二次函数与平行四边形

任课教师： 学生： 本次课题： 上课日期：
二次函数中的平行四边形问题
三定点：
1、如图，在坐标系xoy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=12x2+bx-2的图像过C点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由。



2、如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=-1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y=x-1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在直线AB上方抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标；
（3）在平面直角坐标系中以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标。




3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为P，D为平面内一动点，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标



定线+平行：
4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A(3，0)、B(0，－3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．

(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
(2)若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
(3)是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式是.直线AB的解析式是.
(2) .
（3）P点的横坐标是或.
【解析】
【解析】(1)把A（3，0）B（0，-3）代入，得
解得
所以抛物线的解析式是.
设直线AB的解析式是,把A（3，0）B（0，）代入,得
解得
所以直线AB的解析式是.
(2)设点P的坐标是（）,则M（,）,因为在第四象限，所以PM=，当PM最长时，此时
==.
（3）若存在，则可能是：
①P在第四象限：平行四边形OBMP ,PM=OB=3， PM最长时，所以不可能.
②P在第一象限平行四边形OBPM： PM=OB=3，，解得，（舍去），所以P点的横坐标是.
③P在第三象限平行四边形OBPM：PM=OB=3，，解得（舍去），
①，所以P点的横坐标是.
所以P点的横坐标是或.

5、如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为(3，0)，经过A点的直线交抛物线于点D (2， 3).
（1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式；
（2）过x轴上的点E (a，0) 作直线EF∥AD，交抛物线于点F，是否存在实数a，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1） y=-x2+2x+3；y=x+1；（2）a的值为-3或．
【解析】
【解析】（1）把点B和D的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得：
解得：b=2，c=3，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
当y=0时，-x2+2x+3=0，
解得：x=3，或x=-1，
∵B（3，0），
∴A（-1，0）；
设直线AD的解析式为y=kx+a，
把A和D的坐标代入得：
解得：k=1，a=1，
∴直线AD的解析式为y=x+1；
（2）分两种情况：①当a＜-1时，DF∥AE且DF=AE，
则F点即为（0，3），
∵AE=-1-a=2，
∴a=-3；
②当a＞-1时，显然F应在x轴下方，EF∥AD且EF=AD，
设F （a-3，-3），
由-（a-3）2+2（a-3）+3=-3，
解得：a=；
综上所述，满足条件的a的值为-3或．

6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值；
（3）如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△PAE面积S的最大值是94；（3）点Q的坐标为（﹣2+7，27﹣4）．
【解析】【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，
∴9a-3b+3=0a+b+3=0 ，得a=-1b=-2，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m，
-3k+m=0-k+m=4，得k=2m=6，
∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6，
∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），
∴设点P的坐标为（p，2p+6），
∴S△PAE＝-p⋅(2p+6)2＝﹣（p+32）2+94，
∵﹣3＜p＜﹣1，
∴当p＝﹣32时，S△PAE取得最大值，此时S△PAE＝94，
即△PAE面积S的最大值是94；
（3）抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形，
∵四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上，
∴OA＝PQ，
∵点A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴PQ＝3，
∵直线AD为y＝2x+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴设点P的坐标为（p，2p+6），点Q（q，﹣q2﹣2q+3），
∴q-p=32p+6=-q2-2q+3，
解得，p=-5+7q=-2+7或p=-5-7q=-2-7（舍去），
当q＝﹣2+7时，﹣q2﹣2q+3＝27﹣4，
即点Q的坐标为（﹣2+7，27﹣4）．

7、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，－4)，C(2，0)三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形(要求PQ∥OB)，直接写出相应的点Q的坐标．

【答案】（1）y＝x2＋x－4；（2）当m＝－2时，S有最大值，S最大＝4；（3）满足题意的Q点的坐标有三个，分别是（－2＋2，2－2），（－2－2，2＋2），（－4，4）.
【分析】
（1）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式，利用待定系数法求解即可；
（2）利用抛物线的解析式表示出点M的纵坐标，从而得到点M到x轴的距离，然后根据三角形面积公式表示并整理即可得解，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值，然后即可得解；
（3）利用直线与抛物线的解析式表示出点P、Q的坐标，然后求出PQ的长度，再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于x的一元二次方程即可得解．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2），把B（0，-4）代入得，
-4=a×（0+4）（0-2），解得a=，
∴抛物线的解析式为：y=（x+4）（x-2），即y=x2+x-4；
（2）过点M作MD⊥x轴于点D，设M点的坐标为（m，n），
则AD=m+4，MD=-n，n=m2+m-4，
∴S=S△AMD+S梯形DMBO-S△ABO
==
-2n-2m-8=-2×（m2+m-4）-2m-8=-m2-4m
=-（m+2）2+4（-4＜m＜0）；
∴S最大值=4．（3）设P（x，x2+x-4）．
①如图1，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
又∵直线的解析式为y=-x，则Q（x，-x）．由PQ=OB，
得|-x-（x2+x-4）|=4，解得x=0，-4，-2±2．x=0不合题意，舍去．
由此可得Q（-4，4）或（-2+2，2-2）或（-2-2，2+2）；
②如图2，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．
四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）．
故满足题意的Q点的坐标有四个，分别是
（-4，4），（4，-4），（-2+2，2-2），（-2-2，2+2）．
【小结】
本题是二次函数综合题，交点式求解析式，二次函数与三角形面积最值问题的公共底的辅助线的做法要注意，二次函数中存在平行四边形的方法，要分别对已知边的分别为平行四边形的边或是对角线进行分类讨论.

两定点（分情况）：
8、如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．
（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；
（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系式；
（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的所有点E的坐标．

【答案】（1）（2）S=﹣m2﹣4m+4（﹣4＜m＜0）（3）（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）
【解析】
（1）∵A（﹣4，0）在二次函数y=ax2﹣x+2（a≠0）的图象上，
∴0=16a+6+2，
解得a=﹣，
∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2﹣x+2；
∴点C的坐标为（0，2），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则
，
解得，
∴直线AC的函数解析式为：；
（2）∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，
∴D（m，﹣m2﹣m+2），
过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=﹣m2﹣m+2，AH=m+4，HO=﹣m，
∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，
∴S=（m+4）×（﹣m2﹣m+2）+（﹣m2﹣m+2+2）×（﹣m），
化简，得S=﹣m2﹣4m+4（﹣4＜m＜0）；
（3）①若AC为平行四边形的一边，则C、E到AF的距离相等，
∴|yE|=|yC|=2，
∴yE=±2．
当yE=2时，解方程﹣x2﹣x+2=2得，
x1=0，x2=﹣3，
∴点E的坐标为（﹣3，2）；
当yE=﹣2时，解方程﹣x2﹣x+2=﹣2得，
x1=，x2=，
∴点E的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）；
②若AC为平行四边形的一条对角线，则CE∥AF，
∴yE=yC=2，
∴点E的坐标为（﹣3，2）．
综上所述，满足条件的点E的坐标为（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）．

9、如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的F点坐标（请直接写出点的坐标，不要求写过程）；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）A(-1,0)，B(3,0)，y=-x-1。（2）94。（3）F1(1,0)，F2(-3,0)，F3(4+7,0)，F4(4-7,0).
【解析】（1）令y=0，解得x1=-1或x2=3，
∴A（-1，0）B（3，0），
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3，
∴C（2，-3），
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1；
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），
E（x，x2-2x-3），
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-12）2+94，
∴当x=12时，PE的最大值=94；
（3）存在4个这样的点F，分别是F1(1,0)，F2(-3,0)，F3(4+7,0)，F4(4-7,0).
①如图1，

连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）；
②如图2，

AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；
③如图3，

此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+7，3），
设直线GF的解析式为y=-x+h，
将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+7，
因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+7，0）；
④如图4，

同③可求出F的坐标为（4-7，0）．
总之，符合条件的F点共有4个．

10、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点是D，对称轴交x轴于点E．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线在第四象限内的一点，过点P作PQ∥y轴，交直线AC于点Q，设点P的横坐标是m．
①求线段PQ的长度n关于m的函数关系式；
②连接AP，CP，求当△ACP面积为时点P的坐标；
（3）若点N是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段BN的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①n＝m2+m；②P（，﹣）；（3）存在，BN＝2或2或2
【解析】
（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设点P（m，m2﹣2m﹣3），
①将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AC的表达式为：y＝﹣3x﹣3，则点Q（m，﹣3m﹣3），
n＝PQ＝m2﹣2m﹣3+3m+3＝m2+m；
②连接AP交y轴于点H，

同理可得：直线AP的表达式为：y＝（m﹣3）x+m﹣3，
则OH＝3﹣m，则CH＝m，
△ACP面积＝×CH×（xP﹣xA）＝m（m+1）＝，
解得：m＝（不合题意的值已舍去），
故点P（，﹣）；
（3）点C（0，﹣3），点B（3，0），设点P（m，n），n＝m2﹣2m﹣3，点N（1，s），
①当BC是边时，
点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到B，
同样点M（N）向右平移3个单位向上平移3个单位得到N（M），
即1±3＝m，s±3＝n，
解得：m＝4或﹣2，s＝2或0，
故点N（1，2）或（1，0），则BN＝2或2；
②当BC是对角线时，
由中点公式得：3＝m+1，3＝s+n，
解得：s＝6，故点N（1，6），则BN＝2，
综上，BN＝2或2或2．

11、如图，直线y＝﹣2x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？
(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】(1)y＝﹣2x2+x+3；(2)点E的坐标是(34，218)时，△BEC的面积最大，最大面积是2732；(3)在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是(﹣32，﹣3)或(2，﹣3)或(﹣12，2)．
【解析】(1)∵直线y＝﹣2x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是(0，3)，点C的坐标是(32，0)，
∵抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点，
∴94a+32+c=0c=3，
解得a=-2c=3，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+x+3；
(2)如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，
∴设点E的坐标是(x，﹣2x2+x+3)，
则点M的坐标是(x，﹣2x+3)，
∴EM＝﹣2x2+x+3﹣(﹣2x+3)＝﹣2x2+3x，
∴S△BEC＝S△BEM+S△MEC
＝12EM•OC
＝12×(﹣2x2+3x)×32
＝﹣32(x﹣34)2+2732，
∴当x＝34时，即点E的坐标是(34，218)时，△BEC的面积最大，最大面积是2732；
(3)在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，
①如图2，AM∥PQ，AM＝PQ．
由(2)，可得点M的横坐标是34，
∵点M在直线y＝﹣2x+3上，
∴点M的坐标是(34，32)，
又∵抛物线y＝﹣2x2+x+3的对称轴是x＝14，
∴设点P的坐标是(x，﹣2x2+x+3)，
∵点A的坐标是(﹣1，0)，
∴xP﹣xA＝xQ﹣xM，x﹣(﹣1)＝14﹣34，
解得x＝﹣32，
此时P(﹣32，﹣3)；
②如图3，由(2)知，可得点M的横坐标是34，
∵点M在直线y＝﹣2x+3上，
∴点M的坐标是(34，32)，
又∵抛物线y＝﹣2x2+x+3的对称轴是x＝14，
∴设点P的坐标是(x，﹣2x2+x+3)，点Q的横坐标是14，
∵点A的坐标是(﹣1，0)，
∴xQ﹣xA＝xP﹣xM，即14﹣(﹣1)＝x﹣34，
解得x＝2，
此时P(2，﹣3)；
③如图4，由(2)知，可得点M的横坐标是34，
∵点M在直线y＝﹣2x+3上，
∴点M的坐标是(34，32)，
又∵抛物线y＝﹣2x2+x+3的对称轴是x＝14，
∴设点P的坐标是(x，﹣2x2+x+3)，点Q的横坐标是14，
∵点A的坐标是(﹣1，0)，
∴xP﹣xA＝xM﹣xQ，即x﹣(﹣1)＝34﹣14，
解得x＝﹣12，
此时P(﹣12，2)；
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是(﹣32，﹣3)或(2，﹣3)或(﹣12，2)．


周长最值：
12、如图，已知二次函数y=ax2-2a-34x+3的图象经过点A(4,0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m,0)(0 （1）求a的值和直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；
（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．

【答案】（1）a=-34，y=-34x+3；（2）56；（3）113，14或13，114.
【解析】【解析】（1）把点A(4,0)代入，得
0=a·42-(2a-34)×4+3
解得
a=-34
∴函数解析式为：y=-34x2+94x+3
设直线AB解析式为y=kx+b
把A(4,0)，B(0,3)代入
0=4k+bb=3
解得k=-34b=3
∴直线AB解析式为：y=-34x+3
（2）由已知，
点D坐标为(m,-34m2+94m+3)
点E坐标为(m,-34m+3)
∴AC=4-m
DE=(-34m2+94m+3)-(-34m+3)=-34m2+3m
∵BC//y轴
∴ ACEC=AOOB=43
∴AE=54(4-m)
∵∠DFA=∠DCA=90°，∠FBD=∠CEA
∴ΔDEF∽ΔAEC
∵S1=4S2
∴AE=2DE
∴ 54(4-m)=2(-34m2+3m)
解得m1=56，m2=4（舍去）
故m值为56
（3）如图，过点G做GM⊥DC于点M

由（2）DE=-34m2+3m
同理HG=-34n2+3n
∵四边形DEGH是平行四边形
∴-34m2+3m=-34n2+3n
整理得：(n-m)[34(n+m)-3]=0
∵m≠n
∴m+n=4，即n=4-m
∴MG=n-m=4-2m
由已知ΔEMG∽ΔBOA
∴ MGEM=43
∴EG=54(4-2m)
∴▱DEGH周长L=2[-34m2+3m+54(4-2m)]=-32m2+m+10
∵a=-32<0
∴m=-b2a=-12×(-32)=13时，L最大．
∴n=4-13=113
∴G点坐标为(113，14)，此时点E坐标为(13，114)
当点G、E位置对调时，依然满足条件
∴点G坐标为(113，14)或(13，114)