数学必修 第三册7.2.2 单位圆与三角函数线导学案及答案

单位圆与三角函数线

【学习目标】

1．了解单位圆的概念；

2．了解正弦线、余弦线、正切线的概念及意义；

3．能借助单位圆理解三角函数的定义。

【学习过程】

一、复习：

1．什么是向量？数轴上向量的坐标或数量是如何定义的？

如图：A（x）是数轴上一点，则的坐标OA=     ；的坐标AO=      

2．设P(x，y)是角终边上不同于原点的任意一点，∣ＯＰ∣＝r，(r=，r＞0)

则：sin=       ；cos=       ；tan=        。

当r=1时sin=       ；cos=       。

3． =     ； =     ； =     ； =     ； =     ；

      =     ； =     ；

4．三角函数在各象限的符号如何？

二、自主学习：

1．单位圆：半径为     的圆叫单位圆。

2．正射影：如图示：单位圆的圆心在坐标原点O，设角的顶点在圆心O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y）过点P作PＭ⊥x轴于点Ｍ，作PN⊥y轴于点N，则点Ｍ、N分别是点P在x轴、y轴上的       （简称     ）

即P点的坐标为（      ，      ），其中OM=     ；ON=     。

由此可得：角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的    坐标和　　坐标。

3．三角函数线：

在上面图2中，向量      、       、       分别叫做角α的余弦线、正弦线和正切线。

思考：当α=x(rad)且0<x<， 则α、sinα、tanα的大小关系是                  。

三、典型例题：

1．例1：分别作出和的正弦线，余弦线和正切线。

2．补充

1．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合：

    （1）sinα≥ ；（2）cosα≤。

2．求下列函数的定义域

（1）       （2）

【作业布置】

1．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边（　　）

A．在x轴上   B．在y轴上  C．在直线y=x上  D．在直线y=－x上

2．下列判断中错误的是（　　）

A．α一定时，单位圆中的正弦线一定  B．单位圆中，有相同正弦线的角相等

C．α和α+π具有相同的正切线  D．具有相同正切线的两个角的终边在同一直线上

3．角α（0＜α＜2π）的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为（　　）

A．或   B．或   C．或   D．或

4．已知x∈()，则sinx与cosx的大小关系是（　　）

A．sinx≥cosx  B．sinx≤cosx  C．sinx＞cosx  D．sinx＜cosx

5．若2sinθ=－3cosθ，则θ的终边可能在（　　）

A．第一、二象限  B．第二、三象限  C．第三、四象限  D．第二、四象限

6．如图所，∠POx的正弦线为　　　　　　，

余弦线为　　　　　　，正切线为　　　　。

7．设M＝，

N＝，且M∩N＝    。

8．在各坐标系内分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。

     （1）；（2）；（3）-；（4）。

9．利用三角函数线解答下列各题：

（1）已知α∈[0，2π），且tanα＞sinα，求α角的范围。

（2）已知α∈[0，2π），且sin＜cos，求α角的范围。

10．利用三角函数线证明。

11．设是第一象限的角，作的正弦线，余弦线和正切线，由图证明下列各等式；

（1）        （2）