2021届重庆市南开中学高三下学期3月第五次质量检测数学试题（含解析）

2021届重庆市南开中学高三下学期3月第五次质量检测

数学试题

一、单选题

1．已知，集合，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合集合中元素的互异性解出，即可求出.

【详解】因为，所以且.

若，则，此时，，与集合中元素的互异性相违背，所以；

若，解得：①，此时，，与集合中元素的互异性相违背，所以；

②，此时，，，符合题意，所以；

所以.

故选：D

2．已知是虚数单位，若复数，其中，为实数，则的值为（    ）

A． B．10 C． D．2

【答案】A

【分析】先利用复数的乘法,求出a,b,即可求出答案.

【详解】由得，

故,得,所以，

故选：A.

3．设是直线，、是两个不同的平面，且，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】由，，能够得到或或在平面内；由，，能够得到或在平面内，再由充分必要条件的判定得答案．

【详解】由，，能够得到或或在平面内，不能够推出，

反之，由，，不一定得到，可能在内．

“”是“”的既不充分也不必要条件．

故选：D

4．二项式的展开式中，常数项为（    ）

A．  B．672 C．  D．84

【答案】A

【分析】根据二项式定理算出答案即可.

【详解】二项式的展开式中，常数项为

故选：A

5．将函数的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于直线对称，则当取最小值时，函数的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用三角函数的图象变换求出平移后的函数，然后利用对称轴列出关于的等式，求出的最小值，再利用周期公式求解即可．

【详解】将函数的图象向左平移个单位后

所得函数为，

因为的图象关于直线对称，

则有，解得，

因为，所以的最小值为，

故函数的最小正周期为．

故选：A

6．已知函数，则（    ）

A． B． C．-2 D．

【答案】C

【分析】由已知可判断当时，是周期为2的函数，即可根据解析式求解.

【详解】时，，所以当时，是周期为2的函数，

，

.

故选：C.

7．过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线交于、两点，以的准线上一点为圆心作圆经过、两点，则圆的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据韦达定理和中点坐标公式求出的中点D的坐标，再求出点M的坐标，解方程组可得点A的坐标，即可求出圆的半径，面积可得．

【详解】抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），其准线为x＝﹣1，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵直线l过点F且斜角为，

∴直线l的方程为y＝﹣x+1，

联立方程组，消y可得，

∴

设的中点为

∴D（，），即D（3，﹣2），

∴直线MD的方程为y+2＝x﹣3，即y＝x﹣5，

联立，解得x＝﹣1，y＝﹣6，即M（﹣1，﹣6 ），

解方程可得

∴圆M的半径

∴圆M的面积为

故选：B

8．已知实数、满足，，则关于、下列判断正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用对数运算性质可得，令，则单调递减，且，可得，即可得，再由指数运算性质得到，可得，从而可得结论．

【详解】解：，
令，则单调递减，且，
所以，可得．
于是，
所以
又，得，
所以．
故选：D．

二、多选题

9．“读书破万卷，下笔如有神”、“腹有诗书气自华”，读书不仅能丰富知识，开阔视野，还能陶冶情操.但是随着学业内容的增加、升学压力的增大，学生的课外阅读也受到较大的影响.某小学为了了解学生的课外阅读情况，计划从四、五、六三个年级的学生中抽出总数的进行调查，已知四、五、六三个年级的学生人数之比为，则下列说法正确的是（    ）

A．应该采用系统抽样的方法

B．应该采用分层抽样的方祛

C．每个学生被抽到的概率为

D．若样本中五年级的学生比六年级的学生少12人，则三个年级的学生总共有1140人

【答案】BC

【分析】根据数据的特点选择分层抽样，再根据样本中数据的关系即可求出样本容量，可得三个年级的人数．

【详解】因为四、五、六三个年级的学生人数各不相等，故应该采取分层抽样，故错误，正确；

利用频率表示概率，根据计划从四、五、六三个年级的学生中抽出总数的进行调查，可得每个学生被抽到的概率为，故正确；

设四、五、六三个年级的学生人数之比为，，，由样本中五年级的学生比六年级的学生少12人，可得，解得，

故样本容量为，

于是可估计三个年级的学生总共有1040人，故错误．

故选：．

10．设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则与同向

C．若，则 D．若，则

【答案】CD

【分析】由已知结合向量数量积的性质及向量共线定义分别检验各选项即可判断．

【详解】当时，显然不一定成立，A错误；

若，则向量夹角或，与同向或反向，B错误；

若，两边平方得，，即，C正确；

若，则或，则，D正确．

故选：CD．

11．设集合是由一些复数组成的一个非空集合，如果，总有，，，则称是一个数环.例如：整数集，有理数集，实数集，复数集都是数环.则下列命题正确的是（    ）

A．集合是一个数环 B．集合是一个数环

C．对任意两个数环、，都不是空集 D．对任意两个数环、，都是数环

【答案】ACD

【分析】直接利用定义依次判断即可.

【详解】对A，设，则，

则，

由，则有，，，故S是一个数环，故A正确；

对B，设，则，

则，显然，故S不是一个数环，故B错误；

对C，对于任意一个数环，取，则必在此环中，故0一定在中，故不是空集，故C正确；

对D，设，因是一个数环，故，，，又是一个数环，故，，，所以，，，故是数环，故D正确.

故选：ACD.

12．已知图1中的正三棱柱的底面边长为2，体积为，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中心所在的直线，逆时针旋转后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是（    ）

 图1               图2

A．平面ABC

B．

C．四边形为正方形

D．正三棱柱，与几何体的外接球体积相同

【答案】ACD

【分析】由旋转前后底面平行，几何体高不变，底面边长不变，外接球不变依次判断即可.

【详解】由，可得平面ABC，所以A正确.；

作平面，垂足为 ，连结、，则，     

 所以，所以B错；

由A、B选项的上述判断过程可知四边形为菱形，

又平面，所以，

故四边形为正方形，C正确；

因为旋转前与旋转后几何体的外接球不变，故D正确.

故选: ACD.

三、填空题

13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_________.

【答案】

【分析】由条件可得，然后可得答案.

【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为

所以，所以

故答案为：

14．已知向量，，若，则_________.

【答案】

【分析】利用向量平行的坐标表示求出的值，再利用正切的二倍角公式求解即可．

【详解】因为向量，，且，

所以，即，

所以．

故答案为：．

15．李华应聘一家上市公司，规则是从备选的10道题中抽取4道题测试，答对3道题及以上就可以进入面试.李华可以答对这10道题目中的6道题.若李华第一道题就答对了，则李华进入面试的概率为_________.

【答案】.

【分析】设事件为“李华进入面试”，事件为“李华答对第一道题”，分别求得和，进而可得.

【详解】设事件为“李华进入面试”，事件为“李华答对第一道题”，则，，所以.

故答案为：.

四、双空题

16．毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形.也叫“勾股树”，是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到.现按照这种思想，以一个内角为、斜边长为2个单位的直角三角形的每一条边向外作正方形得到“类勾股树”，图1为第1代“类勾股树”，重复图1的作法得到第2代“类勾股树”（如图2），如此继续.则第2代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和为_____________；第代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和为___________.

【答案】12       

【分析】由题可得第代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和形成以8为首项，4为公差的等差数列，即可求解.

【详解】设表示第代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和，则，

第2代“类勾股树”在第1代的最上面的每个正方形上各增加两个小正方形，

由勾股定理知，增加的两个小正方形的面积之和恰好等于原来的正方形面积，

即，则，

依次类推，是以8为首项，4为公差的等差数列，

所以.

故答案为：12；.

五、解答题

17．在条件①；②；③中任选一个，补充以下问题并解答：

如图所示，中内角A､B､C的对边分别为a､b､c，___________，且，D在AC上，.

（1）若，求；

（2）若，求AC的长.

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.

【分析】若选①，由正弦定理可得，化简后再利用余弦定理可求出，

；若选②，由结合，可得，化简后可得，从而可求出；若选③，对利用二倍角公式化简可得，再由正弦定理得，从而由余弦定理可求出，

（1）由题意可得为等边三角形，所以，然后在中，利用正弦定理可求出的值；

（2）设，则，，在中利用余弦定理可求出，从而可求出AC的长

【详解】解：选①，，

由正弦定理得，，

整理得，，由余弦定理得：，

由A为三角形内角得，；

选②，，

由得，

因为，所以，即，由于，

所以，即，故；

选③，，

所以，整理得，，

由正弦定理得，，由余弦定理得，，

由A为三角形内角得，；

（1）因为，，且，

所以为等边三角形，

所以，，，

中，由正弦定理得，，

即，

所以，

（2）设，则，，

中，由余弦定理得，，

故，.

18．已知为等差数列的前项和.

（1）求证：；

（2）若，是和的等差中项，设，为数列的前项和，求证：.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【分析】（1）根据数列为等差数列，得到，再两边平方，利用重要不等式证明；

（2）由是和的等差中项，，结合求得求得，进而得到，然后利用等比数列的前n项和公式求解.

【详解】（1）因为数列为等差数列，

所以，

则，

所以；

（2）设公差为，因为是和的等差中项，

所以，

解得，

又因为，

所以，

解得，

所以，

则，

所以.

19．如图，四棱锥中，平面，梯形满足，，且，，为中点，，.

（1）求证：，，，四点共面；

（2）求四面体的体积.

【答案】（1）证明见解答；（2）．

【分析】（1）取的中点，连接，，先证明为平行四边形，然后根据，分别为，的中点，所以，则，从而可得结论；

（2）先证平面，然后根据四面体的体积进行求解即可．

【详解】解：（1）取的中点，连接，，

由题知，分别为，的三等分点，所以，，

又，，，

所以，，所以为平行四边形，

所以，

另一方面，，分别为，的中点，

所以，则，所以，，，四点共面；

（2）由平面得，

又由题知，，所以平面，

而平面，所以，

另一方面，在三角形中，，为中点，

所以，，从而平面，

又，，

所以，

所以四面体的体积．

20．2020年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县已全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为我国全面建成小康社会，实现第一个百年目标打下了坚实基础.在扶贫政策的大力支持下，某县汽车配件厂经营得十分红火，不仅解决了就业也为脱贫作出了重大贡献.现该厂为了了解其主打产品的质量，从流水线上随机抽取200件该产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1）：

根据经验，产品的质量指数在的称为类产品，在的称为类产品，在的称为类产品，、、三类产品的销售利润分别为每件3、7、11（单位：元）.以这200件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率.

（1）求每件产品的平均销售利润；

（2）该厂为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.

，，，，其中，，，.

根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程.

（i）建立关于的回归方程；

（ii）若该厂规定企业最终收益为销售利润减去营销费用以及和营销费用等额的员工奖金.请你用（i）所求的回归方程估计该厂应投入多少营销费，才能使得该产品一年的最终收益达到最大？

参考公式和参考数据：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，.

【答案】（1）元； （2）（i）；（ii）投入万元营销费，能使得该产品一年的最终收益达到最大..

【分析】（1）由产品为类产品的频率（概率）分别为，记即每件产品的销售利润为，求得的分布列，利用公式求得每件产品的平均利润；

（2）（i）由，可得，令，得到，结合最小二乘法的值，即可求解；

（ii）设年收益为万元，得到，令，得到函数，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】（1）由频率分布直方图，可得产品为类产品的频率（概率）分别为，

记每件产品的销售利润为，可得随机变量的分布列为：

所以每件产品的平均利润为（元）.

（2）（i）由，可得，

令，则，

所以，所以，

即，所以，所以，

即关于的回归方程为.

（ii）设年收益为万元，则，

令，所以，可得，

令，即，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以，此时，

即当投入万元营销费，能使得该产品一年的最终收益达到最大，最大值为万元.

21．已知为椭圆：上一点，过点作抛物线：的两条切线，切点分别为，.

（1）求所在直线方程；

（2）若直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，设直线，，的斜率分别为，，，是否存在符合条件的椭圆使得成立？若存在，求出椭圆方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）AB所在直线方程为x﹣y+3＝0；（2）存在符合条件的椭圆，使得成立．

【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用导数求出过A，B的切线方程，代入切点坐标，可得x1﹣y1+3＝0，x2﹣y2+3＝0，由此可得AB所在直线方程为x﹣y+3＝0，

（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合求得b，再由在椭圆上求得a，验证判别式得结论．

【详解】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），

由x2＝4y，得y＝，则，

故抛物线在A点处的切线方程为，

即，可得，①

同理可得抛物线在B点处的切线方程为，②

将点D（，﹣3）代入①②得：x1﹣y1+3＝0，x2﹣y2+3＝0．

∴AB所在直线方程为x﹣y+3＝0；

（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4），

联立，可得（）．

∴，，

∴，得

代入根与系数的关系，可得，化简得b2＝12．

又点在椭圆上，可得，得a2＝48，

此时（）的判别式大于0，符合题意，

故存在符合条件的椭圆，使得成立．

22．已知函数.

（1）讨论函数的零点个数；

（2）当时，实数为函数的小于1的零点，求证：

①；

②.

【答案】（1）当时，函数没有零点，当时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点；（2）证明过程见解答．

【分析】（1）求导，分析单调性，得（1），分，和三种情况，得到函数零点个数．

（2）由（1）知当时，有两个零点，设为较小的零点，根据条件可得，

①要证，即证，令，只需证明即可．

②根据题意得，要证，即证，令，只需证，即可得出答案．

【详解】（1），

令得，

所以在上，，单调递减，

在上，，单调递增，

所以（1），

当时，，函数没有零点，

当时，函数有一个零点，

当时，（1），

且时，；时，，故函数有两个零点．

（2）由（1）知当时，有两个零点，设为较小的零点，即，

且，

所以，

①要证，即证，即证，

令，

所以，令，则，

因为，

所以在上单调递增，

所以，

所以在上单调递增，

所以，

所以成立．

②因为，

所以，

所以，

故要证，即可证，即证，

也即证，

令，

所以，

所以在单调递减，

所以（1），

所以，

【点睛】关键点睛：解答本题第二问的关键是得到，，，然后将证明的不等式中的转化为来表示，然后利用函数的最值来证明不等式.