专题6.3 二元一次不等式（组）与线性规划-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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第六篇 不等式、推理与证明
专题6.3 二元一次不等式（组）与线性规划
【考纲要求】
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决
【命题趋势】
对线性规划的考查常以线性目标函数的最值为重点，兼顾考查代数式的几何意义，有时也考查用线性规划知识解决实际问题.
【核心素养】
本讲内容主要考查直观想象、数学建模、数学运算的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不包括边界直线，把边界直线画成虚线；不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线，把边界直线画成实线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足Ax＋By＋C＞0，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足Ax＋By＋C<0.
(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的符号就可以判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．
(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各不等式所表示的平面区域的公共部分．
2．线性规划中的有关概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

【真题体验】
1.【2019年高考北京卷理数】若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值为（ ）
A．−7 B．1
C．5 D．7
【答案】C
【解析】由题意作出可行域如图阴影部分所示.

设,
当直线经过点时,取最大值5.故选C．
【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础知识､基本技能的考查.
2.【2019年高考天津卷理数】设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A．2 B．3
C．5 D．6
【答案】D
【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.
目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，
故目标函数在点处取得最大值.
由，得，
所以.
故选C.

【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．
3.【2019年高考浙江卷】若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B． 1
C． 10 D． 12
【答案】C
【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。

因为，所以.
平移直线可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.
联立两直线方程可得，解得.
即点A坐标为，
所以.故选C.
【名师点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.
4.【2018年高考全国II卷理数】若满足约束条件 则的最大值为__________．
【答案】9
【解析】不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当时，.

【名师点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择或填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.
5.【2018年高考北京卷理数】若x,y满足，则2y−x的最小值是_________.
【答案】3
【解析】作出可行域，如图，则直线过点A(1,2)时，取最小值3.

【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：
一、准确无误地作出可行域；
二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；
三、一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
解本题时，先作出可行域，再根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法.
6.【2017年高考全国III卷理数】若，满足约束条件，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.

目标函数即，易知直线在轴上的截距最大时，目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点处取得最小值，为.
【名师点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最大，在y轴上的截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最小，在y轴上的截距最小时，z值最大.

【考法解码•题型拓展】
考法一　　二元一次不等式(组)表示的平面区域
解题技巧：确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法
(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式．若满足不等式，则不等式表示的平面区域为与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．若直线不过原点，特殊点一般取(0,0)点．
(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线．
【例1】 (1)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为(　　)

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】两直线方程分别为x－2y＋2＝0与x＋y－1＝0.
由点(0,0)在直线x－2y＋2＝0右下方可知表示的区域为x－2y＋2≥0，由点(0,0)在直线x＋y－1＝0左下方可知表示的区域为x＋y－1≥0，所以为所表示的可行域．故选A.
(2)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是__________．
【答案】(0,1]∪
【解析】不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解得A；解得B(1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中的a的取值是0＜a≤1或a≥.

考法二　　线性目标函数的最值问题
归纳总结　　
(1)求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．
(2)由目标函数的最值求参数．求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
(3)利用可行域及最优解求参数及其范围．利用约束条件作出可行域，通过分析可行域及目标函数确定最优解的点，再利用已知条件可求参数的值或范围．
【例2】 (1)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为(　　)
A．－4 B．6
C．10 D．17
【答案】B
【解析】由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分)．

当直线2x＋5y－z＝0过点A(3,0)时，zmin＝2×3＋5×0＝6.故选B.
(2)(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为__________．
【答案】9
【解析】由不等式组画出可行域，(如图阴影部分)．目标函数z＝x＋y取得最大值⇔斜率为－1的平行直线x＋y＝z(z看作常数)的截距最大，由图可得直线x＋y＝z过点C时，z取得最大值．

由得点C(5,4)，所以zmax＝5＋4＝9.
(3)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为__________．
【答案】－1或2
【解析】作出可行域(如图所示的△ABC及其内部)．

由题设z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数取最大值时，对应的直线与可行域某一边界重合．
又kAB＝－1，kAC＝2，kBC＝，所以a＝－1或a＝2或a＝，
验证：a＝－1或a＝2时，满足题意；a＝时，不满足题意．
考法三　　非线性目标函数的最值问题
归纳总结:非线性目标函数最值问题的常见类型及求法
(1)距离平方型：目标函数为z＝(x－a)2＋(y－b)2时，可转化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)之间的距离的平方求解．
(2)斜率型：对形如z＝(ac≠0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z＝·的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等．
(3)点到直线距离型：对形如z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先变形为z＝·的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍的最值．
【例3】 (1)已知实数x，y满足则的取值范围是(　　)
A. B．[1,5]
C. D．[0,5]
【答案】C
【解析】由约束条件作出可行域如图所示．

可得A(3,0)，B(0,4)，的几何意义为可行域内的动点(x，y)与定点P(－1，－1)连线的斜率．因为kPA＝，kPB＝5，所以的取值范围为.故选C.
(2)若实数x，y满足不等式组则x2＋y2的最小值为__________．
【答案】5
【解析】先根据约束条件画出如图可行域，z＝x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方，由图知，当在点A(1,2)时，z的最小值为12＋22＝5.

(3)已知实数x，y满足则z＝|x＋2y－6|的最大值与最小值之差为__________．
【答案】5
【解析】画出满足条件的可行域，如图所示，因为z＝|x＋2y－6|＝·表示可行域内点P(x，y)到直线x＋2y－6＝0的距离的 倍，由图象知点A到直线x＋2y－6＝0的距离最小，点B到直线x＋2y－6＝0的距离最大，且计算可得出点A，点B(2，－1)，所以zmin＝·＝1，zmax＝·＝6，所以zmax－zmin＝5.

考法四　　线性规划的实际应用
答题模板:解线性规划应用题的一般步骤
第一步：仔细阅读题目，分析题意，设出未知量．
第二步：列出线性约束条件和目标函数，将实际问题转化为线性规划问题．
第三步：作出可行域并利用数形结合求解这个线性规划问题．
第四步：将数学问题的答案还原为实际问题的答案．
【例4】 (2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如表所示.

连续剧播放
时长/分钟
广告播放
时长/分钟
收视人次/万
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
【答案】见解析
【解析】(1)由条件可知x，y满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．

(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一簇平行线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(6,3)．
所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
【易错警示】
易错点　不能正确判断取最值的位置
【典例】 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x＋2y的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【错解】：由给定的三条直线可得到可行域边界的交点分别为A(1,1)，B(3,1)，C(2,0)，将三个点代入目标函数z＝x＋2y中，并比较可知，当目标函数过点C(2,0)时，zmin＝2，故选A.
【错因分析】：这个解答，没有意识到交点C不在可行域内．线性目标函数的最值一般在边界线或边界线的交点处取得，但应注意有的边界线的交点并不在可行域内，这时在这些点处当然就取不到最值了，因此解题时要注意画图．
【正解】：作出可行域，如图所示．由z＝x＋2y得y＝－x＋，故将直线y＝－x向上平移，当过点A(1,1)时，z有最小值3.

【误区防范】求目标函数的最值时应注意的问题
(1)求目标函数的最值时，易弄错目标函数的几何意义而求错，解题时要注意分析线性目标函数所表示的几何意义．
(2)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
【跟踪训练】 设变量x，y满足约束条件若目标函数z＝x＋ky(k＞0)的最小值为13，则实数k＝__________.
【答案】5或
【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示．

由图和题意可知z＝x＋ky(k>0)过点A或B时取得最小值，所以＋k＝13或＋k＝13，解得k＝5或.
【递进题组】
1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是(　　)

【答案】C　
【解析】 由(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0可得或与C项符合．故选C.
2.(2018·全国卷Ⅲ改编)设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是(　　)
A. B．1
C. D．3
【答案】D　
【解析】 画出可行域如图所示阴影部分，由z＝x＋y得y＝－3x＋3z，作出直线y＝－3x，并平移该直线，当直线y＝－3x＋3z过点A(2,3)时，目标函数z＝x＋y取得最大值为2＋×3＝3.

3．若实数x，y满足不等式组目标函数t＝x－2y的最大值为2，则实数a的值是(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
【答案】D　
【解析】 可行域为△ABC及其内部，如图所示．由图可知，当目标函数t＝x－2y过点A时有最大值，直线x－2y＝2与直线x－2＝0的交点坐标为(2,0)，代入直线x＋2y－a＝0，得a＝2.故选D.

4．已知实数x，y满足则k＝的最大值为(　　)
A. B.
C．1 D.
【答案】C　
【解析】 如图，不等式组表示的平面区域为△AOB的边界及其内部区域，

k＝＝表示点(x，y)和(－1,0)的连线的斜率．由图知，点(0,1)和点(－1,0)连线的斜率最大，所以kmax＝＝1.故选C.
5．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为__________元．
【答案】见解析
【解析】 设生产x件产品A，生产y件产品B，利润之和为z元，则z＝2 100x＋900y.
根据题意得即
作出可行域(如图中阴影部分所示)．
由得

当直线2 100x＋900y－z＝0过点M(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000.
故所求的最大值为216 000元．
答案 216 000
【考卷送检】
一、选择题
1．(2019·福州期末质检)不等式组的解集记为D.有下列四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x－2y≥2；
p2：∃(x，y)∈D，x－2y≥3；
p3：∀(x，y)∈D，x－2y≥；
p4：∃(x，y)∈D，x－2y≤－2.
其中是真命题的是(　　)
A．p2，p3 B．p1，p4
C．p1，p2 D．p1，p3
【答案】A　
【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图所示，设z＝x－2y，即y＝－，由解得则A，目标函数z＝x－2y过点A时取得最小值，即x－2y≥，所以p2，p3为真命题，p1，p4为假命题，故选A.

2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是(　　)
A. B.
C．[－1,6] D.
【答案】A　
【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知当直线z＝3x－y过点A(2,0)时，z取得最大值6，过点B时，z取得最小值－.故选A.

3．不等式组表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为(　　)
A．(0,3] B．[－1,1]
C．(－∞，3] D．[3，＋∞)
【答案】D　
【解析】 作出不等式表示的平面区域(阴影)，直线y＝kx－1过定点M(0，－1)，由图可知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点C(1,2)时，k最小，此时kC M＝＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞)．故选D.

4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x2＋y2的取值范围为(　　)
A．[2,8] B．[4,13]
C．[2,13] D.
【答案】C　
【解析】 作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，过点O作OA垂直直线x＋y＝2，垂足为A，设直线x－y＝1与y＝2交于点B，从而可得zmin＝|OA|2＝2＝2，zmax＝|OB|2＝32＋22＝13.故z∈[2,13]．

5．若实数x，y满足且z＝y－x的最小值为－2，则k的值为(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【答案】B　
【解析】 将选项中的k值分别代入约束条件中，则当k＝1或k＝2时，目标函数z＝y－x无最小值；当k＝－2时，直线y＝x＋z过点(0,2)时，有zmin＝2；当k＝－1时，直线y＝x＋z过点(2,0)时，有zmin＝－2.故选B.
6．若关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为(　　)
A．3 B．6
C．5 D．4
【答案】A　
【解析】 先作出不等式组对应的区域，如图．因为直线ax－y＋1＝0过定点(0,1)，且不等式ax－y＋1≥0表示的区域在直线ax－y＋1＝0的右下方，所以△ABC为不等式组对应的平面区域．因为A到直线BC的距离为1，所以S△ABC＝×1×BC＝2，所以BC＝4.当x＝1时，yC＝1＋a，所以1＋a＝4，解得a＝3.

二、填空题
7．(2018·北京卷)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．
【答案】 3
【解析】 由条件得即作出可行域，如图中阴影部分所示．设z＝2y－x，即y＝x＋z，作直线l0：y＝x并向上平移，显然当l0过点A(1,2)时，z取得最小值，zmin＝2×2－1＝3.

8．若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域内，则z＝2x－y的最小值为________．
【答案】 －4
【解析】 曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域如图．由z＝2x－y得y＝2x－z.当直线y＝2x－z经过点(－1,2)时，直线在y轴上的截距最大，此时z的值最小，故zmin＝2×(－1)－2＝－4，即2x－y的最小值为－4.

9．(2019·银川二中模拟)某工厂用A，B两种配件来生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件，耗时1 h，每生产一件乙产品使用4个B配件，耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8 h．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过合理安排，该工厂每天可获得的最大利润为________万元．
【答案】 22
【解析】 设分别生产甲、乙两种产品x件，y件，工厂每天获得的利润为z万元，由已知条件可得二元一次不等式组即作出可行域如图中阴影部分(整数点)所示，目标函数为z＝3x＋4y，由图可知目标函数在点A处取得最大值，由可得A(6,1)，所以x＝6，y＝1时，该工厂的日利润最大，为22万元．

三、解答题
10．如图所示，已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．
(1)写出表示区域D的不等式组；
(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．

【答案】见解析
【解析】 (1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为
(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a]·[4×(－3)－3×2－a]＜0，即(14－a)(－18－a)＜0，解得－18＜a＜14.故a的取值范围是(－18，14)．
11．设x，y满足条件
(1)求u＝x2＋y2的最大值与最小值；
(2)求v＝的最大值与最小值；
(3)求z＝|2x＋y＋4|的最大值与最小值．
【答案】见解析
【解析】 画出满足条件的可行域，如图所示．
(1)x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图象可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过点(0,0)时，u最小．又C(3,8)，所以umax＝73，umin＝0.
(2)v＝表示可行域内的点P(x，y)到定点D(5,0)的斜率，由图象可知kBD最大，kCD最小．又因为C(3,8)，B(3，－3)，所以vmax＝＝，vmin＝＝－4.
(3)因为z＝|2x＋y＋4|＝·表示可行域内点P(x，y)到直线2x＋y＋4＝0的距离的倍，由图象知A到直线2x＋y＋4＝0的距离最小，C到直线2x＋y＋4＝0的距离最大．又因为A，C(3,8)，故当x＝－，y＝时，zmin＝·＝；当x＝3，y＝8时，zmax＝·＝18.

12．(2019·长沙三中月考)投资人制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，一投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为50%和40%，可能的最大亏损率分别为30%和20%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过2.4万元．设甲、乙两个项目投资额分别为x，y万元．
(1)写出x，y满足的约束条件；
(2)求可能盈利的最大值(单位：万元)．
【答案】见解析
【解析】(1)x，y满足的约束条件为

(2)设目标函数z＝0.5x＋0.4y，上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线l0：0.5x＋0.4y＝0，当经过点M时，z＝0.5x＋0.4y取得最大值．解方程组得x＝4，y＝6.此时zmax＝0.5×4＋0.4×6＝4.4(万元)．
13．(2019·洛阳一中期中)已知点M(a，b)与点N(0，－1)在直线3x－4y＋5＝0的两侧，给出以下结论：
①3a－4b＋5＞0；②当a＞0时，a＋b有最小值，无最大值；③a2＋b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是∪.
正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】 因为点M(a，b)与点N(0，－1)在直线3x－4y＋5＝0的两侧，所以9(3a－4b＋5)＜0，即3a－4b＋5＜0，故①错误；作出不等式3a－4b＋5＜0的可行域(如图中阴影部分，不包含边界)，当a＞0时，由图知a＋b无最小值，也无最大值，故②错误；3a－4b＋5＜0表示的区域是直线3x－4y＋5＝0的左上方，a2＋b2表示阴影部分的点M(a，b)和原点间的距离的平方，则d＞＝1，故③正确；表示阴影部分的点M(a，b)和B(1，－1)连线的斜率，由图象得＞k1＝或＜kAB＝＝－，故④正确．故选B.