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专题6.6 直接证明、间接证明、数学归纳法-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案
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这是一份专题6.6 直接证明、间接证明、数学归纳法-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案，文件包含专题66直接证明间接证明数学归纳法解析版doc、专题66直接证明间接证明数学归纳法原卷版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共30页， 欢迎下载使用。
第六篇 不等式、推理与证明
专题6.6直接证明、间接证明、数学归纳法
【考纲要求】
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点
3.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
【命题趋势】
1.直接证明与间接证明一般考查以不等式、数列、解析几何、立体几何、函数、三角函数为背景的证明问题.
2.数学归纳法一般以数列、集合为背景，用“归纳—猜想—证明”的模式考查.
【核心素养】
本讲内容主要考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．直接证明
(1)综合法
①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
②框图表示：―→―→―→…―→(其中P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)．
(2)分析法
①定义：从要证明的__结论__出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
②框图表示：―→―→―→…―→.
2．间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．
(1)反证法的定义
一般地，假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题的成立，这样的证明方法叫作反证法．
(2)用反证法证明的一般步骤
①反设——假设原命题的结论不成立；
②归谬——根据假设进行推理，直到推理中出现矛盾为止；
③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．
用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用框图表示为
―→―→―→
【真题体验】
1．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②C＜D，这里①是②的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )
A．三个内角都不大于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°
D．三个内角至多有两个大于60°
3.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__________．
4．下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是__________．
5．(2019·湖北天门中学月考)设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.
C.＋ D.－
6．(2019·黑龙江大庆一模)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k＋1成立时，总可推出f(k＋1)≥k＋2成立”．那么，下列命题总成立的是( )
A．若f(1)<2成立，则f(10)<11成立
B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1
C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立
D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立
7．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)时命题为真，进而需证n＝__________时，命题亦真．
【考法解码•题型拓展】
考法一：分析法
解题技巧：分析法证题的思路
(1)先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．
(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．
【例1】 已知a＞0，求证：－≥a＋－2.
考法二：综合法
归纳总结 ：综合法证题的思路
(1)分析条件选择方向：分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系，选择相关的定理、公式等，确定恰当的解题方法．
(2)转化条件组织过程：把已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．
(3)适当调整回顾反思：回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．
【例2】 (1)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，若ab>cd，证明：
①＋>＋；
②|a－b|<|c－d|.
(2)(2019·长沙调考)已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．
考法三：反证法
归纳总结
(1)适用范围：①“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确的题目；②否定性命题、唯一性命题、存在性命题、“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明法比较困难，往往用反证法．
(2)推理关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．
【例3】 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
考法四：数学归纳法证明等式
归纳总结：数学归纳法证明等式的思路和注意点
(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确地写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．
【例1】 求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
考法五：数学归纳法证明不等式
归纳总结(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法．
(2)数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等方法证明．
【例2】 已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求证：当n∈N*时，an
考法六：归纳—猜想—证明
归纳总结：“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决与正整数n有关的探索性问题、存在性问题中有着广泛的应用，其关键是归纳、猜想出公式．
【例3】 (2019·湖北孝感检测)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1)计算a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
【易错警示】
易错点一：反证法中未用到反设的结论
【典例】 设{an}是公比为q的等比数列．设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．
【错解】：假设{an＋1}是等比数列．
则{an＋1}的前三项为a1＋1，a2＋1，a3＋1，即a1＋1，a1q＋1，a1q2＋1.
(a1＋1)(a1q2＋1)－(a1q＋1)2＝aq2＋a1＋a1q2＋1－aq2－2a1q－1＝a1(q2－2q＋1)＝a1(q－1)2≠0，所以(a1＋1)(a1q2＋1)≠(a1q＋1)2，所以数列{an＋1}不是等比数列．(推理中未用到结论的反设)
【错因分析】：错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法．利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立．
【正解】：假设{an＋1}是等比数列．则对任意的k∈N*，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，因为a1≠0，所以2qk＝qk－1＋qk＋1.又q≠0，所以q2－2q＋1＝0，所以q＝1，这与已知q≠1矛盾．所以假设不成立，故数列{an＋1}不是等比数列．
【误区防范】
利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．
【跟踪训练】 设a>0，b>0，且a2＋b2＝＋.证明：a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
【答案】见解析
【解析】证明 假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则有a2＋a＋b2＋b<4.而由a2＋b2＝＋得a2b2＝1，因为a>0，b>0，所以ab＝1.因为a2＋b2≥2ab＝2(当且仅当a＝b＝1时，等号成立)，a＋b≥2＝2(当且仅当a＝b＝1时，等号成立)，所以a2＋a＋b2＋b≥2ab＋2＝4(当且仅当a＝b＝1时，等号成立)，这与假设矛盾，故假设错误．所以a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
易错点二：证明过程未用到归纳假设
【典例】用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＋＝1－(n∈N*)．
【错解】：证明：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，等式成立，即＋＋＋…＋＋＝1－.那么当n＝k＋1时，左边＝＋＋＋…＋＋＋＝＝1－.这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立．
【错因分析】：错误的原因在第二步，它是直接利用了等比数列的求和公式求出了当n＝k＋1时，式子＋＋…＋＋＋的和，而没有利用“归纳假设”，不符合数学归纳法证明的步骤．
【正解】：证明：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，等式成立，即＋＋＋…＋＋＝1－，那么当n＝k＋1时，左边＝＋＋＋…＋＋＋＝1－＋＝1－＝右边．这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立．
【误区防范】
(1)用数学归纳法证明命题时常出现两种错误：一是n0的值找错．二是证明命题n＝k＋1也成立时，没有用到n＝k时的归纳假设．
(2)确定由n＝k变化到n＝k＋1的过程中项的变化情况时，要把握好项的变化规律以及首末项．
【跟踪训练】 设a1＝1，an＋1＝＋1(n∈N*)，求a2，a3，an，并用数学归纳法证明你的结论．
【答案】见解析
【解析】a2＝2，a3＝＋1，
可写为a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1.
因此猜想an＝＋1.下面用数学归纳法证明上式：
当n＝1时结论成立．假设n＝k时结论成立，
即ak＝＋1，
则ak＋1＝＋1＝＋1＝＋1.
这就是说，当n＝k＋1时结论也成立．
综上可知，an＝＋1(n∈N*)．
【递进题组】
1．欲证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证明( )
A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0
2．若0
C．a1b2＋a2b1 D.
3．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.
4．已知a≠0，证明：关于x的方程ax＝b有且只有一个根．
5．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝
n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
6．用数学归纳法证明：1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．
7．(2019·湖北部分重点中学联考)已知数列{xn}满足x1＝，且xn＋1＝(n∈N*)．
(1)用数学归纳法证明：0
8．(2019·武穴中学月考)试证：n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
【考卷送检】
一、选择题
1．用反证法证明命题“若a＋b＋c为偶数，则自然数a，b，c恰有一个偶数”时，正确的反设为( )
A．自然数a，b，c都是奇数
B．自然数a，b，c都是偶数
C．自然数a，b，c中至少有两个偶数
D．自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设 a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
3．(2019·焦作一中月考)若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )
A．lg(1＋a2)＞0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)
C．a2＋3ab＞2b2 D.＜
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
5．已知a>b>0，且 ab＝1，若 0
6．设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋( )
A．都大于2 B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2
二、填空题
7．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．
8．用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________________．
9．(2019·郑州一模)某题字迹有污损，大致内容是“已知|x|≤1，，用分析法证明|x＋y|≤|1＋xy|”．估计污损部分的文字内容为________．
三、解答题
10．(2019·永州一中月考)已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
证明 欲要证2a3－b3≥2ab2－a2b成立，只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即证2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即证(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，所以2a3－b3≥2ab2－a2b.
11．(2019·黄石二中期中)已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.
(1)求证：SA⊥平面ABCD；
(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
12．已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝(n∈N*)．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝anan＋1(n∈N*)，数列{bn}的前n项和记为Tn，证明：Tn＜.
13．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2 ＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
14．求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．
15．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<2－(n∈N*，n≥2)．
16．(2019·衡水高中调研)首项为正数的数列{an}满足an＋1＝(a＋3)，n∈N*.证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数．
17．已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)，试比较＋＋＋…＋与1的大小，并说明理由．
第六篇 不等式、推理与证明
专题6.6直接证明、间接证明、数学归纳法
【考纲要求】
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点
3.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
【命题趋势】
1.直接证明与间接证明一般考查以不等式、数列、解析几何、立体几何、函数、三角函数为背景的证明问题.
2.数学归纳法一般以数列、集合为背景，用“归纳—猜想—证明”的模式考查.
【核心素养】
本讲内容主要考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．直接证明
(1)综合法
①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
②框图表示：―→―→―→…―→(其中P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)．
(2)分析法
①定义：从要证明的__结论__出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
②框图表示：―→―→―→…―→.
2．间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．
(1)反证法的定义
一般地，假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题的成立，这样的证明方法叫作反证法．
(2)用反证法证明的一般步骤
①反设——假设原命题的结论不成立；
②归谬——根据假设进行推理，直到推理中出现矛盾为止；
③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．
用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用框图表示为
―→―→―→
【真题体验】
1．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②C＜D，这里①是②的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )
A．三个内角都不大于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°
D．三个内角至多有两个大于60°
3.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__________．
4．下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是__________．
5．(2019·湖北天门中学月考)设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.
C.＋ D.－
6．(2019·黑龙江大庆一模)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k＋1成立时，总可推出f(k＋1)≥k＋2成立”．那么，下列命题总成立的是( )
A．若f(1)<2成立，则f(10)<11成立
B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1
C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立
D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立
7．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)时命题为真，进而需证n＝__________时，命题亦真．
【考法解码•题型拓展】
考法一：分析法
解题技巧：分析法证题的思路
(1)先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．
(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．
【例1】 已知a＞0，求证：－≥a＋－2.
考法二：综合法
归纳总结 ：综合法证题的思路
(1)分析条件选择方向：分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系，选择相关的定理、公式等，确定恰当的解题方法．
(2)转化条件组织过程：把已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．
(3)适当调整回顾反思：回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．
【例2】 (1)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，若ab>cd，证明：
①＋>＋；
②|a－b|<|c－d|.
(2)(2019·长沙调考)已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．
考法三：反证法
归纳总结
(1)适用范围：①“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确的题目；②否定性命题、唯一性命题、存在性命题、“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明法比较困难，往往用反证法．
(2)推理关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．
【例3】 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
考法四：数学归纳法证明等式
归纳总结：数学归纳法证明等式的思路和注意点
(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确地写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．
【例1】 求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
考法五：数学归纳法证明不等式
归纳总结(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法．
(2)数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等方法证明．
【例2】 已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求证：当n∈N*时，an
考法六：归纳—猜想—证明
归纳总结：“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决与正整数n有关的探索性问题、存在性问题中有着广泛的应用，其关键是归纳、猜想出公式．
【例3】 (2019·湖北孝感检测)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1)计算a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
【易错警示】
易错点一：反证法中未用到反设的结论
【典例】 设{an}是公比为q的等比数列．设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．
【错解】：假设{an＋1}是等比数列．
则{an＋1}的前三项为a1＋1，a2＋1，a3＋1，即a1＋1，a1q＋1，a1q2＋1.
(a1＋1)(a1q2＋1)－(a1q＋1)2＝aq2＋a1＋a1q2＋1－aq2－2a1q－1＝a1(q2－2q＋1)＝a1(q－1)2≠0，所以(a1＋1)(a1q2＋1)≠(a1q＋1)2，所以数列{an＋1}不是等比数列．(推理中未用到结论的反设)
【错因分析】：错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法．利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立．
【正解】：假设{an＋1}是等比数列．则对任意的k∈N*，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，因为a1≠0，所以2qk＝qk－1＋qk＋1.又q≠0，所以q2－2q＋1＝0，所以q＝1，这与已知q≠1矛盾．所以假设不成立，故数列{an＋1}不是等比数列．
【误区防范】
利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．
【跟踪训练】 设a>0，b>0，且a2＋b2＝＋.证明：a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
【答案】见解析
【解析】证明 假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则有a2＋a＋b2＋b<4.而由a2＋b2＝＋得a2b2＝1，因为a>0，b>0，所以ab＝1.因为a2＋b2≥2ab＝2(当且仅当a＝b＝1时，等号成立)，a＋b≥2＝2(当且仅当a＝b＝1时，等号成立)，所以a2＋a＋b2＋b≥2ab＋2＝4(当且仅当a＝b＝1时，等号成立)，这与假设矛盾，故假设错误．所以a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
易错点二：证明过程未用到归纳假设
【典例】用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＋＝1－(n∈N*)．
【错解】：证明：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，等式成立，即＋＋＋…＋＋＝1－.那么当n＝k＋1时，左边＝＋＋＋…＋＋＋＝＝1－.这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立．
【错因分析】：错误的原因在第二步，它是直接利用了等比数列的求和公式求出了当n＝k＋1时，式子＋＋…＋＋＋的和，而没有利用“归纳假设”，不符合数学归纳法证明的步骤．
【正解】：证明：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，等式成立，即＋＋＋…＋＋＝1－，那么当n＝k＋1时，左边＝＋＋＋…＋＋＋＝1－＋＝1－＝右边．这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立．
【误区防范】
(1)用数学归纳法证明命题时常出现两种错误：一是n0的值找错．二是证明命题n＝k＋1也成立时，没有用到n＝k时的归纳假设．
(2)确定由n＝k变化到n＝k＋1的过程中项的变化情况时，要把握好项的变化规律以及首末项．
【跟踪训练】 设a1＝1，an＋1＝＋1(n∈N*)，求a2，a3，an，并用数学归纳法证明你的结论．
【答案】见解析
【解析】a2＝2，a3＝＋1，
可写为a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1.
因此猜想an＝＋1.下面用数学归纳法证明上式：
当n＝1时结论成立．假设n＝k时结论成立，
即ak＝＋1，
则ak＋1＝＋1＝＋1＝＋1.
这就是说，当n＝k＋1时结论也成立．
综上可知，an＝＋1(n∈N*)．
【递进题组】
1．欲证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证明( )
A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0
2．若0
C．a1b2＋a2b1 D.
3．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.
4．已知a≠0，证明：关于x的方程ax＝b有且只有一个根．
5．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝
n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
6．用数学归纳法证明：1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．
7．(2019·湖北部分重点中学联考)已知数列{xn}满足x1＝，且xn＋1＝(n∈N*)．
(1)用数学归纳法证明：0
8．(2019·武穴中学月考)试证：n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
【考卷送检】
一、选择题
1．用反证法证明命题“若a＋b＋c为偶数，则自然数a，b，c恰有一个偶数”时，正确的反设为( )
A．自然数a，b，c都是奇数
B．自然数a，b，c都是偶数
C．自然数a，b，c中至少有两个偶数
D．自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设 a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
3．(2019·焦作一中月考)若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )
A．lg(1＋a2)＞0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)
C．a2＋3ab＞2b2 D.＜
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
5．已知a>b>0，且 ab＝1，若 0
6．设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋( )
A．都大于2 B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2
二、填空题
7．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．
8．用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________________．
9．(2019·郑州一模)某题字迹有污损，大致内容是“已知|x|≤1，，用分析法证明|x＋y|≤|1＋xy|”．估计污损部分的文字内容为________．
三、解答题
10．(2019·永州一中月考)已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
证明 欲要证2a3－b3≥2ab2－a2b成立，只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即证2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即证(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，所以2a3－b3≥2ab2－a2b.
11．(2019·黄石二中期中)已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.
(1)求证：SA⊥平面ABCD；
(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
12．已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝(n∈N*)．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝anan＋1(n∈N*)，数列{bn}的前n项和记为Tn，证明：Tn＜.
13．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2 ＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
14．求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．
15．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<2－(n∈N*，n≥2)．
16．(2019·衡水高中调研)首项为正数的数列{an}满足an＋1＝(a＋3)，n∈N*.证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数．
17．已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)，试比较＋＋＋…＋与1的大小，并说明理由．
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