2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第8讲对数函数集训含解析文

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[A级 基础练]
1．函数y＝eq \r(lg3（2x－1）＋1)的定义域是( )
A．[1，2] B．[1，2)
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))
解析：选C．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg3（2x－1）＋1≥0，,2x－1>0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg3（2x－1）≥lg3\f(1,3)，,x>\f(1,2)，))
解得x≥eq \f(2,3).故选C．
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．lg2x B．eq \f(1,2x)
C．lgeq \s\d9(\f(1,2))x D．2x－2
解析：选A．由题意知f(x)＝lgax(a>0且a≠1)，因为f(2)＝1，所以lga2＝1，所以a＝2.所以f(x)＝lg2x.故选A．
3．函数y＝lneq \f(1,|2x－3|)的图象为( )
解析：选A．易知2x－3≠0，即x≠eq \f(3,2)，排除C，D．
当x>eq \f(3,2)时，函数为减函数；当x4．设函数f(x)＝lga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定
解析：选A．由已知得0f(2)．
5．函数f(x)＝lga|x＋1|(a>0且a≠1)，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，则( )
A．f(x)在(－∞，0)上是减函数
B．f(x)在(－∞，－1)上是减函数
C．f(x)在(0，＋∞)上是增函数
D．f(x)在(－∞，－1)上是增函数
解析：选D．由题意，函数f(x)＝lga|x＋1|(a>0且a≠1)，则说明函数f(x)关于直线x＝－1对称，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，即|x＋1|∈(0，1)，f(x)>0，则06．已知函数y＝lga(x－1)(a>0，a≠1)的图象过定点A，若点A也在函数f(x)＝2x＋b的图象上，则f(lg23)＝________．
解析：由题意得A(2，0)，因此f(2)＝4＋b＝0，b＝－4，从而f(lg23)＝3－4＝－1.
答案：－1
7．若函数f(x)＝lgax(0解析：因为0答案：eq \f(\r(2),4)
8．已知函数f(x)＝lga(ax－3)(a＞0，且a≠1)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是________．
解析：由于a>0，且a≠1，
所以u＝ax－3为增函数，
所以若函数f(x)为增函数，则f(x)＝lgau必为增函数，所以a>1.
又u＝ax－3在[1，3]上恒为正，
所以a－3>0，即a>3.
答案：(3，＋∞)
9．已知函数f(x－3)＝lgaeq \f(x,6－x)(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．
解：(1)令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝lgaeq \f(3＋u,3－u)(a>0，a≠1，－3所以f(x)＝lgaeq \f(3＋x,3－x)(a>0，a≠1，－3(2)因为f(－x)＋f(x)＝lgaeq \f(3－x,3＋x)＋lgaeq \f(3＋x,3－x)
＝lga1＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3，3)关于原点对称．
所以f(x)是奇函数．
10．设f(x)＝lga(1＋x)＋lga(3－x)(a>0且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求实数a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))上的最大值．
解：(1)因为f(1)＝2，所以lga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋x>0，,3－x>0，))得－1所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．
(2)f(x)＝lg2(1＋x)＋lg2(3－x)＝lg2[(1＋x)(3－x)]＝lg2[－(x－1)2＋4]，
所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))上的最大值是f(1)＝lg24＝2.
[B级 综合练]
11．设a＝lg0.20.3，b＝lg20.3，则( )
A．a＋bC．a＋b<0解析：选B．因为a＝lg0.20.3>lg0.21＝0，
b＝lg20.3因为eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lg0.30.2＋lg0.32＝lg0.30.4，
所以1＝lg0.30.3>lg0.30.4>lg0.31＝0，
所以012．若实数a，b，c满足lga2A．aC．c解析：选C．根据不等式的性质和对数的换底公式可得eq \f(1,lg2a)13．已知函数f(x)＝lg3(9x＋1)＋mx是偶函数，则不等式f(x)＋4xA．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，1)
解析：选C．由f(x)＝lg3(9x＋1)＋mx是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即lg3(9－x＋1)＋m(－x)＝lg3(9x＋1)＋mx，变形可得m＝－1，即f(x)＝lg3(9x＋1)－x，设g(x)＝f(x)＋4x＝lg3(9x＋1)＋3x，易得g(x)在R上为增函数，且g(0)＝lg3(90＋1)＝lg32，则f(x)＋4x14．已知函数f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,x)－2))，其中x>0，a>0.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
解：(1)由x＋eq \f(a,x)－2>0，得eq \f(x2－2x＋a,x)>0.
因为x>0，所以x2－2x＋a>0.
当a>1时，定义域为(0，＋∞)；
当a＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；
当0(2)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，
即x＋eq \f(a,x)－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立，
即a>－x2＋3x对x∈[2，＋∞)恒成立，
记h(x)＝－x2＋3x，x∈[2，＋∞)，则只需a>h(x)max.
而h(x)＝－x2＋3x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(9,4)在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，故a>2.
[C级 提升练]
15．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a解析：由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以|lg a|＝|lg b|，又因为y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，且a答案：(0，1)
16．已知函数f(x)＝lga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当a>1时，f(x)＝lga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则f(x)min＝f(2)＝lga(8－2a)>1，且8－2a>0，
解得1当0由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
知f(x)min＝f(1)＝lga(8－a)>1，且8－2a>0.
所以a>4，且a<4，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(8,3))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(8,3)))