精练09 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式-备战2022年新高考数学选填题分层精练

精练09 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式

基础练

1．下列命题中的真命题是（    ）

A．三角形的内角必是第一象限或第二象限的角

B．

C．

D．若是第二象限角﹐则是第一象限角

【答案】D

【分析】

对于A，举特例说明并判断；对于B，利用诱导公式化简计算判断；

对于C，化弧度为角度即可判断；对于D，写出范围计算并判断作答.

【详解】

对于A，三角形的内角可以等于90°，而90°的角既不属于第一象限也不属于第二象限，A错误；

对于B，，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，角是第二象限角，即，

则，于是得是第一象限角，D正确.

故选：D

2．把角终边逆时针方向旋转后经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据任意角三角函数的定义及诱导公式、同角三角函数的关系求解即可.

【详解】

由题意，，

由诱导公式可知，，

所以，

故选：B

3．化简：的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

运用同角三角函数间的基本关系和三角函数的诱导公式化简可得答案.

【详解】

解：原式＝＝＝＝－1．

故选：B.

4．（2021·山西·怀仁市第一中学校云东校区高一阶段练习）已知是第四象限角，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由得范围求得的范围，结合已知求得，再由诱导公式求得及，进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得的值．

【详解】

解：是第四象限角，

，则，，

又，

．

，．

．

故选：C．

5．不求值，比较下列各组数的大小，其中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

A.利用在 上的单调性判断；B. 转化为，利用 在 上的单调性判断；C. 转化为，利用在 上的单调性判断；D.转化为 ，利用在 上的单调性判断.

【详解】

A.因为，且 在 上递增，

所以 ，故正确；

B. 因为，

且 ， 在 上递减，

所以 ，故错误；

C. 因为，

且 ， 在 上递增，

所以，即，故错误；

D. 因为，且 ， 在 上递减，

所以 ，即，故错误；

故选：A

6．（多选题）下列说法正确的是（    ）

A．，且 B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】

根据三角函数恒等变换进行化简及求值，一一判断命题是否正确即可.

【详解】

当时，，所以，故A错误；

当时，，故B正确；

因为，且，所以C正确；

因为，所以，则，且，所以

，故D正确．

故选：BCD

7．（多选题）定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】

若设不等式的对应方程两个根为、，则不等式对应方程两个根为：、，然后利用根与系数的关系可得，，，，从而可得，进而可求得的值

【详解】

因为不等式与不等式为对偶不等式，

所以设不等式的对应方程两个根为、，

则不等式对应方程两个根为：、，

所以，，，，

故即：.

因为，，所以，，

所以，.

故答案为：AD.

8．（多选题）在平面直角坐标系中，为单位圆与轴正半轴的交点，角的终边与单位圆相交于点，将点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点，，，以下命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】AC

【分析】

由三角函数定义判断A，结合角的变换及两角差的余弦可求B，根据可判断C,利用三角函数定义及两角和的正切公式判断D.

【详解】

根据三角函数定义可知，故A正确；

由三角函数定义可得，由知在第二象限，故，所以，故B错误；

若，则，则，

所以，故C正确；

，故D错误.

故选：AC

【点睛】

关键点点睛：根据三角函数的定义及两角和差的三角函数公式求解，是解题的关键，属于中档题.

9．已知的终边经过点，则___________，___________.

【答案】       

【分析】

利用三角函数的定义、同角三角函数的基本关系以及诱导公式即可求解.

【详解】

的终边经过点，

则，

所以，

.

故答案为：；

【点睛】

本题考查了三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、诱导公式，需熟记公式，属于基础题.

10．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________；cos21°＋cos22°＋…＋cos290°＝________．

【答案】       

【分析】

利用①，②这两个三角函数的性质即可求解.

【详解】

；

．

故答案为：，.

提升练

1．，化简： （    ）

A． B．

C． D．随k的变化而变化

【答案】B

【分析】

根据给定条件按k是奇数和偶数分类，借助诱导公式化简计算即得.

【详解】

因，则当k是奇数时，，

当k是偶数时，，

所以

故选：B

2．设圆的半径为，点为圆周上给定一点，如图，放置边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合，点在圆周上）.现将正方形沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

作出示意图，分析可知当点首次回到点的位置时，正方形滚动了圈，共次，计算出点每次滚动时点所走过的路程，即可得解.

【详解】

由图可知，圆的半径为，正方形的边长为，

以正方形的边为弦所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，

当点首次回到点的位置时，正方形滚动了圈，共次，

设第次滚动时，点的路程为，则，，

，，

因此，点所走过的路程为.

故选：B.

3．魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则的值为（    ）

A． B． C．8 D．﹣8

【答案】B

【分析】

将π＝4sin52°代入中，结合三角恒等变换化简可得结果．

【详解】

将π＝4sin52°代入中，

得.

故选：B

4．如图，正五边形的边长为2，甲同学在中用余弦定理解得，乙同学在中解得，据此可得的值所在区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

由题知，化简整理得，进而构造函数，利用导数结合函数零点的存在性定理研究函数零点即可得答案.

【详解】

解：由题意有，即，

整理得：，

构造函数，

故在上恒成立，

所以函数在内为增函数

因为，，

所以函数有唯一零点在区间上，

即方程的解在区间上，

所以的值所在区间为，

故选：D．

5．（2021·上海奉贤·一模）复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（    ）个.

A．9 B．10 C．11 D．无数

【答案】C

【分析】

先根据复数的模为1及复数模的运算公式，求得即，接下来分与两种情况进行求解，结合，求出的个数.

【详解】

，其中，所以，即，，当时，①，，所以，，因为，所以或；②，，所以，，因为，所以，，，，或；当时，①，，即，，因为，所以，②，，即，，因为，所以，，，，，综上：，，一共有11个.

故选：C

6．（多选题）已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】

设，则，根据已知条件可得出关于的二次方程，解出的值，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得的值.

【详解】

，则，

由题意可得，

设，则，则，

所以，，即，即，

因为，则，解得，

所以，，解得或，

因此，或.

故选：CD.

7．（多选题）定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”．已知，下列角中，可能与角“广义互余”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】

利用诱导公式可得，即可得到，再结合定义及诱导公式一一判断即可；

【详解】

解：∵，∴，．

若，则．对于A，可能成立，角可能与角“广义互余”，故A符合条件；

对于B，，故B不符合条件；

对于C，，即，又，故，即C符合条件；

对于D，，∴，故D符合条件．

故选：ACD．

5．如图，圆心在坐标原点、半径为的半圆上有一动点，、是半圆与轴的两个交点，过作直线垂直于直线，为垂足．设，则下列结论正确的有（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则的最大值为

【答案】AC

【分析】

利用三角形三边关系可判断A选项的正误；取可判断B选项的正误；利用基本不等式可判断C选项正误；利用辅助角公式结合正弦型函数的有界性可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，，，由三角形三边关系可得，

即，A选项正确；

对于B选项，当时，，B选项错误；

对于C选项，，，，

则，，

由基本不等式可得，

当且仅当时，因为，即当时，等号成立，C选项正确；

对于D选项，，，

所以，，

，可得，所以当时，即当时，取最大值为，D选项错误.

故选：AC.

【点睛】

方法点睛：三角函数最值的不同求法：

①利用和的最值直接求；

②把形如的三角函数化为的形式求最值；

③利用和的关系转换成二次函数求最值．

9．如图，是一种由60个碳原子构成的碳原子簇，其结构是以正五边形和正六边形组成的凸32面体，则结构中正六边形个数为______.这60个C原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也被称为足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角()满足式中α，β，γ，δ 分别为杂化轨道中s，p，d，f轨道所占的百分数.已知C60中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无d，f轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为sp2.28，它表示参与杂化的s，p轨道数之比为，由此可计算得C60中两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值为________.

【答案】20       

【分析】

因为s，p轨道数之比为，可得s，p所占比例为：，，又因为α，β，γ，δ 分别为杂化轨道中s，p，d，f轨道所占的百分数，所以可得，，，代入满足的三角函数式中可得余弦值，再由角的取值范围求出其正弦值.

【详解】

设一个中的凸32面体中共有x个五边形，y个六边形，

，故共有20个正六边形，

又因为，，，所以，，

因为，∴．

故答案为：20；.

【点睛】

关键点睛：本题考查了通过研究化学中的，着重考查分析能力和计算能力，解题关键是读懂新定义以及熟练掌握同角三角函数关系.

10．已知关于的方程的两根为和，则___________；此时的值为___________.

【答案】    或   

【分析】

由韦达定理得，，把变形为．由此能求出结果．（2）由韦达定理结合完全平方和公式得到1+m=，由此能求出m，进而解出方程，再利用特殊角的三角函数值即可得解

【详解】

已知关于的方程的两根为和，θ∈(0,2π)，

∴，，

∴

＝

＝．

∵，，

∴，即 1+m＝，

解得 m＝．此时，方程的判别式，

原方程为，即，解得，

于是有或，而，则或，

所以原方程的两根是，θ的值为或.

故答案为：；或.