专题8.7 抛物线的定义、标准方程、几何性质-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1.了解抛物线的定义、几何图形、标准方程，知道它的简单几何性质．
2.了解圆锥曲线的简单应用，了解抛物线的实际背景．
3.理解数形结合思想.
【命题趋势】
1.求解与抛物线定义有关的问题；利用抛物线的定义求轨迹方程；求抛物线的标准方程．
2.求抛物线的焦点和准线；求解与抛物线焦点有关的问题(如焦点弦、焦半径等问题.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算和直观想象的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物
线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
2．抛物线的标准方程和几何性质
【素养清单•常用结论】
与抛物线焦点弦有关的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角．则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(2)|AF|＝eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs α).
(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α).
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p).
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
【真题体验】
1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
2.【2019年高考天津卷理数】已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3.【2018年高考全国Ⅲ理数】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
4.【2017年高考全国II理数】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则_______________．
5.【2017年高考全国I理数】已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【考法拓展•题型解码】
考法一 抛物线的定义及其应用
归纳总结
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
【例1】 (1)定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，则点M到y轴的最短距离为( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为__________．
考法二 抛物线的标准方程及其几何性质
归纳总结
(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
(2)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(3)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
【例2】 (1)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq \r(3)，则p＝( )
A．1 B.eq \f(3,2) C．2 D．3
(2)(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4eq \r(2)，|DE|＝2eq \r(5)，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
(3)(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝__________.
考法三 直线与抛物线的位置关系及弦长问题
归纳总结
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝x1＋x2＋p；若不过焦点，则必须用弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
【例3】 (2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝eq \f(x2,4)上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
【易错警示】
易错点 混淆直线与抛物线的交点与切点的区别
【典例】 过点(0,3)的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求直线l的方程．
【错解】：设直线l的方程为y＝kx＋3，将其代入y2＝4x整理得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0，则由Δ＝0，解得k＝eq \f(1,3)，所以l的方程为y＝eq \f(1,3)x＋3.
【错因分析】：本题在解答过程中出现两处错误：一是忽略了斜率不存在的直线是否符合题设条件；二是将方程k2x2＋(6k－4)x＋9＝0默认为一元二次方程，忽略了判断当k＝0时是否满足条件这一情况．
【正解】：当斜率k存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，将其代入y2＝4x整理得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0，则当k≠0时，由Δ＝0，解得k＝eq \f(1,3)；当k＝0时，直线l的方程为y＝3，此时l平行于对称轴，且与抛物线只有一个交点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，3))；当k不存在时，直线l与抛物线也只有一个公共点，此时l的方程为x＝0.综上，过点(0,3)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线l的方程为y＝eq \f(1,3)x＋3或y＝3或x＝0.
【跟踪训练】 过点(0,1)且与抛物线y2＝2x相切的直线方程为__________．
【递进题组】
1．若动圆的圆心在抛物线y＝eq \f(1,12)x2上，且与直线y＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )
A．(0,2) B．(0，－3) C．(0,3) D．(0,6)
2．已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PA))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PQ))的最小值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
3．(2018·北京卷)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为__________．
4．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.
5．已知点F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，点P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝12，则抛物线的准线方程为__________．
6．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
【考卷送检】
一、选择题
1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－eq \f(4,3) B．－1 C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(1,2)
2．拋物线y＝2ax2(a≠0)的焦点是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，0))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，0))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8a))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8a)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,8a)))
3．(2019·新乡一中月考)过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，以AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16，则p＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．(2019·曲阜一中月考)已知F是抛物线x2＝8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7
5．(2019·河北师大附中月考)已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为eq \f(3,2)，则|AB|的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为eq \r(3)的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(2) C．2eq \r(3) D．3eq \r(3)
二、填空题
7．若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为eq \r(3)，则点M到该抛物线焦点的距离为________．
8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．
9．已知点Q(－2eq \r(2)，0)及抛物线x2＝－4y上一动点P(x，y)，则|y|＋|PQ|的最小值为________．
三、解答题
10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq \r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上—点，若eq \(OC,\s\up18(→))＝eq \(OA,\s\up18(→))＋λeq \(OB,\s\up18(→))(λ≠0)，求λ的值．
11．双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,4)＝1(a>0)的离心率为eq \r(5)，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点在双曲线的顶点上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过M(－1,0)的直线l与抛物线C交于E，F两点，又过E，F作抛物线C的切线l1，l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．
12．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，Oeq \(A,\s\up18(→))·Oeq \(B,\s\up18(→))＝12.
(1)求抛物线的方程；
(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．
13．(2019·郴州一中月考)设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq \(FA,\s\up18(→))|＋|eq \(FB,\s\up18(→))|＋|eq \(FC,\s\up18(→))|的值为( )
A．1 B．2 C．3 D． 4标准
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
方程
图形
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝y0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－y0＋eq \f(p,2)