人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理第四课时课后复习题

1.2.2  空间向量基本定理的初步应用

分层演练  综合提升

基础巩固

1．如图，已知空间四边形中，，顺次连接各边中点P，Q，R，S，所得图形是（    ）

A．长方形    B．正方形    C．梯形    D．菱形

2．如图，长方体中，，E，F，G分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A．0    B．    C．    D．

3．如图，二面角等于，A，B是棱l上两点，分别在平面α，β内，，且，则的长等于（    ）

A．    B．    C．4    D．5

4．如图，在空间四边形中，，，，则异面直线与所成角的大小是________．

5．在平行六面体中，设，E，F分别是的中点．

（1）用向量表示；

（2）若，求实数x，y，z的值．

能力提升

6．在四面体中，G是底面的重心，且，则等于（    ）

A．    B．    C．1    D．3

7．如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，M是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的大小是________．

8．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是________．（填序号）

①；

②；

③向量与的夹角是；

④与所成角的余弦值为．

挑战创新

9．（多选）在四面体中，以上说法正确的有（    ）

A．若，则可知

B．若Q为的重心，则

C．若，则

D．若四面体各棱长都为2，M，N分别为的中点，则

10．如图，正方体中，P是的中点，O是底面的中心．求证：平面．

参考答案

基础巩固

1．【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

因为．

同理，所以，

所以四边形为平行四边形．

又，

所以，即．

又，

故，而，

所以，故四边形为菱形．

2．【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】根据题意可得，

，

从而得到和垂直，故其所成角的余弦值为0．

3．【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】∵二面角等于，，所以，

∵，

∴

．即．

4．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】依题意可知

．

设直线与所成角为α，则，故．

5．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】（1）如图，连接，

，

．

（2）

，

∴．

能力提升

6．【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】连接（图略），

，

∴，则．

7．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】不妨设棱长为2，则，

，

则．

8．【答案】①②

【解析】

【分析】

【详解】以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是，

可设棱长为1，则，

，

而

，所以①正确．

，所以②正确．

向量，

显然为等边三角形，则．

所以向量与的夹角是，向量与的夹角是，则③不正确．

又，

则，

，

，

所以，

所以④不正确，故①②正确．

挑战创新

9．【答案】ABC

【解析】

【分析】

【详解】对于A，∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

即，故A正确；

对于B，若Q为的重心，则，

∴，

∴，即，故B正确；

对于C，∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，故C正确；

对于D，∵

，

∴，

∵

．

∴，故D错误，故选ABC．

10．【答案】平面，证明见详解

【解析】

【分析】

【详解】证明如图，连接，则过点O，令，则，

且，

．

∴

．

∴，即．

又，

∴

，

∴，

即．又平面，

∴平面．