专题6.5 合情推理与演绎推理-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

第六篇 不等式、推理与证明

专题6.5 合情推理与演绎推理

【考纲要求】

1 .了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会合情推理在数学发现中的作用．

2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．

3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异

【命题趋势】

合情推理一般以新定义、新规则的形式考查集合、函数、不等式、数列等问题；而演绎推理常结合函数、方程、不等式、解析几何、立体几何、数列等问题中的证明来考查..

【核心素养】

本讲内容主要考查逻辑推理的核心素养，这是数学的核心，笔者认为一定要引起重视。.

【素养清单•基础知识】

1．合情推理

(1)归纳推理

①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．

②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．

(2)类比推理

①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．

②特点：由特殊到特殊的推理．

类比推理的注意点

在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．

(3)合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

合情推理的关注点

(1)合情推理是合乎情理的推理．

(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向．　　　　　　　　　　　

2．演绎推理

(1)演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．　

演绎推理：常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

【素养清单•常用结论】

(1)合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．

(2)合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．

【真题体验】

1.【2019年高考全国I卷理数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（  ）

A．165 cm                                   B．175 cm 

C．185 cm                                   D．190 cm

2.【2017年高考全国II卷理数】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（  ）

A．乙可以知道四人的成绩      B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩     D．乙、丁可以知道自己的成绩

3.观察下列不等式：

1＋＜，

1＋＋＜，

1＋＋＋＜，

1＋＋＋＋＜，

…

按此规律，第五个不等式为__________．

【考法解码•题型拓展】

考法一：类比推理

归纳总结　　

(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．

(2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比、低维与高维类比、等差与等比类比、运算类比(加与乘、乘与乘方、减与除、除与开方)、数的运算与向量运算类比、圆锥曲线间的类比等．

【例1】 (1)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列是等比数列，且也是等比数列，则dn的表达式应为(　　)

A．dn＝ 

B．dn＝

C．dn＝ 

D．dn＝

(2)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为__________．

考法二：归纳推理

解题技巧：归纳推理中几种问题的处理技巧

(1)与等式或不等式“共舞”问题：观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，注意是纵向看，发现隐含的规律．

(2)与数列“牵手”问题：先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所含的范围，从而由特殊的结论推广到一般结论．

(3)与图形变化“相融”问题：合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．

【例2】 (1)观察等式：12＝1,12－22＝－3,12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…依此规律，第n个等式可为__________．

(2)观察下列的图形中小正方形的个数，则第10个图中有______个小正方形．

【例3】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　　)

A．乙可以知道四人的成绩

B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩

D．乙、丁可以知道自己的成绩

(2)某校为高一学生开设了三门选修课程，分别是文学与艺术、哲学初步、数学史．调查某班甲、乙、丙三名学生的三门选修课程的选修情况时，甲说：“我选修的课程比乙多，但没有选修哲学初步．”乙说：“我没有选修数学史．”丙说“我们三人选修的课程中，有一门课程是相同的．”由此可以判断乙选修的课程为__________．

考法三：演绎推理

归纳总结：演绎推理的结构特点和推证规则

(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．

(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

【例4】 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)，证明：

(1)数列是等比数列；

(2)Sn＋1＝4an.

【易错警示】

易错点　盲目类比，没有合理的推导

【典例】 在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆的半径r＝，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论．

【错解】：取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A－BCD，且AB＝a，AC＝b，AD＝c，将平面上三角形的外接圆的半径r＝类比到空间为此三棱锥的外接球的半径r＝.

【错因分析】：类比推理是一种由特殊到特殊的推理，在类比过程中要结合简单的证明，确保推理的正确性．错解中只是对结论进行了表面的类比，而没有进行合理的推导证明．

【正解】：取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A－BCD，且AB＝a，AC＝b，AD＝c，可以将四面体补成一个长方体，则体对角线即为外接球的直径，即2r＝ ，所以r＝.则此三棱锥的外接球的半径r＝.

【误区防范】　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．

【跟踪训练】  (2019·上海浦东新区期中)在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则＝＋，由此类比：三棱锥S－ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，设三棱锥底面ABC上的高为h，则________．

【递进题组】

1．有下列各式：1＋＋＞1,1＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，…，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为__________．

2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为__________．

3．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α＋cos2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则__________．

4．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则＋＋＋…＋＝__________.

【考卷送检】

一、选择题

1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(　　)

A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数

B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数

C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数

D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数

2．请仔细观察1,1,2,3,5，(　　)，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是(　　)

A．8                               B．9

C．10                              D．11

3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3, (cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)

A．f(x)                            B．－f(x)

C．g(x)                            D．－g(x)

4．中国有句名言“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如6 613用算筹表示就是，则8 335用算筹可表示为(　　)

5．(2019·太原模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等，据此可判断丙必定值班的日期是(　　)

A．2日和5日                           B．5日和6日

C．6日和11日                          D．2日和11日

6．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，观察下列运算：

a1·a2＝log23·log34＝·＝2；

a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝··…·＝3；…

若a1·a2·a3·…·ak(k∈N*)为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1·a2·a3·…·ak＝2 019时，“企盼数”k为(　　)

A．22 019 ＋2                         B．22 019

C．22 019－2                          D．22 019－4

二、填空题

7．观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根据上述规律，第n个不等式应该为________________．

8．(2019·鄂南高中月考)一同学在电脑中打出如下图形(表示空心圆，表示实心圆)．

若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，则前2 020个圆中有实心圆的个数为________．

9．设等差数列{an}的前n项和为 Sn，则 S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论我们可以得到一个真命题为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则______________成等比数列．

三、解答题

10．设f(x)＝ ，g(x)＝ (其中a＞0，且a≠1)．

(1)请你由5＝2＋3推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；

(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．

11．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

12．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5.

(1)求a18的值；

(2)求该数列的前n项和Sn.

13．(2019·威海模拟)对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝，33＝，43＝，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为________．