两条直线的位置关系（提高）知识讲解学案

两条直线的位置关系（提高）知识讲解

【学习目标】

1. 初步理解同一平面内的两直线的位置关系，初步认识相交线和平行线；

2.了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题；

3. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；

4. 理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.

【要点梳理】

要点一、同一平面内两条直线的位置关系

同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.

要点诠释：

（1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.

（2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行.

（3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点. 两条直线相交只有一个交点.

要点二、对顶角、补角、余角

1.余角与补角

（1）定义：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．

类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．

（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．

要点诠释：

(1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关．

(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．

2.对顶角

（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．

要点诠释：

(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.

(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.（3）邻补角一定互为补角，但互为补角的角不一定是邻补角.

（2）性质：对顶角相等．

要点三、垂线

1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如下图．

要点诠释：

(1)记法：直线a与b垂直，记作：；

         直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.

(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：

CD⊥AB．

2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．

要点诠释：

 (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．

(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．

3．垂线的性质：

（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．

要点诠释：

（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．

（2）性质（2）是“垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．

4．点到直线的距离：

定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

要点诠释：

（1）    点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；

（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．

【典型例题】

类型一、两条直线的位置关系

1. 平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？

【答案与解析】

解：如图，图中共有34个交点．

【总结升华】10条直线中有八条直线的位置已经确定，要使10条直线的交点最多，就要使剩下的两条直线与前八条直线均相交.

举一反三：

【变式】不重合的两条直线的位置关系有  （  ）．

A．平行或垂直    B．平行或相交  C．不相交或相交   D．平行、垂直或相交

【答案】C

类型二、对顶角、补角、余角

2．如图所示，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，

∠2:∠1＝4:l，求．

【思路点拨】涉及有比值的题设条件，如a:b＝m:n，在解题时设，，这是常用的用方程思想解题的方法．

【答案与解析】

解：设∠1＝x，则∠2＝4x．

∵  OE平分∠BOD，∴  ∠BOD＝2∠1＝2x．

∵  ∠2+∠BOD＝180°，即4x+2x＝180°，∴  x＝30°．

∵  ∠DOE+∠COE＝180°，∴∠COE＝150°．

又∵  OF平分∠COE，∴  ∠COF＝∠COE＝75°．

∵  ∠AOC＝∠BOD＝60°，

∴  ∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°．

【总结升华】两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角．

类型三、垂线

3．下列语句：

①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直.

②一条直线的垂线有无数条.

③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直.

其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

【思路点拨】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断.

【答案】①②

【解析】①正确；②正确，过任意一点都可以作；对于③只有在“同一平面内”才成立，因为空间内，当这点在直线上时，过这点并非只有一条直线与已知直线垂直，故③错误；④错误，必须是两个邻角相等，如下图：

【总结升华】“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”成立的前提是“在同一平面内”，若改为在“空间”，则过一点有无数条直线与已知直线垂直（以后学到）.

举一反三：

【变式】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为(    )

A．经过两点有且只有一条直线

B．两点之问的所有连线中，线段最短

C．在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直．

D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【答案】D   提示：注意区分直线性质与垂线性质

 4. 如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE与

∠AOC的度数.

【答案与解析】

解：∵OF⊥AB，OE⊥CD(已知)

∴∠BOF＝∠DOE＝90°(垂直定义)

∴∠BOD＝∠BOF－∠DOF＝90°－65°＝25°

∴∠BOE＝∠DOE－∠BOD＝90°－25°＝65°.

∴∠AOC＝∠AOB－∠BOE－∠COE

＝180°－65°－90°＝25°.

【总结升华】利用垂直的定义，及同一条直线上的三点组成一个平角可以帮助我们求解图中某些角的大小.

【高清课堂：相交线403101   例4变式（1）】

举一反三：

【变式】如图，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON平分∠BOC.

【答案】

证明：如图，

∵OM平分∠AOB     ∴∠1=∠2

又∵OM ⊥ON     ∴∠3=90°－∠2

由图可得：∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2 －（90°－∠2）=90°－∠2

∴∠3=∠4

∴ ON平分∠BOC

5.如图所示，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄．

    (1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置(保留作图痕迹)．

    (2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必说明)

【答案与解析】

解：(1)过点M作MP⊥AB，垂足为P，过点N作NQ⊥AB，垂足为Q，点P、Q就是要画的两点，如图所示．

(2)当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．

【总结升华】利用垂线段最短解决实际问题是常用的一种方法．

举一反三：

【变式】点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是  (    ) ．

A．2 cm    B．4 cm    C．5 cm    D．不超过2 cm

【答案】D

两条直线的位置关系（提高）巩固练习

撰稿：孙景艳   审稿： 吴婷婷

【巩固练习】

一、选择题

1．如图，直线AB、CD相交于点O，OE、OF是过O的射线，其中构成对顶角的对数 (    )

A．1对    B．2对   C．3对        D．4对

2．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角(    )

    A．相等    B．互为补角    C．互为余角   D．相等或互补

3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，则图中与∠EOF相等的角还有（   ）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

4.如图，，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有(   )

A．五条  B．二条  C．三条  D．四条

[来源:Zxxk.Com]

5．如图所示，OC⊥OA，OD⊥OB，∠AOB＝150°，∠COD的度数为 (    )

A．90°    B．60°   C．30°   D． 45°

6．∠A两边分别垂直于∠B的两边，∠A与∠B的关系是     （　　 ）

A. 相等　  B.互补   C. 相等或互补 D.不能确定

二、填空题

7．如图，三条直线a，b，c交于一点，∠1，∠2，∠3的大小顺序是________．

8．如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝a cm，BC＝b cm，则BD的取值范围是________．

9．如图，请你在表盘上画出时针与分针，使时针与分针恰好互相垂直，且此时恰好为整点．

 (1) 时针和分针互相垂直的整点时刻分别为         ；

(2)一天24小时，时针与分针互相垂直________次．

10. 在同一平面内，OA⊥MN，OB⊥MN，所以OA，OB在同一直线线上，理由是________________．

11. 在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是________．

12．如图，工厂A要把处理过的废水引入排水沟PQ，从工厂A沿________方向铺设水管用料最省，这是因为________．

三、解答题

13. 如图所示，AB、CD、EF相交于O点，EF⊥AB，OG为∠COF的平分线，OH为∠DOG的平分线．

(1)若∠AOC:∠COG＝4:7，求∠DOF的大小；

(2)若∠AOC:∠DOH＝8:29，求∠COH的大小．

14．如图，已知A、O、B三点在一直线上，∠AOC＝120°，OD、OE分别是∠AOC，

∠BOC的平分线．

(1)判断OD与OE的位置关系；

(2)当∠AOC大小发生变化时，OD、OE仍分别是∠AOC、∠BOC的平分线，则OD与OE的位置关系是否改变? 请说明理由．

15．如图，AOB为一条在O处拐弯的河，要修一条从村庄P通向这条河的道路，现在有两种设计方案：一是沿PM修路，二是沿PO修路．如果不考虑其他因素，这两种方案哪一个经济一些? 它是不是最佳方案？如果不是，请你帮助设计出最佳的方案，并简要说明理由．

【答案与解析】

一、选择题

1. 【答案】B；

【解析】两条直线相交，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角.

2. 【答案】D；

【解析】画草图进行分析．

3. 【答案】B； 

【解析】与∠EOF相等的角还有：∠BOC，∠AOD．

4．【答案】A；

【解析】（1）线段PO的长度表示点P到直线(或线段)OR的距离；（2）线段RO的长度表示点R到直线(或线段)OP的距离；（3）线段OQ的长度表示点O到直线(或线段)PR的距离；（4）线段PQ的长度表示点P到直线(或线段)OQ的距离；（5）线段RQ的长度表示点R到直线(或线段)OQ的距离．

5. 【答案】C； 

【解析】∠COD＝180°－150°＝30°．

6. 【答案】C； 

【解析】画草图进行分析．

二、填空题

7．【答案】∠1＞∠3＞∠2；

【解析】∠1＝180°－60°－50°＝70°；∠2＝50°；∠1＝60°.

8. 【答案】bcm＜BD＜a cm；

9．【答案】(1)3时或9时；  (2)44；

【解析】一天24小时中时针转2圈，分针转24圈，所以分针要超过时针的圈数是：24-2=22（圈），分针每超过时针一圈，前后各有一次垂直，所以一天24小时中分针与时针垂直的次数是：（24-2）×2=22×2=44（次）．

10．【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

11. 【答案】0或1或2或3个；

【解析】当三条直线相互平行时0个交点；当三条直线交于同一点时1个交点；当两条直线平行，第三条直线与它们相交时有两个交点；当三条直线两两相交但没有交与同一点时3个交点．

12．【答案】垂直于PQ的，垂线段最短．

三、解答题

13. 【解析】

解： (1)因为EF⊥AB，OG为∠COF的平分线，所以∠AOF＝90°，∠GOC＝∠GOF．

又因为∠AOC:∠COG＝4:7，

所以设∠AOC＝4x，∠GOC＝∠GOF＝7x，

所以∠AOC+∠COF＝90°，即4x+7x+7x＝90°，

解得x＝5°，所以∠COF＝70°，∠DOF＝180°－70°＝110°；

(2)因为∠AOC:∠DOH＝8:29，所以设∠AOC＝8x，

∠GOC＝∠GOF＝，

∠DOH＝(180°－∠COG) ×＝．

∵  ∠AOC:∠DOH＝8:29，所以∠DOH＝29x，即，

解得，

所以∠DOH＝29×2.5°＝72.5°，∠COH＝180°－72.5°＝107.5°．

14．【解析】

解：(1)OD⊥OE． 

(2)不变，理由如下：

∵  OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，

∴  ∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠COB．

∴  ∠DOE＝(∠AOC+∠COB)＝×180°＝90°，

∴  OD⊥OE．

15．【解析】

解：本题所给出的两种方案中，沿PO修路这种方案更经济一些，因为PO是OA的垂线段，PM是OA的斜线段，根据垂线段最短可知，PO＜PM，但它仍不是最佳方案，最经济的方案应为沿如图所示的线段PN修路．因为垂线段最短得知，线段PN是P与OB上的各点的连线中最短的，PO是P与OA上的各点的连线中最短的，即PN＜PO＜PM．所以沿线段PN修路是最经济的方案．