以有tⅠ∶tⅡ∶tⅢ＝1∶(－1)∶(－)。

答案：(1)1∶2∶3　(2)1∶4∶9　(3)1∶3∶5   (4)1∶(－1)∶(－)

1.如图，a、b、c、d为光滑斜面上的四个点。一小滑块自a点由静止开始下滑，通过ab、bc、cd各段所用时间均为T。现让该滑块自b点由静止开始下滑，则该滑块(　　)

A．通过bc、cd段的位移之比为1∶3

B．通过c、d点的速度之比为1∶2

C．通过c点的速度小于通过bd段的平均速度

D．通过c点的速度大于通过bd段的平均速度

【解析】选D。由题意，根据初速度为0的匀加速直线运动的比例关系知，ab∶bc∶cd＝1∶3∶5，所以bc∶cd＝3∶5，故A错误。让该滑块自b点由静止开始下滑，通过bc与cd段的时间不相等，所以根据v＝at知，通过c、d点的速度之比不等于1∶2，故B错误。因为通过c点的时间不是通过bd段的中间时刻，所以通过c点的速度不等于通过bd段的平均速度，根据初速度为0的匀变速直线运动规律，通过bc段用的时间大于bd段总时间的一半，所以通过c点的速度大于通过bd段的平均速度。故D正确。

2．一小球做自由落体运动，落地前最后1 s内的位移为45 m，已知重力加速度g取10 m/s2，则该小球下落过程中的平均速度为(　　)

A．45 m/s　　B．35 m/s　　C．25 m/s　　D．22.5 m/s

【解析】选C。设运动的总时间为t，则最后1 s内的位移为：h＝gt2－g(t－1)2＝45 m，解得：t＝5 s。根据自由落体运动的公式得：H＝gt2＝×10×52 m＝125 m。该小球下落过程中的平均速度为＝＝ m/s＝25 m/s，故选C。

【加固训练】

一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与在第2 s内位移之比为x1∶x2，在走完第1 m 时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2，以下说法正确的是(　　)

A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2

B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶

C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2

D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶

【解析】选B。从静止开始的匀加速直线运动第1 s内、第2 s内、第3 s内位移之比为1∶3∶5。根据v2＝2ax，走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比v1∶v2＝1∶，选项B正确。

【拓展例题】考查内容：运动学公式的选择

【典例】如图所示，在成都天府大道某处安装了一台500万像素的固定雷达测速仪，可以准确抓拍超速车辆以及测量运动车辆的加速度。一辆汽车正从A点迎面驶向测速仪B，若测速仪与汽车相距355 m，此时测速仪发出超声波，同时车由于紧急情况而急刹车，汽车运动到C处与超声波相遇，当测速仪接收到反射回来的超声波信号时，汽车恰好停止于D点，且此时汽车与测速仪相距335 m，忽略测速仪安装高度的影响，可简化为如图所示分析(已知超声波速度为

340 m/s)。

(1)求汽车刹车过程中的加速度a的大小。

(2)此路段有80 km/h的限速标志，分析该汽车刹车前的行驶速度是否超速。

【解析】(1)设超声波往返的时间为2t，汽车在2t时间内，刹车的位移为s＝a(2t)2＝20 m， 当超声波与车相遇后，车继续前进的时间为t，位移为s2＝at2＝5 m，则超声波在2t内的路程为2×(335＋5) m＝680 m，由声速为340 m/s，得t＝1 s，解得汽车的加速度a＝10 m/s2

(2)车刹车过程中的位移s＝，

解得刹车前的速度v0＝20 m/s＝72 km/h

车速在规定范围内，不超速。

答案：(1)10 m/s2　(2)见解析

1．如图所示，若有一个小孩从滑梯上由静止开始沿直线匀加速下滑。当他下滑的距离为l时，速度为v；那么，当他的速度是时，下滑的距离是(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

【解析】选C。根据v－v＝2ax得v2＝2al，所以l＝，又＝2al1，得l1＝＝，故C正确。

2．(多选)酒后驾驶会导致许多安全隐患，这是因为驾驶员的反应时间变长。反应时间是指驾驶员从发现情况到采取制动的时间。表中“思考距离”是指驾驶员从发现情况到采取制动的时间内汽车的行驶距离；“制动距离”是指驾驶员发现情况到汽车停止行驶的距离(假设汽车制动加速度都相同)。

分析表格可知，下列说法正确的是(　　)

A．驾驶员正常情况下反应时间为0.5 s

B．驾驶员酒后反应时间比正常情况多0.5 s

C．驾驶员采取制动措施后汽车加速度大小为3.75 m/s2

D．当车速为25 m/s时，发现前方60 m处有险情，酒驾者不能安全停车

【解析】选A、B、D。反应时间＝，因此正常情况下反应时间为t正＝ s＝0.5 s。酒后反应时间为t酒后＝ s＝1 s，驾驶员酒后反应时间比正常情况多0.5 s，故A、B正确；设汽车从开始制动到停车的位移为x，则x＝

x制动－x思考，根据匀变速直线运动公式：v2＝2ax，解得：a＝＝7.5 m/s2，故C项错误；根据表格，车速为25  m/s时，酒后制动距离为66.7 m>

60 m，故不能安全停车，故D项正确。

3．(多选)关于自由落体运动，下列说法中正确的是(　　)

A．它是v0＝0，加速度竖直向下且a＝g的匀加速直线运动

B．在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移大小之比是1∶2∶3

C．在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶4∶9

D．在第1 s末、第2 s末、第3 s末的速度大小之比是1∶2∶3

【解析】选A、C、D。自由落体运动是初速度为零，加速度为g的竖直方向上的匀加速直线运动，A正确；根据h＝gt2，物体前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移之比为1∶4∶9，故第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移大小之比是1∶3∶5，故B错误，C正确；根据v＝gt，在第1 s末、第2 s末、第3 s末的速度大小之比是1∶2∶3，故D正确。

4．如图甲是中国女子冰壶队与韩国队的比赛，可简化为如图乙所示，一冰壶以速度v垂直进入两个相同的矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是多少？(冰壶可看成质点)

【解析】把冰壶的运动看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动。冰壶通过两矩形区域的位移相等，则从右向左离开每个矩形区域时的速度之比为1∶，则冰壶实际运动依次进入每个矩形区域的速度之比v1∶v2＝∶1；冰壶从右向左，通过每个矩形区域的时间之比为1∶(－1)，则冰壶实际运动穿过每个区域的时间之比t1∶t2＝(－1)∶1。

答案：见解析

【加固训练】

我国首艘航空母舰“辽宁”号跑道长300 m，某种飞机的起飞速度为60 m/s。

(1)要使该种飞机能够在跑道上由静止开始匀加速滑行后起飞，飞机的加速度至少要多大？

(2)若该飞机刚好能在跑道上由静止开始匀加速滑行起飞，飞机在跑道上滑行的时间为多少？

【解析】(1)由v＝2ax得飞机的最小加速度为amin＝＝ m/s2＝6 m/s2

(2)由vt＝at得飞机在跑道上滑行的时间为t＝＝ s＝10 s

答案：(1)6 m/s2　(2)10 s