2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第11讲函数模型及其应用集训含解析文

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[A级 基础练]
1．(2020·江西南昌模拟)衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制订员工的奖励方案：在经济利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y(单位：万元)随经营利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.下列函数模型中，符合该要求的是( )
(参考数据：1.015100≈4.432，lg 11≈1.041)
A．y＝0.04x
B．y＝1.015x－1
C．y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,19)－1))
D．y＝lg11(3x－10)
解析：选D．对于函数y＝0.04x，当x＝100时，y＝4>3，不符合题意；对于函数y＝1.015x－1，当x＝100时，y≈3.432>3，不符合题意；对于函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,19)－1))，不满足在x∈(6，100]上单调递增，不符合题意；对于函数y＝lg11(3x－10)，满足在x∈(6，100]上是增函数，且y≤lg11(3×100－10)＝lg112902．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1 260,x＋1)，0A．20 B．60
C．80 D．40
解析：选C．设该服装厂所获效益为f(x)元，
则f(x)＝100xq(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(126 000x,x＋1)，0当0f(x)在区间(0，20]上单调递增，
所以当x＝20时，f(x)有最大值120 000.
当20则f′(x)＝9 000－450eq \r(5)·eq \r(x)，
令f′(x)＝0，得x＝80，当200，f(x)单调递增，当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，
所以当x＝80时，f(x)有极大值，也是最大值，为240 000.故选C．
3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是( )
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
解析：选D．设进价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故选D．
4．素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n－1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P＝24 423－1，第19个梅森素数为Q＝24 253－1，则下列各数中与eq \f(P,Q)最接近的数为(参考数据：lg 2≈0.3)( )
A．1045 B．1051
C．1056 D．1059
解析：选B．由题知eq \f(P,Q)＝eq \f(24 423－1,24 253－1)≈2170.令2170＝k，则lg 2170＝lg k，所以170lg 2＝lg k．又lg 2≈0.3，所以51＝lg k，即k＝1051，所以与eq \f(P,Q)最接近的数为1051.故选B．
5．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图，且该图表示的函数模型为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(40sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x))＋13，0≤x<2，,90e－0.5x＋14，x≥2，))则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车(时间以整小时计算)？(参考数据：ln 15≈2.71，ln 30≈3.40)( )
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
A．5 h B．6 h
C．7 h D．8 h
解析：选B．由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e－0.5x＋14<20，解得x＞5.42，取整数，故为6个小时．故选B．
6．(2020·辽宁辽南协作校一模)考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5 730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y表示该有机体死亡x年后体内碳14的含量，则y与x的关系可以表示为________．
解析：依题意可设y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(ax)，当x＝5 730时，y＝eq \f(1,2)，即有eq \f(1,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(5 730a)，解得a＝eq \f(1,5 730)，故答案为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(\f(x,5 730)).
答案：y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(\f(x,5 730))
7．(2020·安徽滁州定远4月模拟)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝ P0e－kt，如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．
解析：由题意可知，(1－0.1)P0 ＝P0e－5k，即0.9＝e－5k，故－5k＝ln 0.9，又(1－0.19)P0＝P0e－kt，即0.81＝e－kt，所以－kt＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k，所以t＝10.
答案：10
8．为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为eq \f(7,3)米，如图所示的散点图记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋lg2t；③y＝eq \f(1,2)t＋a；④y＝eq \r(t)＋a中(其中a为正的常实数)，拟合生长年数与树高的关系最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米．
解析：由散点图的走势，知模型①不合适．曲线过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(7,3)))，则后三个模型的解析式分别为②y＝eq \f(1,3)＋lg2t；③y＝eq \f(1,2)t＋eq \f(1,3)；④y＝eq \r(t)＋eq \f(1,3)，易知拟合最好的是②.将t＝8代入②得8年后的树高为eq \f(10,3)米．
答案：② eq \f(10,3)
9．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级；
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？
(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？
解：(1)当声强为10－6W/m2时，
由公式Y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))
得Y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10－6,10－12)))＝10lg 106＝60(分贝)．
(2)当Y＝0时，由公式Y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))
得10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))＝0.
所以eq \f(I,10－12)＝1，即I＝10－12W/m2，
则常人能听到的最低声强为10－12W/m2.
(3)当声强为5×10－7W/m2时，
声强级Y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5×10－7,10－12)))＝10lg(5×105)＝50＋10lg 5，
因为50＋10lg 5＞50，
所以这两位同学会影响其他同学休息．
10．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：
(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？
(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？
解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套丛书的供货价格为30＋eq \f(10,5)＝32(元)，所以书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．
(2)每套丛书售价定为x元时，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(15－0.1x＞0，,x＞0，))
解得0＜x＜150.
依题意，设单套丛书的利润为P，
则P＝x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(30＋\f(10,15－0.1x)))＝x－eq \f(100,150－x)－30，
＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（150－x）＋\f(100,150－x)))＋120.
因为0＜x＜150，所以150－x＞0，
则(150－x)＋eq \f(100,150－x)≥2eq \r(（150－x）·\f(100,150－x))＝2×10＝20，
当且仅当150－x＝eq \f(100,150－x)，即x＝140时等号成立，
此时，Pmax＝－20＋120＝100.
所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．
[B级 综合练]
11.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(℃)与时间t(min)近似满足的函数关系式为y＝80eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(\f(t－a,10))＋b(a，b为常数)．通常这种热饮在40 ℃时口感最佳．某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为( )
A．35 min B．30 min
C．25 min D．20 min
解析：选C．由题意知，当0≤t≤5时，函数图象是一条线段；当t≥5时，函数的解析式为y＝80eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(\f(t－a,10))＋b.将点(5，100)和点(15，60)代入解析式可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(100＝80\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up8(\f(5－a,10))＋b，,60＝80\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up8(\f(15－a,10))＋b，))解得a＝5，b＝20，故函数的解析式为y＝80eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(\f(t－5,10))＋20，t≥5.令y＝40，解得t＝25，所以最少需要的时间为25 min.故选C．
12．(2020·安徽淮北一中第五次月考)华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每1 6人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验是阳性)，若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要检测的次数为( )
A．3 B．4
C．6 D．7
解析：选B．先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组，此时进行了1次检测．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组，此时进行了2次检测．继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性则认定在本组，此时进行了3次检测．选认定的这组的2人中一人进行样本检查，若为阴性则认定是另一个人；若为阳性则认定为此人，此时进行了4次检测．所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．故选B．
13．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(eq \f(1,2))mt(c，m为常数)．
(1)mc的值为________；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，则这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少需排气________分钟．
解析：(1)由题意可列方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(64＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(4m)，,32＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(8m)，))两式相除，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝128，,m＝\f(1,4)，))
则mc＝128×eq \f(1,4)＝32.
(2)由题意可列不等式128eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(\f(1,4)t)≤0.5，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(\f(1,4)t)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(8)，即eq \f(1,4)t≥8，解得t≥32.
故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．
答案：(1)32 (2)32
14．某旅游景点预计2021年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似为p(x)＝eq \f(1,2)x(x＋1)·(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(35－2x，x∈N*，且1≤x≤6，,\f(160,x)，x∈N* 且7≤x≤12.))
(1)写出2021年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式；
(2)试问2021年第几个月的旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？
解：(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，当2≤x≤12，且x∈N*时，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝eq \f(1,2)x(x＋1)(39－2x)－eq \f(1,2)x(x－1)(41－2x)＝－3x2＋40x，经验证x＝1时也满足此式．
所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．
(2)第x(x∈N*)个月的旅游消费总额为
g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（－3x2＋40x）（35－2x），x∈N*，且1≤x≤6，,－480x＋6 400，x∈N*，且7≤x≤12.))
①当1≤x≤6，且x∈N*时，g′(x)＝18x2－370x＋1 400，
令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝eq \f(140,9)(舍去)．
当1≤x≤5时，g′(x)≥0，当5②当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x＋6 400是减函数，所以g(x)max＝g(7)＝3 040.综上，2021年5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3 125万元．
[C级 提升练]
15．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数模型y＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；
(2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y＝eq \f(1,20)x＋1；
(ⅱ)y＝lg2x－2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求．
解：(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，
则该函数模型满足的条件是：
①当x∈[10，100]时，f(x)是增函数；
②当x∈[10，100]时，f(x)≤5恒成立；
③当x∈[10，100]时，f(x)≤eq \f(x,5)恒成立．
(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y＝eq \f(1,20)x＋1，
它在[10，100]上是增函数，满足条件①；
但当x＝80时，y＝5，因此，当x＞80时，y＞5，不满足条件②；故该函数模型不符合公司要求．
(b)对于函数模型(ⅱ)y＝lg2x－2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①，
x＝100时，ymax＝lg2100－2＝2lg25<5，即f(x)≤5恒成立．满足条件②，
设h(x)＝lg2x－2－eq \f(1,5)x，则h′(x)＝eq \f(lg2e,x)－eq \f(1,5)，
又x∈[10，100]，所以eq \f(1,100)≤eq \f(1,x)≤eq \f(1,10)，
所以h′(x)≤eq \f(lg2e,10)－eq \f(1,5)所以h(x)在[10，100]上是递减的，因此h(x)≤h(10)＝lg210－4<0，即f(x)≤eq \f(x,5)恒成立，满足条件③，
故该函数模型符合公司要求．
综上所述，函数模型(ⅱ)y＝lg2x－2符合公司要求．驾驶行为类型
阈值(mg/100 mL)
饮酒后驾车
≥20，<80
醉酒后驾车
≥80