还剩3页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第5讲二次函数与幂函数集训含解析文
展开
这是一份2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第5讲二次函数与幂函数集训含解析文，共6页。
[A级 基础练]
1．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则a的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
解析：选D．函数f(x)＝－x2＋4x＋a的对称轴为直线x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2.
2．设函数f(x)＝xeq \s\up8(\f(2,3))，若f(a)>f(b)，则( )
A．a2>b2 B．a2C．ab
解析：选A．函数f(x)＝xeq \s\up8(\f(2,3))＝(x2)eq \s\up8(\f(1,3))，令t＝x2，易知y＝teq \s\up8(\f(1,3))，在第一象限为单调递增函数．又f(a)>f(b)，所以a2>b2.故选A．
3．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系中的图象大致是( )
解析：选C．若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－eq \f(b,2a)<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B．故选C．
4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0
解析：选A．由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－eq \f(b,2a)＝2，所以4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，所以f(x)先减后增，于是a>0，故选A．
5．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(25,4)，－4))，则m的取值范围是( )
A．[0，4] B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))
解析：选D．二次函数图象的对称轴为x＝eq \f(3,2)，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－eq \f(25,4)，f(3)＝f(0)＝－4，结合函数图象(如图所示)可得m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3)).
6．已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上递减，则实数m＝________．
解析：根据幂函数的定义和性质，得m2－m－1＝1.
解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；
当m＝－1时，f(x)＝x0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，
所以m＝2.
答案：2
7．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)，则它的解析式为________．
解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2，又图象与y轴交于点(0，3)，
所以3＝9a，即a＝eq \f(1,3).
所以y＝eq \f(1,3)(x－3)2＝eq \f(1,3)x2－2x＋3.
答案：y＝eq \f(1,3)x2－2x＋3
8．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________．
解析：由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x＝eq \f(2＋x＋2－x,2)＝2，又函数f(x)在[0，2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.
答案：[0，4]
9．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，
对称轴x＝－eq \f(3,2)∈[－2，3]，
所以f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(9,4)－eq \f(9,2)－3＝－eq \f(21,4)，
f(x)max＝f(3)＝15，
所以函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(21,4)，15)).
(2)对称轴为x＝－eq \f(2a－1,2).
①当－eq \f(2a－1,2)≤1，即a≥－eq \f(1,2)时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
所以6a＋3＝1，即a＝－eq \f(1,3)满足题意；
②当－eq \f(2a－1,2)>1，即a<－eq \f(1,2)时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
所以－2a－1＝1，
即a＝－1满足题意．
综上可知，a＝－eq \f(1,3)或a＝－1.
10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，
由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.
所以2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，
因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，
所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；
即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立．
所以令g(x)＝x2－3x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(5,4)，
因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，
所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)．
[B级 综合练]
11．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A．与a有关，且与b有关
B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关
D．与a无关，但与b有关
解析：选B．f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(a2,4)＋b，①当0≤－eq \f(a,2)≤1时，f(x)min＝m＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))＝－eq \f(a2,4)＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b，1＋a＋b}，所以M－m＝maxeq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a2,4)，1＋a＋\f(a2,4)))与a有关，与b无关；②当－eq \f(a,2)＜0时，f(x)在[0，1]上单调递增，所以M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a与a有关，与b无关；③当－eq \f(a,2)＞1时，f(x)在[0，1]上单调递减，所以M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a与a有关，与b无关．综上所述，M－m与a有关，但与b无关．故选B．
12．已知函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1A．f(x1)＝f(x2) B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)解析：选C．由题知二次函数f(x)的图象开口向下，图象的对称轴为x＝eq \f(1,4)，因为x1＋x2＝0，所以直线x＝x1，x＝x2关于直线x＝0对称，由x113．定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a解析：因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x0为均值点，
所以eq \f(f（1）－f（－1）,1－（－1）)＝m＝f(x0)，
即关于x0的方程－xeq \\al(2,0)＋mx0＋1＝m在(－1，1)内有实数根，
解方程得x0＝1或x0＝m－1.
所以必有－1所以实数m的取值范围是(0，2)．
答案：(0，2)
14．已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋3(m∈R)在(0，＋∞)上单调递增．
(1)求m的值及f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝－eq \r(3,f（x）2)＋2ax＋1－a在[0，2]上的最大值为3，求实数a的值．
解：(1)幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋3(m∈R)在(0，＋∞)上单调递增，
故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（m－1）2＝1，,m2－4m＋3>0，))解得m＝0，故f(x)＝x3.
(2)由f(x)＝x3，得g(x)＝－eq \r(3,f（x）2)＋2ax＋1－a＝－x2＋2ax＋1－a，
函数图象为开口方向向下的抛物线，对称轴为x＝a.
因为在[0，2]上的最大值为3，所以
①当a≥2时，g(x)在[0，2]上单调递增，故g(x)max＝g(2)＝3a－3＝3，解得a＝2.
②当a≤0时，g(x)在[0，2]上单调递减，故g(x)max＝g(0)＝1－a＝3，解得a＝－2.
③当0综上所述，a＝±2.
[C级 提升练]
15．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．
(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，a]上为减函数，
所以f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)在[1，a]上单调递减，
即f(x)max＝f(1)＝a，f(x)min＝f(a)＝1，所以a＝2或a＝－2(舍去)．即实数a的值为2.
(2)因为f(x)在(－∞，2]上是减函数，所以a≥2.
所以f(x)在[1，a]上单调递减，在[a，a＋1]上单调递增，
又函数f(x)的对称轴为直线x＝a，
所以f(x)min＝f(a)＝5－a2，f(x)max＝max{f(1)，f(a＋1)}，
又f(1)－f(a＋1)＝6－2a－(6－a2)＝a(a－2)≥0，
所以f(x)max＝f(1)＝6－2a.
因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，
所以f(x)max－f(x)min≤4，即6－2a－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，所以2≤a≤3.即实数a的取值范围为2≤a≤3.
[A级 基础练]
1．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则a的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
解析：选D．函数f(x)＝－x2＋4x＋a的对称轴为直线x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2.
2．设函数f(x)＝xeq \s\up8(\f(2,3))，若f(a)>f(b)，则( )
A．a2>b2 B．a2
解析：选A．函数f(x)＝xeq \s\up8(\f(2,3))＝(x2)eq \s\up8(\f(1,3))，令t＝x2，易知y＝teq \s\up8(\f(1,3))，在第一象限为单调递增函数．又f(a)>f(b)，所以a2>b2.故选A．
3．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系中的图象大致是( )
解析：选C．若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－eq \f(b,2a)<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B．故选C．
4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0
解析：选A．由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－eq \f(b,2a)＝2，所以4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，所以f(x)先减后增，于是a>0，故选A．
5．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(25,4)，－4))，则m的取值范围是( )
A．[0，4] B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))
解析：选D．二次函数图象的对称轴为x＝eq \f(3,2)，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－eq \f(25,4)，f(3)＝f(0)＝－4，结合函数图象(如图所示)可得m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3)).
6．已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上递减，则实数m＝________．
解析：根据幂函数的定义和性质，得m2－m－1＝1.
解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；
当m＝－1时，f(x)＝x0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，
所以m＝2.
答案：2
7．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)，则它的解析式为________．
解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2，又图象与y轴交于点(0，3)，
所以3＝9a，即a＝eq \f(1,3).
所以y＝eq \f(1,3)(x－3)2＝eq \f(1,3)x2－2x＋3.
答案：y＝eq \f(1,3)x2－2x＋3
8．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________．
解析：由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x＝eq \f(2＋x＋2－x,2)＝2，又函数f(x)在[0，2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.
答案：[0，4]
9．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，
对称轴x＝－eq \f(3,2)∈[－2，3]，
所以f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(9,4)－eq \f(9,2)－3＝－eq \f(21,4)，
f(x)max＝f(3)＝15，
所以函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(21,4)，15)).
(2)对称轴为x＝－eq \f(2a－1,2).
①当－eq \f(2a－1,2)≤1，即a≥－eq \f(1,2)时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
所以6a＋3＝1，即a＝－eq \f(1,3)满足题意；
②当－eq \f(2a－1,2)>1，即a<－eq \f(1,2)时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
所以－2a－1＝1，
即a＝－1满足题意．
综上可知，a＝－eq \f(1,3)或a＝－1.
10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，
由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.
所以2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，
因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，
所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；
即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立．
所以令g(x)＝x2－3x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(5,4)，
因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，
所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)．
[B级 综合练]
11．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A．与a有关，且与b有关
B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关
D．与a无关，但与b有关
解析：选B．f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(a2,4)＋b，①当0≤－eq \f(a,2)≤1时，f(x)min＝m＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))＝－eq \f(a2,4)＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b，1＋a＋b}，所以M－m＝maxeq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a2,4)，1＋a＋\f(a2,4)))与a有关，与b无关；②当－eq \f(a,2)＜0时，f(x)在[0，1]上单调递增，所以M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a与a有关，与b无关；③当－eq \f(a,2)＞1时，f(x)在[0，1]上单调递减，所以M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a与a有关，与b无关．综上所述，M－m与a有关，但与b无关．故选B．
12．已知函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1
C．f(x1)
所以eq \f(f（1）－f（－1）,1－（－1）)＝m＝f(x0)，
即关于x0的方程－xeq \\al(2,0)＋mx0＋1＝m在(－1，1)内有实数根，
解方程得x0＝1或x0＝m－1.
所以必有－1
答案：(0，2)
14．已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋3(m∈R)在(0，＋∞)上单调递增．
(1)求m的值及f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝－eq \r(3,f（x）2)＋2ax＋1－a在[0，2]上的最大值为3，求实数a的值．
解：(1)幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋3(m∈R)在(0，＋∞)上单调递增，
故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（m－1）2＝1，,m2－4m＋3>0，))解得m＝0，故f(x)＝x3.
(2)由f(x)＝x3，得g(x)＝－eq \r(3,f（x）2)＋2ax＋1－a＝－x2＋2ax＋1－a，
函数图象为开口方向向下的抛物线，对称轴为x＝a.
因为在[0，2]上的最大值为3，所以
①当a≥2时，g(x)在[0，2]上单调递增，故g(x)max＝g(2)＝3a－3＝3，解得a＝2.
②当a≤0时，g(x)在[0，2]上单调递减，故g(x)max＝g(0)＝1－a＝3，解得a＝－2.
③当0
[C级 提升练]
15．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．
(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，a]上为减函数，
所以f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)在[1，a]上单调递减，
即f(x)max＝f(1)＝a，f(x)min＝f(a)＝1，所以a＝2或a＝－2(舍去)．即实数a的值为2.
(2)因为f(x)在(－∞，2]上是减函数，所以a≥2.
所以f(x)在[1，a]上单调递减，在[a，a＋1]上单调递增，
又函数f(x)的对称轴为直线x＝a，
所以f(x)min＝f(a)＝5－a2，f(x)max＝max{f(1)，f(a＋1)}，
又f(1)－f(a＋1)＝6－2a－(6－a2)＝a(a－2)≥0，
所以f(x)max＝f(1)＝6－2a.
因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，
所以f(x)max－f(x)min≤4，即6－2a－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，所以2≤a≤3.即实数a的取值范围为2≤a≤3.
相关试卷
2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第11讲函数模型及其应用集训含解析文： 这是一份2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第11讲函数模型及其应用集训含解析文，共9页。
2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第2讲函数的单调性与最值集训含解析文： 这是一份2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第2讲函数的单调性与最值集训含解析文，共6页。
2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第10讲函数与方程集训含解析文： 这是一份2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第10讲函数与方程集训含解析文，共5页。
