第五章 第三节 机械能守恒定律及其应用-2022高考物理【导学教程】新编大一轮总复习（word）人教版学案

第三节　机械能守恒定律及其应用　

一、重力做功与重力势能

1．重力做功的特点

(1)重力做功与__路径__无关，只与始、末位置的__高度差__有关。

(2)重力做功不引起物体__机械能__的变化。

2．重力做功与重力势能变化的关系

(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就__减小__；重力对物体做负功，重力势能就__增大__。

(2)定量关系：重力对物体做的功__等于__物体重力势能的__减小__量。即WG＝－(Ep2－Ep1)＝Ep1－Ep2＝__－ΔEp__。

(3)重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取__无关__。

二、弹性势能

1．概念：物体由于发生__弹性形变__而具有的能。

2．大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量__越大__，劲度系数__越大__，弹簧的弹性势能越大。

3．弹力做功与弹性势能变化的关系

类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：

W＝__－ΔEp__。

三、机械能守恒定律及其应用

1．机械能

__动能__和__势能__统称为机械能，其中势能包括__重力势能__和__弹性势能__。

2．机械能守恒定律

(1)内容：在只有__重力__或__弹力__做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能__保持不变__。

(2)常用的三种表达式。

①守恒式：E1＝E2或__Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2__。(E1、E2分别表示系统初末状态时的总机械能)

②转化式：ΔEk＝__－ΔEp__或ΔEk增＝__ΔEp减__。(表示系统势能的减少量等于动能的增加量)

③转移式：ΔEA＝__－ΔEB__或ΔEA增＝__ΔEB减__。(表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能)

[自我诊断]

判断下列说法的正误。

(1)克服重力做功，物体的重力势能一定增加。(√)

(2)弹力做正功弹性势能一定增加。(×)

(3)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。 (×)

(4)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。(√)

(5)物体所受合外力做功20 J，则物体的机械能增加20 J。(×)

(6)物体除重力外，其它力做功为零，则物体的机械能守恒，此时物体的动能、势能均不变。(×)

(7)物体只发生动能和重力势能的相互转化时，物体的机械能一定守恒。(√)

(8)做曲线运动的物体机械能可能守恒。(√)

考点一　机械能守恒的理解与判断

1．对机械能守恒条件的理解

(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。

(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。

(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，系统的机械能守恒。注意：并非物体的机械能守恒，是系统的机械能守恒。

2．机械能是否守恒的三种判断方法

(1)利用做功即守恒条件判断。

(2)利用机械能的定义判断：若物体或系统的动能、势能之和保持不变，则机械能守恒。

(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，内部也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。

[题组突破]

1．(2020·贵阳期末)如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平地面上，t＝0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧上升到一定高度后再下落，如此反复，该过程中弹簧的弹力大小F随时间t的变化关系如图乙所示。不计空气阻力，则(　　)

A．t1时刻小球的速度最大

B．t2时刻小球所受合力为零

C．以地面为零重力势能面，t1和t3时刻小球的机械能相等

D．以地面为零重力势能面，t1～t3时间内小球的机械能守恒

[解析]　根据题述，结合弹簧弹力随时间变化的图线，金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，t1时刻接触弹簧，由于重力大于弹簧弹力，小球还要加速向下运动，当弹力增大到等于小球重力时，小球速度最大，选项A错误；t2时刻弹簧被压缩到最短，弹簧的弹力最大，小球所受合力向上，选项B错误；t1时刻和t3时刻小球的速度大小相同，动能相同，距离地面高度相同，以地面为零重力势能面，t1时刻和t3时刻小球的机械能相等，选项C正确；以地面为零重力势能面，t1～t3时间内，小球和弹簧组成的系统的机械能守恒，但由于小球受到弹簧的弹力作用，小球的机械能先减小后增大，选项D错误。

[答案]　C

2．如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的小球，小球与一轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，已知杆与水平面之间的夹角θ＜45°，当小球位于B点

时，弹簧与杆垂直，此时弹簧处于原长。现让小球自C点由静止释放，在小球滑到杆底端的整个过程中，关于小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能，下列说法正确的是(　　)

A．小球的动能与重力势能之和保持不变

B．小球的动能与重力势能之和先增大后减小

C．小球的动能与弹簧的弹性势能之和保持不变

D．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变

[解析]　小球与弹簧组成的系统在整个过程中，机械能守恒。弹簧原长时弹性势能为零，小球从C点到最低点过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大，所以小球的动能与重力势能之和先增大后减小，A项错，B项对；小球的重力势能不断减小，所以小球的动能与弹簧的弹性势能之和不断增大，C项错；小球的初、末动能均为零，所以整个过程中小球的动能先增大后减小，所以小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大，D项错。

[答案]　B

◆易错提醒

1．机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”。

2．对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。

3．对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断。

考点二　单物体机械能守恒问题

机械能守恒的三种表达式对比

[例1]　如图，MN为半径R＝0.4 m、固定于竖直平面内的光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，O为圆心，M、O、P三点在同一水平线上，M的下端与轨道相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同但质量均为m＝0.01 kg的小钢珠，小钢珠每次都在M点离开弹簧枪。某次发射的小钢珠沿轨道经过N点时恰好与轨道间无作用力，水平飞出后落到OP上的Q点，不计空气阻力，取g＝10 m/s2。求：

(1)小钢珠经过N点时速度的大小vN；

(2)小钢珠离开弹簧枪时的动能Ek；

(3)小钢珠的落点Q与圆心O的距离x。

[解析]　(1)小钢珠沿轨道经过N点时恰好与轨道间无作用力，则有mg＝m

解得vN＝2 m/s。

(2)小钢珠在光滑圆弧轨道上运动，由机械能守恒定律得mv＋mgR＝Ek

解得Ek＝0.06 J。

(3)小钢珠从N点水平飞出后，做平抛运动，

R＝gt2，x＝vNt，解得x＝ m。

[答案]　(1)2 m/s　(2)0.06 J　(3) m

◆规律总结

求解单个物体机械能守恒问题的基本思路

1．选取研究对象——物体。

2．根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。

3．恰当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。

4．选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解。

[跟踪训练]

(2016·全国卷Ⅲ)如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。

(1)求小球在B、A两点的动能之比；

(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。

[解析]　(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒得EkA＝mg·①

设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg·②

由①②式得＝5③

(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力FN应满足FN≥0④

设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心加速度公式有FN＋mg＝m⑤

由④⑤式得，vC应满足mg≤m⑥

由机械能守恒有mg·＝mv⑦

由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。

[答案]　(1)5∶1　(2)能沿轨道运动到C点

考点三　连接体机械能守恒问题

1．对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。

2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。

3．列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。

(一)绳连接的物体系统

[例2]　如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，由绳子通过定滑轮连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上。开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4 m。现从静止释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，g取10 m/s2。若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5 m/s，则A和B的质量关系为(　　)

A.＝　　　　　　 B.＝

C.＝  D.＝

[解析]　圆环下降3 m时的速度v＝5 m/s

则此时A的速度为vA＝vcos θ＝v·＝3 m/s

A上升的高度hA＝－l＝1 m

由机械能守恒定律得

mgh＝MghA＋mv2＋Mv

解得＝。

[答案]　A

[规律总结]

绳连接系统的常见情境及解题注意事项

(二)轻杆连接的物体系统

[例3]　(多选)如图所示在一个固定的十字架上(横竖两杆连结点为O点)，小球A套在竖直杆上，小球B套在水平杆上，A、B两球通过转轴用长度为L的刚性轻杆连接，并竖直静止。由于微小扰动，B球从O点开始由静止沿水平杆向右运动。A、B两球的质量均为m，不计一切摩擦，小球A、B视为质点。在A球下滑到O点的过程中，下列说法中正确的是(　　)

A．在A球下滑到O点之前轻杆对B球一直做正功

B．小球A的机械能先减小后增大

C．A球运动到O点时的速度为

D．B球的速度最大时，B球对水平杆的压力大小为2mg

[解析]　当A到达底端时，B的速度为零，可见B的速度先增大后减小，所以轻杆对B先做正功，后做负功，A错。A、B组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，而B的机械能先增大后减小，所以小球A的机械能先减小后增大，B正确。A运动到最低点时，B的速度为零，根据系统机械能守恒定律得mgL＝mv，解得vA＝，C正确。当A机械能最小时，B的机械能最大，B的动能最大，轻杆对B无作用力，B对水平杆的压力大小为mg，D错。

[答案]　BC

[规律总结]

轻杆连接系统的常见情境及特点

(三)弹簧连接的物体系统

[例4]　(2020·包头模拟)如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上。用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直，cd段的细线与斜面平行。已知A、B的质量均为m，C的质量为4m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后C沿斜面下滑，A刚离开地面时，B获得最大速度。求：

(1)斜面倾角α；

(2)B的最大速度v。

[解析]　(1)当物体A刚刚离开地面时，设弹簧的伸长量为xA，对A有kxA＝mg。

此时B受到重力mg、弹簧的弹力kxA、细线拉力FT三个力的作用，设B的加速度为a，根据牛顿第二定律，对B有，FT－mg－kxA＝ma，对C有，4mgsin α－FT＝4ma，当B获得最大速度时，有a＝0，由此解得sin α＝0.5，所以α＝30°。

(2)开始时弹簧压缩的长度为xB＝，显然xA＝xB。当物体A刚离开地面时，B上升的距离以及C沿斜面下滑的距离为xA＋xB。由于xA＝xB，弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，且物体A刚刚离开地面时，B、C两物体的速度相等，设为v，由机械能守恒定律得4mg(xA＋xB)sin α－mg(xA＋xB)＝(4m＋m)v2，代入数值解得v＝2g。

[答案]　(1)30°　(2)2g

[规律总结]

弹簧连接物体系统的题型特点

非质点类机械能守恒问题

1．“链条”“液柱”类的物体，在运动过程中往往发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看作质点来处理。

2．“链条”“液柱”类物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，故整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。

[典例]　如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上，其一端D至B点的距离为L－a。现自由释放链条，则：

(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由。

(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？

[解析]　(1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和水平面AB均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。

(2)　设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的，高度减少量h＝

sin α＝sin α

该部分的质量为m′＝(L－a)

由机械能守恒定律可得：

(L－a)gh＝mv2，

解得：v＝。

[答案]　(1)守恒　理由见解析

(2)　

[跟踪训练]

如图所示，粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体、开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(　　)

A. 　 B. 　

C. 　 D.

[解析]　当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为整个液体的动能，根据功能关系有mg·h＝mv2，解得v＝。

[答案]　A