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2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第8讲对数函数学案文
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这是一份2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第8讲对数函数学案文，共8页。学案主要包含了四象限．，易错纠偏等内容，欢迎下载使用。
1．对数函数的图象与性质
2.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
对数函数图象的特点
1．当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；当02．对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1))，函数图象只在第一、四象限．
3．在直线x＝1的右侧：当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝lg2x及y＝lgeq \s\d9(\f(1,3))3x都是对数函数．( )
(2)对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)函数y＝ln eq \f(1＋x,1－x)与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )
(4)对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只经过第一、四象限．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
二、易错纠偏
常见误区| (1)忽略真数大于零致误；
(2)忽视对底数的讨论致误．
1．函数f(x)＝lg2x2的单调递增区间为____________．
解析：设t＝x2，因为y＝lg2t在定义域上是增函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2的单调递增区间，所以所求区间为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
2．函数y＝lgax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．
解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有lga4－lga2＝1，解得a＝2；②当0答案：2或eq \f(1,2)
对数函数的图象及应用(典例迁移)
(1)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝lga|x|的图象大致是( )
(2)若方程4x＝lgax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上有解，则实数a的取值范围为____________．
【解析】 (1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝lga|x|在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝lga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝lga|x|的图象应大致为选项B．
(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝lgax，
当a>1时不满足条件，
当0可知，只需两图象在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上有交点即可，
则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))≥geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，即2≥lgaeq \f(1,2)，则a≤eq \f(\r(2),2)，
所以a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))).
【答案】 (1)B (2)eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
【迁移探究】 (变条件)若本例(2)的条件变为：当0解析：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝lgax，当a>1时不满足条件，当0eq \f(\r(2),2)，所以a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
eq \a\vs4\al()
对于较复杂的不等式恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法如下：
(1)对不等式变形，使不等号两边分别对应两函数f(x)，g(x)；
(2)在同一平面直角坐标系下作出两个函数f(x)与g(x)的图象；
(3)比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置来确定参数的取值．
1．函数y＝2lg4(1－x)的图象大致是( )
解析：选C．函数y＝2lg4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；函数y＝2lg4(1－x)在定义域上单调递减，排除D．选C．
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
解析：如图，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．
由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝lg2x只有一个交点．
答案：(1，＋∞)
对数函数的性质及应用(多维探究)
角度一 解对数方程、不等式
(1)方程lg2(x－1)＝2－lg2(x＋1)的解为________．
(2)设f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,lg\s\d9(\f(1,2))（－x），x<0，))则方程f(a)＝f(－a)的解集为________．
【解析】 (1)原方程变形为lg2(x－1)＋lg2(x＋1)＝lg2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±eq \r(5)，又x>1，所以x＝eq \r(5).
(2)当a>0时，由f(a)＝lg2a＝lgeq \s\d9(\f(1,2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝f(－a)＝lgeq \s\d9(\f(1,2))a，得a＝1；
当a<0时，由f(a)＝lgeq \s\d9(\f(1,2))(－a)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)))＝f(－a)＝lg2(－a)，得a＝－1.
所以方程f(a)＝f(－a)的解集为{1，－1}．
【答案】 (1)x＝eq \r(5) (2){－1，1}
【迁移探究】 (变问法)本例(2)中，f(a)>f(－a)的解集为________．
解析：由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,lg2a>lg\s\d9(\f(1,2))a))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,lg\s\d9(\f(1,2))（－a）>lg2（－a），))
解得a>1或－1答案：(－1，0)∪(1，＋∞)
eq \a\vs4\al()
解对数方程、不等式的方法
(1)形如lgax≥lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如lgax≥b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．
角度二 对数型函数的综合问题
已知函数f(x)＝lg4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最小值为0，求a的值．
【解】 (1)因为f(1)＝1，所以lg4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1，
所以f(x)＝lg4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1令g(x)＝－x2＋2x＋3.
则g(x)在(－1，1)上单调递增，在[1，3)上单调递减．
又y＝lg4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是[1，3)．
(2)若f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,\f(3a－1,a)＝1，))
解得a＝eq \f(1,2).
故实数a的值为eq \f(1,2).
eq \a\vs4\al()
解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
1．设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(21－x，x≤1，,1－lg2x，x>1，))则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1，2] B．[0，2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：选D．当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，1－lg2x≤2，解得x≥eq \f(1,2)，所以x>1.综上可知x≥0.
2．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为( )
A．[1，2) B．[1，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选A．令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(g（1）>0，,a≥1，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－a>0，,a≥1，))
解得1≤a<2，即a∈[1，2)．
比较指数式、对数式的大小(师生共研)
(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)设a＝lg32，b＝lg53，c＝eq \f(2,3)，则( )
A．aC．b(2)已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(1,5)))，b＝f(lg24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小有关系为( )
A．aC．c【解析】 (1)因为23<32，所以2<3eq \s\up8(\f(2,3))，所以lg3252，所以3>5eq \s\up8(\f(2,3))，所以lg53>lg55eq \s\up8(\f(2,3))＝eq \f(2,3)，所以b>c，所以a(2)因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以a＝－f(－lg25)＝f(lg25)，
而lg25>lg24.1>2>20.8，且y＝f(x)在R上为增函数，
所以f(lg25)>f(lg24.1)>f(20.8)，
即a>b>c，故选C．
【答案】 (1)A (2)C
eq \a\vs4\al()
(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．
(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
1．已知a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．aC．c解析：选B．因为y＝lg2x和y＝2x是其定义域上的增函数，而y＝0.2x是减函数，所以a＝lg20.220＝1，c＝0.20.3∈(0，0.20)，即c∈(0，1)．所以a2．(2021·江西五校联考)若0A．ab>ba>lgba>lgeq \s\d9(\f(1,a))b B．ba>ab>lgeq \s\d9(\f(1,a))b>lgba
C．lgba>ab>ba>lgeq \s\d9(\f(1,a))b D．lgba>ba>ab>lgeq \s\d9(\f(1,a))b
解析：选D．因为0lgbb＝1，lgeq \s\d9(\f(1,a))b<0，所以lgba>ba>ab>lgeq \s\d9(\f(1,a))b，故选D．
思想方法系列5 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质
已知函数f(x)＝lga(2x－a)(a>0且a≠1)在区间[eq \f(1,2)，eq \f(2,3)]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是( )
A．(eq \f(1,3)，1) B．[eq \f(1,3)，1)
C．(eq \f(2,3)，1) D．[eq \f(2,3)，1)
【解析】 当00，即01时，函数f(x)在区间[eq \f(1,2)，eq \f(2,3)]上是增函数，所以lga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是(eq \f(1,3)，1)．
【答案】 A
eq \a\vs4\al()
本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．
已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数的值域．
解：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，
则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x≥0，所以t≥1，所以当a>1时，y≥2.
当0因为g(0)＝－1，g(1)＝2，所以当0综上所述，当a>1时，函数的值域是[2，＋∞)；
当01
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
1．对数函数的图象与性质
2.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
对数函数图象的特点
1．当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0
3．在直线x＝1的右侧：当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝lg2x及y＝lgeq \s\d9(\f(1,3))3x都是对数函数．( )
(2)对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)函数y＝ln eq \f(1＋x,1－x)与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )
(4)对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只经过第一、四象限．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
二、易错纠偏
常见误区| (1)忽略真数大于零致误；
(2)忽视对底数的讨论致误．
1．函数f(x)＝lg2x2的单调递增区间为____________．
解析：设t＝x2，因为y＝lg2t在定义域上是增函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2的单调递增区间，所以所求区间为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
2．函数y＝lgax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．
解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有lga4－lga2＝1，解得a＝2；②当0
对数函数的图象及应用(典例迁移)
(1)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝lga|x|的图象大致是( )
(2)若方程4x＝lgax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上有解，则实数a的取值范围为____________．
【解析】 (1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝lga|x|在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝lga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝lga|x|的图象应大致为选项B．
(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝lgax，
当a>1时不满足条件，
当0
则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))≥geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，即2≥lgaeq \f(1,2)，则a≤eq \f(\r(2),2)，
所以a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))).
【答案】 (1)B (2)eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
【迁移探究】 (变条件)若本例(2)的条件变为：当0
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
eq \a\vs4\al()
对于较复杂的不等式恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法如下：
(1)对不等式变形，使不等号两边分别对应两函数f(x)，g(x)；
(2)在同一平面直角坐标系下作出两个函数f(x)与g(x)的图象；
(3)比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置来确定参数的取值．
1．函数y＝2lg4(1－x)的图象大致是( )
解析：选C．函数y＝2lg4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；函数y＝2lg4(1－x)在定义域上单调递减，排除D．选C．
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
解析：如图，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．
由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝lg2x只有一个交点．
答案：(1，＋∞)
对数函数的性质及应用(多维探究)
角度一 解对数方程、不等式
(1)方程lg2(x－1)＝2－lg2(x＋1)的解为________．
(2)设f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,lg\s\d9(\f(1,2))（－x），x<0，))则方程f(a)＝f(－a)的解集为________．
【解析】 (1)原方程变形为lg2(x－1)＋lg2(x＋1)＝lg2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±eq \r(5)，又x>1，所以x＝eq \r(5).
(2)当a>0时，由f(a)＝lg2a＝lgeq \s\d9(\f(1,2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝f(－a)＝lgeq \s\d9(\f(1,2))a，得a＝1；
当a<0时，由f(a)＝lgeq \s\d9(\f(1,2))(－a)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)))＝f(－a)＝lg2(－a)，得a＝－1.
所以方程f(a)＝f(－a)的解集为{1，－1}．
【答案】 (1)x＝eq \r(5) (2){－1，1}
【迁移探究】 (变问法)本例(2)中，f(a)>f(－a)的解集为________．
解析：由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,lg2a>lg\s\d9(\f(1,2))a))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,lg\s\d9(\f(1,2))（－a）>lg2（－a），))
解得a>1或－1
eq \a\vs4\al()
解对数方程、不等式的方法
(1)形如lgax≥lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0
角度二 对数型函数的综合问题
已知函数f(x)＝lg4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最小值为0，求a的值．
【解】 (1)因为f(1)＝1，所以lg4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1，
所以f(x)＝lg4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1
则g(x)在(－1，1)上单调递增，在[1，3)上单调递减．
又y＝lg4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是[1，3)．
(2)若f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,\f(3a－1,a)＝1，))
解得a＝eq \f(1,2).
故实数a的值为eq \f(1,2).
eq \a\vs4\al()
解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
1．设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(21－x，x≤1，,1－lg2x，x>1，))则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1，2] B．[0，2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：选D．当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，1－lg2x≤2，解得x≥eq \f(1,2)，所以x>1.综上可知x≥0.
2．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为( )
A．[1，2) B．[1，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选A．令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(g（1）>0，,a≥1，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－a>0，,a≥1，))
解得1≤a<2，即a∈[1，2)．
比较指数式、对数式的大小(师生共研)
(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)设a＝lg32，b＝lg53，c＝eq \f(2,3)，则( )
A．a
A．a
而lg25>lg24.1>2>20.8，且y＝f(x)在R上为增函数，
所以f(lg25)>f(lg24.1)>f(20.8)，
即a>b>c，故选C．
【答案】 (1)A (2)C
eq \a\vs4\al()
(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．
(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
1．已知a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a
C．lgba>ab>ba>lgeq \s\d9(\f(1,a))b D．lgba>ba>ab>lgeq \s\d9(\f(1,a))b
解析：选D．因为0
思想方法系列5 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质
已知函数f(x)＝lga(2x－a)(a>0且a≠1)在区间[eq \f(1,2)，eq \f(2,3)]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是( )
A．(eq \f(1,3)，1) B．[eq \f(1,3)，1)
C．(eq \f(2,3)，1) D．[eq \f(2,3)，1)
【解析】 当0
【答案】 A
eq \a\vs4\al()
本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．
已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数的值域．
解：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，
则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x≥0，所以t≥1，所以当a>1时，y≥2.
当0
当0
0
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0
当0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
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