专题14 圆锥曲线中的定值、定点、探索性问题（课时训练）-2022年秋季高二上精品讲义（新教材人教A版）

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，所以直线的斜率存在，否则，OA，OB直线的倾斜角之和为从而设AB方程为，显然，
将与联立消去，得
由韦达定理知①
由，得1＝==
将①式代入上式整理化简可得：，所以，
此时，直线的方程可表示为即
所以直线恒过定点．

所以直线PQ过定点(1，0)
2、已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线:的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
(Ⅰ) 求抛物线的方程;
(Ⅱ) 当点为直线上的定点时，求直线的方程;
(Ⅲ) 当点在直线上移动时，求的最小值．
联立方程，消去整理得
由一元二次方程根与系数的关系可得，
所以
又点在直线上，所以，
所以
所以当时， 取得最小值，且最小值为．
3、已知椭圆系方程： (， )， 是椭圆的焦点， 是椭圆上一点，且.
（1）求的方程；
（2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于， 两点，点关于原点的对称点为，求证： 的面积为定值，并求出这个定值．
【解析】（1）由题意得椭圆的方程为： ，即 ．
∵ ．∴，又为椭圆上一点，∴．
，即，又，,
∴椭圆的方程为 ．
（2）解：①当直线斜率存在时，设方程为,
由消去y整理得，
∵直线与椭圆相切，∴，整理得．
设，则，且，∴点到直线的距离，
同理由消去y整理得，
设，则，

，
．
②当直线斜率不存在时，易知
综上可得的面积为定值．
4、椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直
线被椭圆截得的线段长为l．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接．设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点．设直线
的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值．
【解析】：（Ⅰ）由于，将代入椭圆方程得
由题意知，即，又
所以，，所以椭圆方程为
（Ⅱ）由题意可知：=,=,设其中，将向量坐标代入并化简得：，因为，
所以，而，所以
（Ⅲ）由题意可知，l为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：
，所以，而，代入中得
为定值．
5．已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
【答案】（1）见详解；（2）3或.
【解析】（1）设，则.
由于，所以切线DA的斜率为，故 .
整理得
设，同理可得.
故直线AB的方程为.
所以直线AB过定点.
（2）由（1）得直线AB的方程为.
由，可得.
于是，
.
设分别为点D，E到直线AB的距离，则.
因此，四边形ADBE的面积.
设M为线段AB的中点，则.
由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或.
当=0时，S=3；当时，.
因此，四边形ADBE的面积为3或.
【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.
6．设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．
【答案】（1）；（2）或．
解析】（1）设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，．
所以，椭圆的方程为．
（2）由题意，设．设直线的斜率为，
又，则直线的方程为，
与椭圆方程联立整理得，
可得，代入得，进而直线的斜率．
在中，令，得．由题意得，所以直线的斜率为．
由，得，化简得，从而．
所以，直线的斜率为或．
7.已知椭圆： 的离心率，若椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一动点和，组成的面积最大为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若存在直线和椭圆相交于不同的两点，，且原点与,连线的斜率之和满足：=2，求直线的斜率的取值范围.
【答案】：（1） （2）
【解析】：（1）由题可知的面积最大为.
椭圆的方程
（2）设，将代入得：
，由韦达定理得，
又由判别式得 = 1 \* GB3 ①
= 2 \* GB3 ②
联立 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②有：，解得：
.8、已知点是直线与椭圆的一个公共点， 分别为该椭圆的左右焦点，设取得最小值时椭圆为．
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）已知为椭圆上关于轴对称的两点， 是椭圆上异于的任意一点，直线分别与轴交于点，试判断是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1) ；（2） ．
【思路引导】
（1）联立，得，由此利用韦达定理、椭圆定义，结合已知条件能求出椭圆的方程；（2）设，且，由已知求出，由此能求出为定值．
试题解析：（1）联立，得，
∵直线与椭圆有公共点，∴，解得，∴，
又由椭圆定义知，
故当时， 取得最小值，
此时椭圆的方程为；离心率为 。