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专题8.8 轨迹方程的求法-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案
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这是一份专题8.8 轨迹方程的求法-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案，文件包含专题808轨迹方程的求法解析版doc、专题808轨迹方程的求法原卷版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共20页， 欢迎下载使用。
【考纲要求】
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系
【命题趋势】
求满足条件的动点轨迹及轨迹方程，用直接法和定义法较为普遍.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学建模、数学运算的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.
2．求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
(1)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0, 那么点P0(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.
(2)“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件.
坐标系建立的不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲线．
有时此过程可根据实际情况省略，直接列出曲线方程．
【真题体验】
1.．到点O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数c(c≠0)的点P的轨迹方程为__________．
2．MA和MB分别是动点M(x，y)与两定点A(－1,0)和B(1,0)的连线，则使∠AMB为直角的动点M的轨迹方程是__________．
3．平面上有三个点A(－2，y)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(y,2)))，C(x，y)，若eq \(AB,\s\up18(→))⊥eq \(BC,\s\up18(→))，则动点C的轨迹方程为__________．
4．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是__________．
【考法拓展•题型解码】
考法一 定义法求轨迹方程
归纳总结
(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据该曲线的标准方程，写出所求的轨迹方程．
(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．
【例1】 (2019·新乡调考)已知点P到点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距离比它到直线x＝－eq \f(5,2)的距离小2.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)记点P的轨迹为E，过点S(2,0)，斜率为k1的直线交E于A，B两点，Q(1,0)，延长AQ，BQ与E交于C，D两点，设CD的斜率为k2，证明：eq \f(k2,k1)为定值．
考法二 直接法求轨迹方程
解题技巧
直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略．如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步．求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．
【例2】 已知定点A，B，且|AB|＝2a.如果动点P到点A的距离与到点B的距离之比为2∶1，求点P的轨迹．
考法三 相关点法(代入法)求轨迹方程
答题模板
相关点法(代入法)求轨迹方程的基本步骤
第一步：设出所求动点坐标P(x，y)．
第二步：寻求所求动点P(x，y)与已知动点Q(x′，y′)的关系．
第三步：建立P，Q两坐标间的关系，并用x，y用表示出x′，y′.
第四步：将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．
【例3】 (2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足eq \(NP,\s\up18(→))＝eq \r(2) eq \(NM,\s\up18(→)).
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且eq \(OP,\s\up18(→))·eq \(PQ,\s\up18(→))＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
【易错警示】
易错点 忽视了轨迹中的隐含条件
【典例】 直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．
【错解】：设M(x，y)．易知直线恒过定点P(5,0)，再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，所以x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))2＋y2＝eq \f(25,4).
【错因分析】：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错．错解中，忽略了所求的轨迹应为圆内部分，应对其加以条件限制．
【正解】：同错解得到eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))2＋y2＝eq \f(25,4)；因为点M应在圆内，所以所求的轨迹为圆内的部分．解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))2＋y2＝\f(25,4)，,x2＋y2＝16，))得两曲线交点的横坐标为x＝eq \f(16,5)，故所求轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))2＋y2＝eq \f(25,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤x＜\f(16,5))).
【跟踪训练】 如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)，分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*，1≤i≤9)．求证：点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并根据这个规律求P的轨迹方程．
【递进题组】
1．已知点A(－4,4)，B(4,4)，直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与BM的斜率之差为－2，点M的轨迹为曲线C，则曲线C的轨迹方程为__________．
2．已知圆C的方程为(x－3)2＋y2＝100，点A的坐标为(－3,0)，M为圆C上任一点，线段AM的垂直平分线交CM于点P，则点P的轨迹方程为__________．
3．设点F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且eq \(MN,\s\up18(→))＝2eq \(MP,\s\up18(→))，eq \(PM,\s\up18(→))⊥eq \(PF,\s\up18(→))，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．
4．(2019·天门中学一模)已知△ABC的两顶点坐标为A(－1,0)，B(1,0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝1，动点C的轨迹为曲线M.
(1)求曲线M的方程；
(2)设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．
【考卷送检】
一、选择题
1．(2019·黄梅一中期中)如图，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，若tan∠ADP＋2tan∠BCP＝10，则点P在平面α内的轨迹是( )
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
2．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
3．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，点Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点Q的轨迹方程是( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
4．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，点A(1,0)是圆内一定点，点Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与 CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为( )
A.eq \f(4x2,21)－eq \f(4y2,25)＝1 B.eq \f(4x2,21)＋eq \f(4y2,25)＝1
C.eq \f(4x2,25)－eq \f(4y2,21)＝1 D.eq \f(4x2,25)＋eq \f(4y2,21)＝1
5.设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若eq \(BP,\s\up18(→))＝2eq \(PA,\s\up18(→))，且eq \(OQ,\s\up18(→))·eq \(AB,\s\up18(→))＝1，则点P的轨迹方程是( )
A.eq \f(3,2)x2＋3y2＝1(x>0，y>0)
B.eq \f(3,2)x2－3y2＝1(x>0，y>0)
C．3x2－eq \f(3,2)y2＝1(x>0，y>0)
D．3x2＋eq \f(3,2)y2＝1(x>0，y>0)
6．已知圆锥曲线mx2＋4y2＝4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
二、填空题
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足Oeq \(C,\s\up18(→))＝Oeq \(A,\s\up18(→))＋t(Oeq \(B,\s\up18(→))－Oeq \(A,\s\up18(→)))，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．
8．(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．
9．P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足Oeq \(Q,\s\up18(→))＝eq \(PF1,\s\up18(→))＋eq \(PF2,\s\up18(→))，则动点Q的轨迹方程是________．
三、解答题
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)，点B在直线l1：y＝－1上，点M满足eq \(MB,\s\up18(→))∥eq \(OA,\s\up18(→))，eq \(MA,\s\up18(→))·eq \(AB,\s\up18(→))＝eq \(MB,\s\up18(→))·eq \(BA,\s\up18(→))，求点M的轨迹方程．
11．F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，求垂足Q的轨迹方程．
12．从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．
13．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
【考纲要求】
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系
【命题趋势】
求满足条件的动点轨迹及轨迹方程，用直接法和定义法较为普遍.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学建模、数学运算的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.
2．求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
(1)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0, 那么点P0(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.
(2)“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件.
坐标系建立的不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲线．
有时此过程可根据实际情况省略，直接列出曲线方程．
【真题体验】
1.．到点O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数c(c≠0)的点P的轨迹方程为__________．
2．MA和MB分别是动点M(x，y)与两定点A(－1,0)和B(1,0)的连线，则使∠AMB为直角的动点M的轨迹方程是__________．
3．平面上有三个点A(－2，y)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(y,2)))，C(x，y)，若eq \(AB,\s\up18(→))⊥eq \(BC,\s\up18(→))，则动点C的轨迹方程为__________．
4．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是__________．
【考法拓展•题型解码】
考法一 定义法求轨迹方程
归纳总结
(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据该曲线的标准方程，写出所求的轨迹方程．
(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．
【例1】 (2019·新乡调考)已知点P到点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的距离比它到直线x＝－eq \f(5,2)的距离小2.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)记点P的轨迹为E，过点S(2,0)，斜率为k1的直线交E于A，B两点，Q(1,0)，延长AQ，BQ与E交于C，D两点，设CD的斜率为k2，证明：eq \f(k2,k1)为定值．
考法二 直接法求轨迹方程
解题技巧
直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略．如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步．求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．
【例2】 已知定点A，B，且|AB|＝2a.如果动点P到点A的距离与到点B的距离之比为2∶1，求点P的轨迹．
考法三 相关点法(代入法)求轨迹方程
答题模板
相关点法(代入法)求轨迹方程的基本步骤
第一步：设出所求动点坐标P(x，y)．
第二步：寻求所求动点P(x，y)与已知动点Q(x′，y′)的关系．
第三步：建立P，Q两坐标间的关系，并用x，y用表示出x′，y′.
第四步：将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．
【例3】 (2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足eq \(NP,\s\up18(→))＝eq \r(2) eq \(NM,\s\up18(→)).
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且eq \(OP,\s\up18(→))·eq \(PQ,\s\up18(→))＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
【易错警示】
易错点 忽视了轨迹中的隐含条件
【典例】 直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．
【错解】：设M(x，y)．易知直线恒过定点P(5,0)，再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，所以x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))2＋y2＝eq \f(25,4).
【错因分析】：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错．错解中，忽略了所求的轨迹应为圆内部分，应对其加以条件限制．
【正解】：同错解得到eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))2＋y2＝eq \f(25,4)；因为点M应在圆内，所以所求的轨迹为圆内的部分．解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))2＋y2＝\f(25,4)，,x2＋y2＝16，))得两曲线交点的横坐标为x＝eq \f(16,5)，故所求轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))2＋y2＝eq \f(25,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤x＜\f(16,5))).
【跟踪训练】 如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)，分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*，1≤i≤9)．求证：点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并根据这个规律求P的轨迹方程．
【递进题组】
1．已知点A(－4,4)，B(4,4)，直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与BM的斜率之差为－2，点M的轨迹为曲线C，则曲线C的轨迹方程为__________．
2．已知圆C的方程为(x－3)2＋y2＝100，点A的坐标为(－3,0)，M为圆C上任一点，线段AM的垂直平分线交CM于点P，则点P的轨迹方程为__________．
3．设点F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且eq \(MN,\s\up18(→))＝2eq \(MP,\s\up18(→))，eq \(PM,\s\up18(→))⊥eq \(PF,\s\up18(→))，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．
4．(2019·天门中学一模)已知△ABC的两顶点坐标为A(－1,0)，B(1,0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝1，动点C的轨迹为曲线M.
(1)求曲线M的方程；
(2)设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．
【考卷送检】
一、选择题
1．(2019·黄梅一中期中)如图，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，若tan∠ADP＋2tan∠BCP＝10，则点P在平面α内的轨迹是( )
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
2．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
3．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，点Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点Q的轨迹方程是( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
4．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，点A(1,0)是圆内一定点，点Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与 CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为( )
A.eq \f(4x2,21)－eq \f(4y2,25)＝1 B.eq \f(4x2,21)＋eq \f(4y2,25)＝1
C.eq \f(4x2,25)－eq \f(4y2,21)＝1 D.eq \f(4x2,25)＋eq \f(4y2,21)＝1
5.设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若eq \(BP,\s\up18(→))＝2eq \(PA,\s\up18(→))，且eq \(OQ,\s\up18(→))·eq \(AB,\s\up18(→))＝1，则点P的轨迹方程是( )
A.eq \f(3,2)x2＋3y2＝1(x>0，y>0)
B.eq \f(3,2)x2－3y2＝1(x>0，y>0)
C．3x2－eq \f(3,2)y2＝1(x>0，y>0)
D．3x2＋eq \f(3,2)y2＝1(x>0，y>0)
6．已知圆锥曲线mx2＋4y2＝4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
二、填空题
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足Oeq \(C,\s\up18(→))＝Oeq \(A,\s\up18(→))＋t(Oeq \(B,\s\up18(→))－Oeq \(A,\s\up18(→)))，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．
8．(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．
9．P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足Oeq \(Q,\s\up18(→))＝eq \(PF1,\s\up18(→))＋eq \(PF2,\s\up18(→))，则动点Q的轨迹方程是________．
三、解答题
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)，点B在直线l1：y＝－1上，点M满足eq \(MB,\s\up18(→))∥eq \(OA,\s\up18(→))，eq \(MA,\s\up18(→))·eq \(AB,\s\up18(→))＝eq \(MB,\s\up18(→))·eq \(BA,\s\up18(→))，求点M的轨迹方程．
11．F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，求垂足Q的轨迹方程．
12．从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．
13．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
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