专题2.14 定积分与微积分基本定理-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1. 了解定积分的实际背景、基本思想及概念．
2．了解微积分基本定理的含义.
【命题趋势】
定积分与微积分基本定理难度不大，常常考查定积分的计算和求曲边梯形的面积.
【核心素养】
本讲内容可以突出对数学建模，数学运算，数学抽象的考查.
【素养清单•基础知识】
1．定积分的概念
在eq \i\in(a,b,)f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
2．定积分的性质
(1) eq \i\in(a,b,)kf(x)dx＝keq \i\in(a,b,)f(x)dx(k为常数)；
(2) eq \i\in(a,b,) [f1(x)±f2(x)]dx＝eq \i\in(a,b,)f1(x)dx±eq \i\in(a,b,)f2(x)dx；
(3) eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝eq \i\in(a,b,)f(x)dx＋eq \i\in(a,b,)f(x)dx(其中a＜c＜b)．
求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质3进行计算.
3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)记作F(x)eq \a\vs4\al(|)eq \\al(b,a)，即eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝F(x)eq \a\vs4\al(|)eq \\al(b,a)＝F(b)－F(a)．
4．定积分的几何意义
定积分eq \i\in(a,b,)f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S.
①S＝eq \i\in(a,b,)f(x)dx；②S＝－eq \i\in(a,b,) (x)dx；③S＝eq \i\in(a,b,)f(x)dx－eq \i\in(a,b,)f(x)dx；
④S＝eq \i\in(a,b,)f(x)dx－eq \i\in(a,b,)g(x)dx＝eq \i\in(a,b,) [f(x)－g(x)]dx.
1定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.
2当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.
【素养清单•常用结论】
1．常见被积函数的原函数
(1) eq \i\in(a,b,)cdx＝cxeq \a\vs4\al(|)eq \\al(b,a)；(2) eq \i\in(a,b,)xndx＝eq \f(xn＋1,n＋1)eq \a\vs4\al(|)eq \\al(b,a)(n≠－1)；
(3) eq \i\in(a,b,)sin xdx＝－cs xeq \a\vs4\al(|)eq \\al(b,a)；(4) eq \i\in(a,b,) cs xdx＝sin xeq \a\vs4\al(|)eq \\al(b,a)；
(5) eq \i\in(a,b,) eq \f(1,x)dx＝ln|x|eq \a\vs4\al(|)eq \\al(b,a)；(6) eq \i\in(a,b,)exdx＝exeq \a\vs4\al(|)eq \\al(b,a).
2. 奇函数、偶函数定积分的两个重要结论
设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有：
(1)若f(x)是偶函数，则eq \i\in(－a, a,)f(x)dx＝2eq \i\in(0,a,)f(x)dx；
(2)若f(x)是奇函数，则eq \i\in(－a, a,)f(x)dx＝0.
【真题体验】
1．若s1＝eq \i\in(1,2,)x2dx，s2＝eq \i\in(1,2,)eq \f(1,x)dx，s3＝eq \i\in(1,2,)exdx，则s1，s2，s3的大小关系为( )
A．s1C．s22.直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A．2eq \r(2) B．4eq \r(2)
C．2 D．4
3.已知t>1，若eq \i\in(1,t,)(2x＋1)dx＝t2，则t＝__________.
4.汽车以36 km/h的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－2 m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车走的距离是__________m．
【考法拓展•题型解码】
考法一 定积分的计算
答题模板：计算定积分的步骤
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或和或差．
(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为初等函数的定积分．
(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数．
(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值．
(5)计算原始定积分的值．
【例1】 计算下列定积分．
(1)eq \i\in(0,1,)(－x2＋2x)dx； (2)eq \i\in(0,π,)(sin x－cs x)dx；
(3)eq \i\in(1,2,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e2x＋\f(1,x)))dx； (4)eq \i\in(0,eq \f(π,2),)eq \r(1－sin 2x) dx.
考法二 定积分的几何意义及应用
归纳总结
(1)利用定积分求平面图形面积的步骤：
①根据题意画出图形；
②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定定积分的上、下限；
③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；
④计算定积分，写出答案．
(2)根据平面图形的面积求参数的方法：先利用定积分求出平面图形的面积，再根据条件构造方程(不等式)求解．
【例2】 (1)由曲线y＝eq \r(x)，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )
A．eq \f(10,3) B．4
C．eq \f(16,3) D．6
(2)(2019·湖南雅礼中学质检)在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为eq \f(1,12).试求：切点A的坐标和过切点A的切线方程．
考法三 定积分在物理中的应用
归纳总结：定积分在物理中的两个应用
(1)求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝eq \i\in(a,b,)v(t)dt.
(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝eq \i\in(a,b,)F(x)dx.
【例3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋eq \f(25,1＋t)(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln eq \f(11,3)
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
(2)一物体在力F(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5，0≤x≤2，,3x＋4，x>2))(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为__________J.
【易错警示】
易错点 定积分的几何意义理解错误
【典例】 如图，函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，则阴影部分的面积S为( )
A．eq \i\in(a,b,)f(x)dxB．eq \i\in(a,c,)f(x)dx－eq \i\in(c,b,)f(x)dx
C．－eq \i\in(a,c,)f(x)dx－eq \i\in(c,b,)f(x)dxD．－eq \i\in(a,c,)f(x)dx＋eq \i\in(c,b,)f(x)dx
【错解】：A，B，C
【错因分析】：在实际求解曲边梯形的面积时要注意在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号，而各部分面积的代数和为x轴上方的定积分减去x轴下方的定积分．
【正解】：如图所示，在[a，c]上，f(x)≤0；在[c，b]上，f(x)≥0，所以函数y＝f(x)在区间[a，b]上的阴影部分的面积S＝－eq \i\in(a,c,)f(x)dx＋eq \i\in(c,b,)f(x)dx，故选D．
【跟踪训练】 (2019·山东淄博一模)如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为( )
A．eq \i\in(0,2,)|x2－1|dx B．eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\i\in(0,2,)x2－1dx))
C．eq \i\in(0,2,)(x2－1)dx D．eq \i\in(0,1,)(x2－1)dx＋eq \i\in(1,2,)(1－x2)dx
【递进题组】
1．定积分eq \i\in(0,1,)eq \r(x2－x) dx的值为( )
A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,2)
C．π D．2π
2．计算：eq \i\in(－3, 3,)(x3cs x)dx＝__________.
3．如图，由两条曲线y＝－x2，y＝－eq \f(1,4)x2及直线y＝－1所围成的平面图形的面积为__________．
4．如图，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sin x与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机向圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率为__________．
5.物体A以速度v＝3t2＋1(t的单位：s，v的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5 m处以v＝10t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是__________m．
【考卷送检】
一、选择题
1.eq \i\in(0,1,)exdx的值等于( )
A．e B．1－e
C．e－1 D．eq \f(1,2)(e－1)
2.eq \i\in(1,e,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x)))dx＝( )
A．e2－2 B．e－1
C．e2 D．e＋1
3.求曲线y＝x2与直线y＝x所围成图形的面积，其中正确的是( )
A．S＝eq \i\in(0,1,)(x－x2)dx B．S＝eq \i\in(0,1,)(x2－x)dx
C．S＝eq \i\in(0,1,)(y2－y)dy D．S＝eq \i\in(0,1,)(y－eq \r(y))dy
4.曲线y＝eq \f(2,x)与直线y＝x－1及直线x＝4所围成的封闭图形的面积为( )
A．2ln 2 B．2－ln 2
C．4－ln 2 D．4－2ln 2
5.若S1＝eq \i\in(1,2,)x2dx，S2＝eq \i\in(1,2,)eq \f(1,x)dx，S3＝eq \i\in(1,2,)exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S1C．S26.如图，设D是图中所示的矩形区域，E是D内函数y＝cs x图象上方的点构成的区域(阴影部分)，向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为( )
A．eq \f(2,π) B．eq \f(1,π)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(π－2,π)
二、填空题
7. eq \i\in(0, eq \f(π,2),)(cs x－sin x)dx＝________.
8.若函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)，则eq \i\in(1,e,)f(x)dx＝________.
9.由曲线y＝sin x，y＝cs x与直线x＝0，x＝eq \f(π,2)所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是________．
三、解答题
10.求下列定积分．
(1)eq \i\in(1,2,)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－x2＋\f(1,x)))dx；
(2)eq \i\in(－π, 0,)(cs x＋ex)dx.
11.已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．
12.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，直线l1：x＝2，直线l2：y＝－t2＋8t(其中0≤t≤2，t为常数)，若直线l1，l2与函数f(x)的图象以及l2，y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．
(1)求a，b，c的值；
(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式．
13.求曲线f(x)＝sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5π,4)))与x轴围成的图形的面积．