专题8.5 椭圆的定义、标准方程、几何性质-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

这是一份专题8.5 椭圆的定义、标准方程、几何性质-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案，文件包含专题85椭圆的定义标准方程几何性质解析版doc、专题85椭圆的定义标准方程几何性质原卷版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共29页， 欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．
2.了解圆锥曲线的简单应用，了解椭圆的实际背景．
3.理解数形结合的思想
【命题趋势】
1.求解与椭圆定义有关的问题；利用椭圆的定义求轨迹方程；求椭圆的标准方程；判断椭圆焦点的位置．
2．求解与椭圆的范围、对称性有关的问题；求解椭圆的离心率；求解与椭圆的焦点三角形有关的问题.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养
【素养清单•基础知识】
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数
2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个
定点F1，F2叫做椭圆的焦点.
2．椭圆的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆
的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆
的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．
3．椭圆的几何性质
长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心．
离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接
近于a，从而b＝eq \r(a2－c2)越小，因此椭圆越扁．
【素养清单•常用结论】
(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为eq \f(2b2,a)，过焦点最长弦为长轴．
(2)过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.
(3)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共焦点的椭圆方程为eq \f(x2,a2＋λ)＋eq \f(y2,b2＋λ)＝1(λ＞－b2)．
(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；
②S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
③△PF1F2的周长为2(a＋c)．
【真题体验】
1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2.【2019年高考北京卷理数】已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则（ ）
A．a2=2b2 B．3a2=4b2
C．a=2b D．3a=4b
3.【2019年高考浙江卷】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．
4.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.
5.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
6.【2017年高考全国Ⅲ理数】已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【考法拓展•题型解码】
考法一 椭圆的定义及其应用
归纳总结
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))，通过整体代入可求其面积等．
【例1】 (1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
(2)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且eq \(PF1,\s\up8(→))⊥eq \(PF2,\s\up8(→)).若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.
考法二 椭圆的标准方程
解题技巧
求椭圆的标准方程的方法
(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．
(2)待定系数法：这种方法是求椭圆方程的常用方法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
【例2】 (1)若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋y2＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1
C.eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1 D．以上答案都不正确
(2)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，eq \r(3))是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1
考法三 椭圆的几何性质
解题技巧
(1)在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系．
(2)求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．
(3)求椭圆离心率的方法：①直接求出a，c，从而求解e；②构造a，c的齐次式，解出e，由a，c的二元齐次方程，转化为关于e的一元二次方程求解；③通过特殊值或特殊位置，求出离心率．
【例3】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－eq \f(\r(3),2) B．2－eq \r(3)
C.eq \f(\r(3)－1,2) D.eq \r(3)－1
(2)设A1，A2分别为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得kPA1·kPA2＞－eq \f(1,2)，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
(3)(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq \r(3)]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq \r(3)]∪[4，＋∞)
考法四 直线与椭圆的综合问题
解题技巧
直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略
(1)求直线方程：可依题设条件，寻找确定该直线的两个条件，进而得到直线方程．
(2)求面积：先确定图形的形状，再利用条件寻找确定面积的条件，进而得出面积的值．
(3)弦长问题：利用根与系数的关系、弦长公式求解．
(4)中点弦或弦的中点问题：一般利用点差法求解，注意判断直线与椭圆是否相交．
【例4】 已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝eq \f(\r(5),5)，直线l交椭圆于M，N两点．
(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．
【易错警示】
易错点 忽略椭圆中x，y的取值范围
【典例】 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝eq \r(\f(2,3))，已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，4))到这个椭圆上的点的最远距离是5，求这个椭圆的方程．
【错解】：依题意可设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，
则e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(2,3)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，即a2＝3b2.
设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d2＝x2＋(y－4)2＝a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y2,b2)))＋y2－8y＋16
＝3b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y2,b2)))＋y2－8y＋16＝－2(y＋2)2＋3b2＋24.所以deq \\al(2,max)＝3b2＋24＝25，所以b2＝eq \f(1,3)，a2＝3b2＝1，所以椭圆的方程为x2＋3y2＝1.
【错因分析】：上述解答过程中由于忽略了椭圆上的点(x，y)的坐标满足－a≤x≤a，－b≤y≤b这一条件，导致结果出现错误．
【正解】：依题意可设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(2,3)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，即a2＝3b2.设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d2＝x2＋(y－4)2＝a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y2,b2)))＋y2－8y＋16
＝3b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y2,b2)))＋y2－8y＋16＝－2(y＋2)2＋3b2＋24.由于点(x，y)在椭圆上，所以有－b≤y≤b，若b≥2，则当y＝－2时，d2有最大值，于是3b2＋24＝25，
从而解得b＝eq \f(\r(3),3)＜2，与b≥2矛盾，所以必有b＜2，
此时当y＝－b时，d2有最大值，所以－2(－b＋2)2＋3b2＋24＝25，解得b＝1，所以a2＝3，
所以所求椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1.
【跟踪训练】 若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up8(→))·eq \(FP,\s\up8(→))的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
【递进题组】
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq \f(\r(3) ,6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
2．曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与曲线eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k＜9)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
3．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4eq \r(3)，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,3)＋y2＝1
C.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1 D.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1
4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(1,3)
5．已知点M(eq \r(6)，eq \r(2))在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为eq \f(\r(6),3).
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，
顶点为P(－3,2)，求△PAB的面积．
【考卷送检】
一、选择题
1．已知焦点在y轴上的椭圆 eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,m)＝1的长轴长为8，则m＝( )
A．4 B．8
C．16 D．18
2．椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于eq \f(1,2)，且它的一个顶点为(0,2eq \r(3))，则椭圆C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
3．已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2eq \r(3) B．6
C．4eq \r(3) D．12
4．已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4－k)＝1的离心率为eq \f(4,5)，则k的值为( )
A．－21 B．21
C．－eq \f(19,25)或21 D.eq \f(19,25)或－21
5．设椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为( )
A．3 B．3或eq \f(3,2)
C.eq \f(3,2) D．6或3
6．椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线eq \r(3)x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3)－1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(3)－1
二、填空题
7．设椭圆eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的右焦点为(2,0)，离心率为eq \f(\r(2),2)，则此椭圆的方程为________．
8．已知P为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
9．(2019·常德三中月考)已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，双曲线N：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
三、解答题
10．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(6),3)，焦距为2eq \r(2)，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若AB垂直于x轴，求直线MB的斜率．
11．如图，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，右顶点和上顶点分别为A，B，且|AB|＝eq \f(\r(5),2)|BF|.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．
12．(2018·天津卷)设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为eq \f(\r(5),3)，|AB|＝eq \r(13).
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：y＝kx(k＜0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
13．(2019·山东师大附中联考)中心为原点，一个焦点为F(0,5eq \r(2))的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为eq \f(1,2)，则该椭圆方程为( )
A.eq \f(2x2,75)＋eq \f(2y2,25)＝1 B.eq \f(x2,75)＋eq \f(y2,25)＝1
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,75)＝1 D.eq \f(2x2,25)＋eq \f(2y2,75)＝1标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
对称性
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标
(a,0)，(－a,0)， (0，b)，(0，－b)
(b,0)，(－b,0)， (0，a)，(0，－a)
焦点坐标
(c,0)，(－c,0)
(0，c)，(0，－c)
半轴长
长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b
离心率
e＝eq \f(c,a)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2