江苏省南通、苏北部分学校2022届高三下学期第四次调研考试数学试题-

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江苏省南通、苏北部分学校2022届高三下学期第四次调研考试数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则第4个顶点对应的复数为（       ）

A．－1＋2i B．－1＋3i C．3i D．

2．已知M，N均为R的子集，且，则＝（       ）

A． B．M C．N D．R

3．若函数f(x)满足f（2x）＝x，则f（5）＝（       ）

A．25 B．52 C．log52 D．log25

4．已知向量， 满足，，则的最小值为（       ）

A．1 B． C． D．2

5．已知函数的导函数，， ， ，则（       ）

A．  B． C． D．

6．如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为(       )

A． B． C． D．

7．设数列，均为公比不等于1的等比数列，前n项和分别为，若，则＝（       ）

A． B．1 C． D．2

8．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线C相交于A，B两点，则4|AF|＋9|BF|的最小值为（       ）

A．26 B．25 C．20 D．18

9．某物理量的测量结果服从正态分布，则（       ）

A．该正态分布对应的正态密度曲线关于直线对称

B．越大，该正态分布对应的正态密度曲线越尖陡

C．越小，在一次测量中，的取值落在内的概率越大

D．在一次测量中，的取值落在与落在的概率相等

10．若函数同时具有性质：①对于任意的，，②为偶函数，则函数可能为（       ）

A．  B． C． D．

11．已知函数在区间上可能（       ）

A．单调递增 B．有零点 C．有最小值 D．有极大值

12．已知三棱锥D－ABC的外接球的表面积为24π，直角三角形ABC的斜边，CD⊥BC，则（       ）

A．BC⊥平面ACD

B．点D的轨迹的长度为2π

C．线段CD长的取值范围为（0，2]

D．三棱锥D－ABC体积的最大值为

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为________.

14．若＝3，则＝________．

15．若关于x的不等式有且只有2个正整数解，则实数a的取值范围为________．

16．在的展开式中，所有项系数之和为________；展开式中系数最大项的系数为________．

17．已知数列的前项和为，，．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

18．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，．

(1)求cosB；

(2)若b＝3，a＞c，△ABC的面积为，求a．

19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，M，N分别是AB和CD的中点，P是BM的中点．将矩形AMND沿MN折起，形成多面体AMB－DNC．

(1)证明：BD平面ANP；

(2)若二面角A－MN－B大小为120°，求直线AP与平面ABCD所成角的正弦值．

20．某次知识竞赛共有两道不定项选择题，每小题有4个选项，并有多个选项符合题目要求．评分标准如下：全部选对得10分，部分选对得4分，有选错得0分．由于准备不充分，小明在竞赛中只能随机选择，且每种选法是等可能的（包括一个也不选）．

(1)已知两题都设置了3个正确选项，求小明这两题合计得分为14分的概率；

(2)已知其中一题设置了2个正确选项，另一题设置了3个正确选项．小明准备从以下两个方案中选择一种进行答题．为使得得分的期望最大，小明应选择哪一种方案？并说明理由．

方案一：每道题都随机选1个选项；

方案二：每道题都随机选2个选项．

21．已知函数f(x)＝2lnx－x，g(x)＝（a≤1）．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若函数h(x)＝f(x)＋g(x)，讨论h(x)的零点个数．

22．已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．

(1)求C的方程；

(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

由复数的几何意义及向量的坐标运算可求解.

【详解】

复数1＋2i，－2＋i，0所对应的点分别是A（1，2），B（－2，1），O（0，0），

由题意可知，正方形以为邻边，设另一点为D（x，y），

所以

则，解得，

∴.

故选：B．

2．C

【解析】

【分析】

如图，利用文氏图表示集合，判断选项.

【详解】

用图示法表示题意，如下图，

故＝N，

故选:C．

3．D

【解析】

【分析】

由求出后代入可得结论．

【详解】

．∴，∴，

故选：D．

4．D

【解析】

【分析】

利用向量的数量积公式和余弦函数的有界性即可求解.

【详解】

∵，∴，

其中为向量，的夹角，

即，当时，有最小值，

故选:．

5．A

【解析】

【分析】

由题，写出原函数，讨论其奇偶性、单调性，再结合、、的范围即可比较大小

【详解】

，则，为偶函数，且在单调递增，

，，即，，

所以，∴，

故选：A

6．C

【解析】

【分析】

作出轴截面图形，根据几何关系即可求解．

【详解】

如图所示，，，，

则，

∴，即，

而，即，

∴，

∴．

故选：C．

7．C

【解析】

【分析】

根据给定等式，可得，再求出数列，的公比即可计算作答.

【详解】

由得，，设{}的公比为，{}的公比为，

当时，，即，

当时，，即，

联立两式解得，此时，，

则，，所以.

故选：C

8．B

【解析】

【分析】

设,设出直线方程并与抛物线方程联立,再由焦半径公式,可得,再利用基本不等式可求出最小值.

【详解】

由题意,,设,

设直线的方程为,

联立,即,则，

所以，

，

所以，

当且仅当，即时取等号.

所以4|AF|＋9|BF|的最小值为.

故选：B．

9．AC

【解析】

【分析】

利用正态密度曲线的对称性可判断AD选项的正误；利用的大小对正态密度曲线的影响可判断BC选项的正误.

【详解】

对于A选项，该正态分布对应的正态密度曲线关于直线对称，A对；

对于B选项，越大，曲线越平，B错；

对于C选项，越小，曲线越陡，

所以，越小，在一次测量中，的取值落在内的概率越大，C对；

对于D选项，因为，

由正态密度曲线的对称性可得

，D错.

故选：AC.

10．AC

【解析】

【分析】

首先判断B为奇函数，再利用基本不等式判断A、C，利用特殊值判断D；

【详解】

解：对于B：，

故为奇函数，故B错误，A，C，D为偶函数；

对于A，，故A对

对于C，

，故C对

对于D，，时，，故D错，

故选：AC．

11．AD

【解析】

【分析】

由已知条件可得，，然后根据正弦型函数的基本性质逐项判断可得结论.

【详解】

因为且，则，，

所以，函数在上不可能有零点，B错；

当时，即当时，在上单调递增，A对；

函数在上可能有极大值，但无最小值，C错D对.

故选：AD.

12．ACD

【解析】

【分析】

利用线面垂直的判定定理可判断A，利用球的截面性质及条件可得△ACD的外接圆半径，进而判断BC，利用三角形面积公式及锥体体积公式可判断D.

【详解】

因为△ABC以AB为斜边的直角三角形，

∴，又，

∴BC⊥面ACD，故A正确；

设△ACD的外接圆圆心N，半径为r，D－ABC外接球半径为，，

∴，

∴，∴，，

D在优弧上，D轨迹长度，

D在劣弧上，D轨迹长度，故B错误；

所以，故C正确；

由题可知当在的垂直平分线时，的面积最大，，

∴，故D正确．

故选：ACD．

13．.

【解析】

先求圆锥底面圆的半径，再由直角三角形求得圆锥的高，代入公式计算圆锥的体积即可。

【详解】

设圆锥底面半径为r，

则由题意得，解得.

∴底面圆的面积为.

又圆锥的高.

故圆锥的体积.

【点睛】

此题考查圆锥体积的计算，关键是找到底面圆半径和高代入计算即可，属于简单题目。

14．##0.6

【解析】

【分析】

根据诱导公式二倍角公式及同角关系的齐次转化求解即可.

【详解】

故答案为：.

15．

【解析】

【分析】

由题，不等式变形为，用导数法研究的单调性，则不等式有且只有2个正整数解等价于直线：与有两个交点分别在和，即可求出a的取值范围

【详解】

，直线：过定点，

令，故在递增，递减，

，则，，

∴不等式有且只有2个正整数解等价于直线与有两个交点分别在和，故．

故答案为：

16．     1024     120

【解析】

【分析】

利用赋值法计算可得所有项系数之和，确定每个二项式展开式的系数最大项的系数，即可计算作答.

【详解】

依题意，所有项系数和；

展开式系数最大的项为，展开式系数最大的项为，

所以系数最大项的系数为120.

故答案为：1024；120

17．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用即可求解；

（2）利用错位相减法求数列前项和.

(1)

∵①

∴时，②

①－②得，∴，

在①式中令，，，，

∵，∴数列为单调递增数列，∴，∴，，

∴{}为等差数列且首项为2，公差为2，∴，

(2)

，∴①

②

①－②得,

,

,

则.

18．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理得，再利用可得答案；

（1）利用可得由余弦定理得，再由a，c可看作一元二次方程的两不等实根可得答案.

(1)

因为，由正弦定理得

，

因为，

所以，

所以，可得.

(2)

，∵，可得

在△ABC中，由余弦定理得，∴，

，，∴a，c可看作一元二次方程的两不等实根，

∵∴.

19．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）先连接MD交AN于点O，连接OP，再根据线面平行的判定，证明即可；

（2）先说明∠PAB为AP与平面ABCD所成角，然后代入数据求解即可.

(1)

证明：连接MD交AN于点O，连接OP，

∵四边形AMND为矩形

∴O为MD的中点，

又∵P为BM的中点

∴，

∵BD平面ANP，OP平面ANP，

∴BD平面ANP

(2)

∵，，

∴∠AMB即为二面角的平面角，，且MN⊥平面ABM，

∴BC⊥平面ABM，

∵BC平面ABCD，

∴平面ABCD⊥平面ABM

过P作于点Q，∴PQ⊥平面ABCD，

∴∠PAB即为AP与平面ABCD所成角，

，，，

∴，，

∴

∴，

∴．

20．(1)

(2)应选择方案一作答；理由见解析

【解析】

【分析】

（1）合计得14分的情形为一题全部选对，一题部分选对，根据此求解即可；

（2）分别选出两种方案的数学期望，然后选择较大的即可.

(1)

合计得14分的情形为一题全部选对，一题部分选对，

(2)

若选方案一，小明得分X的所有可能取值为0.4，8，

小明对有2个正确选项那题部分选对的概率，选错的概率

小明对有3个正确选项那题部分选对的概率，选错的概率

∴，，

得分X的数学期望为：

若选方案二，小明得分的所有可能取值为0，4，10，14

小明对有2个正确选项那题选错的概率为：，全部选对的概率为

小明对有3个正确选项那题选错的概率为：，部分选对的概率为

∴，

，

∴得分的期望为，

∵，

∴应选择方案一作答．

21．(1)答案见解析

(2)当时，h(x)无零点；当时，h(x)有唯一的零点

【解析】

【分析】

（1）求出，利用或可得答案；

（2）求出，分、、、讨论，利用导数判断单调性和最值可得答案.

(1)

，令，

当时，单调递增；当时，单调递减.

综上所述，当时，单调递增；当时，单调递减.

(2)

，，

①当时，令且当时，单调递增；

当时，单调递减，此时，∴h(x)无零点，

②当时，，令或，

当时，单调递增；当时，单调递减；

当时，单调递增，此时当时，，

当时，单调递增，注意到，

，

∴h(x)在上有唯一的零点.

③当时，，∴h(x)在（0，＋∞）上单调递增，

注意到，，

∴h(x)在（2，6）上有唯一的零点，

④当时，令或，

当时，单调递增；当时，单调递减，

当时，单调递增，

∴当时，

，

当时，单调递增，注意到，，

∴h(x)在上有唯一的零点，

综上：当时，h(x)无零点；当时，h(x)有唯一的零点.

【点睛】

本题求零点问题关键是利用导数判断出在处有最小值并判断的正负，构造函数利用零点存在性定理说明存在零点个数，考查了学生分析问题、解决问题的能力.

22．(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）待定系数法列方程组求得的值，即可得到双曲线C的方程；

（2）设出直线AB的方程并与双曲线C的方程联立，利用设而不求的方法得到M、N的坐标，利用题给条件＋求得直线AB的过定点，再由＝0可得使|QT|为定值的定点T.

(1)

设双曲线C的方程为，

由题意知，

∴双曲线C的方程为

(2)

设直线AB的方程为，A（、），B（，），P（2，－1）

，

则，，

∴直线PA方程为，

令，则，同理N（0，），

由，可得

∴

∴

∴

∴

∴

∴，

当时，，

此时直线AB方程为恒过定点P（2，－1），显然不可能

∴，直线AB方程为恒过定点E（0，－3）

∵，∴，取PE中点T，∴T（1，－2）

∴为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值．

【点睛】

求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．