高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理教案设计

空间向量基本定理

【教学目标】

1．知识目标（knowledge  objective）：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向量基本定理的证明。

2. 能力目标（capability  objective）：理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示，会在平行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底，表示其它向量。会画空间任一向量的分解图。类比平面向量的基本定理学习空间向量基本定理，培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。

3．情感目标（emotion  objective）：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生极大的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系。

【教学重难点】

1. 空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。

2. 运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系。

【教学过程】

1．引入（intruduce）：对比平面向量的基本定理，生活实际需要向三维空间发展（播放美伊战争画面，地面的坦克如何瞄准空中的飞机画面），推广到空间向量的基本定理。

用向量来描述：若空间三个向量不共面，那么空间的任一向量都可以用这三个向量表示。我们研究一下怎么表示。

（提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向量的基底表示）

学生：、是平面内两个不共线的向量，则该平面内的任一向量都可以表示为=λ1+λ2，其中λ1、λ2是一对唯一的实数。

2．推广（extend）：请学生猜测推广到空间向量的基本定理如何？

学生：空间向量的基本定理：如果空间三个向量、、不共面，则空间的任一向量都可表示为x+y+z。

师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明。

老师板演证明：设空间三个不共面的向量=，

=，=，=是空间任一向量，过P

作PD∥OC交平面OAB于D，则=+，

由空间两直线平行的充要条件知= z，由平面

向量的基本定理知向量与、共面，

则= x+y，所以，存在x，y，z使得=

x+y+ z。这样的实数x，y，z是否唯一呢？

用反证法证明：若另有不同于x，y，z的实数x1，y1，z1满足= x1+y1+ z1，则x+y+ z= x1+y1+ z1，即（x－x1） +（y－y1） +（z－z1） =

又、、不共面，则x－x1=0，y－y1=0，z－z1=0，所以x，y，z是唯一的实数。

这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理。

老师介绍相关概念：

其中{、、}叫做空间向量的一个基底，、、都叫做基向量。

师：对于空间向量的基底{、、}的理解，要明确：

①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一；

②三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；

③基底是一个集合，一个向量组，一个向量不能构成基底，基向量是基底中的某一向量。

④通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底。

⑤若{、、}是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底吗？引导学生举例说明，结果不唯一，通过思考培养学生的发散思维。

如： +、+、+；2+3、4、等构成向量的基底。

能否由原来的基向量生成新的基底，取决于生成的新向量是否共面，即其中的一个向量能否用另两个向量线性表示，请同学随便说一组向量，大家判断这组向量能否构成向量的基底。

通过老师的引导，不仅让学生理解空间向量的基本定理，还要让学生学会把平面向量的知识迁移到空间向量来，用发展、联系的观点看以前在平面向量中成立的结论，空间向量比平面向量发展了什么，保留了什么，渗透辨证法的思想。特别地，当x=0，则与、共面；若y=0，则与、共面；若z=0，则与、共面。当x=0， y=0时，与共线；当x=0， z=0时，与共线；当\y=0， z=0时，与共线。

说明每一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，并包含了低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展。这不仅体现在平面向空间的迁移，也体现在数学中其它知识的迁移（如数系的发展）。

3．类比（analogy）：对比平面向量中成立的结论推广到空间是什么相应的结论：

4．例题（examples）

例1．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，= ，=，=，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQ：QA1=4：1，

用基底{、、}表示以下向量：

（1），（2），（3）

分析：所求的向量与基底都共点，符合平行四边形法

则的特征，尽量将所求向量作为平行四边形的对角线。

解：（1）由P是CA1的中点，

得=（+）=（++）

=（++）

（2）=+=+=（+）++=++

法2：=+=++=++

（3）=+=+=+（+）=+

=（+）+

例2．在例1中，设O是AC的中点，判断AQ和OC1所在直线的位置关系。

解：由例1得：=（+）+，=+=+

=（+）+

则和与（+）和共面，又≠λ，则AQ和OC1所在直线不能平行，只能相交。

追问：要使AQ和OC1所在直线平行，则O应在AC的什么位置？

分析：要使AQ和OC1所在直线平行，则=λ=λ[（+）+]

又=+，设=μ=μ（+）

则λ[（+）+]=μ（+）+，即

λ+λ+λ=μ+μ+，由、、不共面即空间向量基本定理的唯一性知：，所以，OC=AC

学生可能不一定用刚学过的不熟悉的向量法去做，而是用平面几何的方法，根据平行线分线段成比例定理，也应加以肯定，让学生自己从中体会向量几何与平面几何风格的不同，更深地了解向量几何侧重定量研究，即将空间任一向量放在空间坐标系中，用向量的基底表示，再进行运算，思路简捷，不需要很强的演绎推理。

请学生板演平面几何证法：

易证△AA1Q≌△CC1R，则CR=A1Q=CQ，又，

所以=

5．练习（exercises）

已知向量=－2+3，=2+，=6－2+6，

判断+与能否共面或共线？－3与－2能否共面或共线？

+=3－+3，=2（+），则+与共线即平行

－3=6－2+6－6－3＝6－5

－2=2+－2+4－6=－6+5

－3与－2共线但反向。

思维发散训练：已知甲烷（CH4）的分子结构：中心为碳原子，外围有四个氢原子，四个氢原子构成正四面体的顶点，确定了四个氢原子的位置，能找到碳原子的位置吗？能求出两个碳氢键之间的键角吗？

6．反思（reconsider）

如何对向量进行定量研究，对比平面向量的研究方法，预习下节内容。