专题6.2 一元二次不等式及其解法-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
【命题趋势】
对一元二次不等式的考查，主要以考查解法为主，同时也考查一元二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等．另外，以函数、数列为载体，以一元二次不等式的解法为手段求参数的取值范围也是热点.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算、数学建模的核心素养.
【素养清单•基础知识】
三个二次之间的关系
【素养清单•常用结论】
(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法
不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c＞0))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＝b2－4ac＜0)) .
(2)ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c＜0))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ＝b2－4ac＜0))
【真题体验】
1.【2018年高考全国I卷理数】已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知全集U＝R，集合A＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(x－1,3－x)＞0))，集合B＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(y＝\r(4－2x)))，则A∩B＝( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．[2,3) D．(1,2]
3．不等式x(2－x)＞0的解集为__________．
4．(2019·海安中学期中)若不等式x2＋px＋2＜0的解集为(1,2)，则p＝__________.
5．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是__________．
【考法解码•题型拓展】
考法一 一元二次不等式的解法
归纳总结
(1)解一元二次不等式的一般步骤
①化为标准形式(二次项系数大于0)；②确定判别式Δ的符号；③若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ<0，则对应的二次方程无实根；④结合二次函数的图象得出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式，需要对参数进行分类讨论
①二次项中若含有参数，应讨论是小于零、等于零，还是大于零，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
②当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与零的关系；
③确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
【例1】 (1)(2019·山东实验中学诊断)不等式－x2＋|x|＋2＜0的解集是( )
A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜－2或x＞2}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x＜－1或x＞1}
(2)(2019·长春外国语学校质检)若关于x的不等式ax－b＞0的解集是(－∞，－2)，则关于x的不等式eq \f(ax2＋bx,x－1)＞0的解集为( )
A．(－2,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，0)∪(1,2)
C．(－∞，－2)∪(0,1) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
(3)(2019·泉州中学月考)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集是__________．
考法二 一元二次不等式恒成立问题
解题技巧:不等式恒成立问题的求解方法
(1)x∈R的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．
(2)x∈[a，b]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．
(3)已知参数m∈[a，b]的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
【例2】 函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；
(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求x的取值范围．
考法三 一元二次不等式的实际应用
答题模板：求解不等式应用题的四个步骤
(1)阅读、理解、审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．
(3)解不等式，得出数学结论，并注意数学模型中自变量的实际意义．
(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．
【例3】 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x＋1－\f(3,x)))元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．
【易错警示】
易错点 不能正确转换简单的分式不等式
【典例】 (2019·襄阳五中月考)已知R是实数集，集合A＝{x|x2－x－2≤0}，
B＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(x－6,2x－1)≥0))))，则A∩(∁RB)＝( )
A．(1,6) B．[－1,2]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))
【错解】：由x2－x－2≤0可得A＝{x|－1≤x≤2}．由eq \f(x－6,2x－1)≥0可得(2x－1)(x－6)≥0，所以B＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≤\f(1,2)或x≥6))))，所以∁RB＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＜x＜6))))，所以A∩(∁RB)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＜x≤2)))).故选D.
【错因分析】：本例的解答错在eq \f(x－6,2x－1)≥0的转化上，这里显然x≠eq \f(1,2)，转化过程不等价，因而导致错误．
【正解答案】：C
【正解】：由x2－x－2≤0可得A＝{x|－1≤x≤2}．由eq \f(x－6,2x－1)≥0得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－62x－1≥0，,2x－1≠0，))所以B＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＜\f(1,2)或x≥6))))，所以∁RB＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x＜6))))，所以A∩(∁RB)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x≤2)))).故选C.
归纳总结 ：解分式不等式的方法就是将其转换为整式不等式再求解．常见的转换方式为eq \f(fx,gx)≥0(≤0)⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx·gx≥0≤0，,gx≠0；))eq \f(fx,gx)＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0)，但转换时一定要注意判断条件是否有改变．
【跟踪训练】 不等式eq \f(3x－1,2－x)≥1的解集是( )
A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)≤x≤2)))) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)≤x＜2))))
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＞2或x≤\f(3,4))))) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≥\f(3,4)))))
【递进题组】
1．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|2＜x＜4))，则不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为( )
A．{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＞\f(1,2))) B．{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＜\f(1,4)))
C．{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)＜x＜\f(1,2))) D．{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＞\f(1,2)或x＜\f(1,4)))
2．若不等式2kx2＋kx－eq \f(3,8)＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．(－3,0) B．[－3,0)
C．[－3,0] D．(－3,0]
3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋x，x≤1，,lg\s\d15(\f(1,3))x，x＞1，))若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－eq \f(3,4)m恒成立，则实数m的取值范围为__________．
4．(2019·天津河东一模)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)．
(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；
(2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜eq \f(1,a)，比较f(x)与m的大小．
5．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．
在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位：m)与车速x(单位：km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2，问：甲、乙两车有无超速现象？
【考卷送检】
一、选择题
1．(2019·南昌月考)已知p：|5x－2|＞3，q：eq \f(1,x2＋4x－5)≥0，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
3．函数y＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x)))＋eq \r(1－x2)的定义域为( )
A．{x|－1C．{x|04．已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是( )
A．[0,1] B．(0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
5．若ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－2或x>4}，则对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c应有( )
A．f(5)B．f(5)C．f(－1)D．f(2)6．若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0对一切x∈(0,2]恒成立，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1－\r(3),2)))
B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(3),2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1－\r(3),2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(3),2)，＋∞))
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(3),2)，\f(1＋\r(3),2)))
二、填空题
7．某产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是________台．
8．若对任意实数p∈[－1,1]，不等式px2＋(p－3)x－3>0成立，则实数x的取值范围为________．
9．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>0的解集为(1,2)，若方程f(x)的最大值小于1，则a的取值范围是________．
三、解答题
10．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
11．(2019·扬州中学模拟)某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销量就要减少10件，问他将单价定为多少元时，才能使得每天的利润最大？单价定为多少元时，才能保证每天的利润在300元以上？
12．已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)＜0，当x∈(－3,2)时，f(x)＞0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域；
(2)若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．
13．在R上定义运算：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc，若不等式eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－1 a－2,a＋1 x))≥1对x∈R恒成立，则实数a的最大值为________．
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根
x1，x2
(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
{x|x＜x1或
x＞x2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
不等式
解集
a＜b
a＝b
a＞b
(x－a)·
(x－b)＞0
{x|x＜a
或x＞b}
{x|x≠a}
{x|x＞a
或x＜b}
(x－a)·
(x－b)＜0
{x|a＜x＜b}
∅
{x|b＜x＜a}