2022年安徽省六安市霍邱县中考数学一模试卷（含解析）

2022年安徽省六安市霍邱县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 的绝对值等于

A.  B.  C.  D.

2. 年月日月日，第届冬奥会在北京和张家口成功举行，中国冰雪运动参与人数达亿，仅在年的北京，就有万人经过培训成为冬季体育项目指导员，将亿用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算中，正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体可能是

A.
B.
C.
D.

5. 如图，把一副直角三角板如图那样摆放在平行直线，之间，，则：；；；其中正确的个数是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，有张背面完全相同的卡片，正面分别印有年北京冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的图标，现将这张卡片洗匀并正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面是“滑冰”项目的图标的概率是

A.  B.  C.  D.

7. 弹簧伸长的长度与所受拉力的大小成正比，某次实验中，小明记录了同一根弹簧的长度和所挂重物的质量之间的部分对应数据如下表所示，下列说法中正确的是

A. ，都是变量，是的正比例函数
B. 当所挂重物的质量为时，弹簧长度是
C. 物体质量由增加到，弹簧的长度增加了
D. 该弹簧不挂重物时的长度是

8. 若，，则下列式子不一定成立的是

A.  B.  C.  D.

9. 某网店销售运动鞋，若每双盈利元，每天可以销售双，该网店决定适当降价促销，经调查得知，每双运动鞋每降价元，每天可多销售双，若想每天盈利元，并尽可能让利于顾客，赢得市场，则每双运动鞋应降价

A. 元或元 B. 元 C. 元 D. 元或元

10. 如图，是等腰直角三角形，，把一个三角尺的直角顶点与边的中点重合，且两条直角边分别经过点和点将三角尺绕点按顺时针方向旋转任意一个锐角，设在旋转过程中三角尺的两直角边与，分别交于点，有如下结论：线段与的长度之和为定值；与的度数之和为定值；四边形的面积为定值；四边形有外接圆，其中正确的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11. 计算：______．
12. 分解因式：______．
13. 如图，点、、都在圆上，为圆心，，连接并延长，交圆于点，连接，，若，则______
    
     

14. 如图，中，，、分别为，边上一点，将、分别沿、折叠，、的对应点分别为、，点恰好落在上．
    ______；
    若，且，，则的值为______．
     

三、解答题（本大题共9小题，共90分）

15. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
16. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．
    画出关于原点的中心对称图形．
    将绕点逆时针旋转得到，画出，并直接写出点的坐标．

17. 某商场从安全和便利的角度出发，提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式．如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角为，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯相比改造前增加的长度．结果精确到，参考数据：，，

18. 阅读材料：我们知道，一般情况下，式子与是不相等的均为整数，但当，取某些特定整数时，这两个式子的值可以相等，我们把使成立的数对“，”叫做“兄弟数”，记作，例如，当时，是成立的，则数对“，”就是“兄弟数”，记作．
    解答下列问题：
    通过计算，判断数对“，”是否是“兄弟数”；
    求“兄弟数”中的值；
    请写出一对“兄弟数”______；
    对于“兄弟数”，如果为整数，则______用含的代数式表示．
19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
    求一次函数和反比例函数的表达式．
    直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
     

20. 如图，已知为的直径，，是弦．于于连接．
    求证：；
    若，，求的长．
    
     

21. 为了了解某地区初中学生每天课外阅读所用的时间情况，从该地区各初中学校中随机抽取了一部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．

根据以上信息，回答问题：
表中______，______；
请补全频数分布直方图；

若该地区初中学生总数为人，试估计该地区初中学生每天课外阅读时间不超过小时的人数．

22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为，且，抛物线的图象经过，，三点，点是该抛物线的顶点．
    
    求抛物线所对应的函数表达式；
    判断的形状，并求的面积；
    如图，点是该抛物线位于第三象限的部分上的一个动点，过点作于点，的值是否存在最大值？如果存在，请求出的最大值；如果不存在，请说明理由．
23. 如图，在正方形中，为边上一点，交于交延长线于．
     

当为中点时，求证：；
如图，当时，求证：；
在的条件下，连接，求的值．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的绝对值等于，
故选：．
根据绝对值的性质直接计算即可．
本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D符合题意；
故选：．
利用合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：观察几何体的三视图可知，这个几何体可能是．
故选：．
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
 

5.【答案】

【解析】解：如图，过点作，

，
，
，
正确；
，
，
，，
，，
，
，
，
正确；
，
，
正确；
，
，
，
，
错误；
综上，正确的有，
故选：．
由直角板可得，可得，即可判断，过点作，由可得，由平行线的性质可得，可得，再由平行线的性质可得，即可判断，由即可判断，利用可得，即可判断．
本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理．
 

6.【答案】

【解析】解：共张卡片，正面是“滑冰”项目的有张，
从中随机抽取一张，抽出的卡片正面是“滑冰”项目的图标的概率是，
故选：．
利用概率公式求解即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

7.【答案】

【解析】解：上述表格反映了弹簧的长度与所挂物体的质量这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量．
设弹簧长度与所挂物体质量的关系式为，
将，；，代入得：，
解得：，
，
是的一次函数，
故A错误；
当时，，
弹簧长度是，
故B错误；
当时，，
弹簧长度是，
物体重物由增加到时，弹簧长度增加了，
故C错误；
当时，，
当弹簧不挂重物时的长度为，
故D正确．
故选：．
现根据表格中数据求出弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式，再分别判断各选项即可．
本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键在于熟读题意并求出弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式．
 

8.【答案】

【解析】解：当，，，时，，故本选项符合题意；
B.若，，则，故本选项不合题意；
C.若，，则，故本选项不合题意；
D.若，，则，故本选项不合题意；
故选：．
根据不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
此题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

9.【答案】

【解析】解：设每双运动鞋应降价元，则每双盈利元，每天可以销售双，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽可能让利于顾客，
．
故选：．
设每双运动鞋应降价元，则每双盈利元，每天可以销售双，利用每天销售该运动鞋获得的总利润每双的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要尽可能让利于顾客，即可得出每双运动鞋应降价元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：连接，如图所示．
为等腰直角三角形，点为的中点，
，，．
，，
．
在和中，
，
≌，
，
，
则结论正确；
，，，
，
则结论正确；
≌，
，
，
则结论正确；
，
四边形有外接圆，
则结论正确；
故选：．
连接，易证≌，利用全等三角形的性质可得出，进而可得出，结论正确；由三角形内角和定理结合，可得出，结论正确；由≌可得出，结合图形可得出，结论正确；由，结论正确．
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

13.【答案】

【解析】解：，
，，
，
，
为的直径，
，
．
故答案为：．
先根据平行线的性质得到，，再根据圆周角定理得到，，则，然后利用互余计算出的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

14.【答案】 

【解析】解：由折叠性质可得，，
，，
，
故答案为：；
如图，令与交于点，

，为直角三角形，，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
由勾股定理可得：
，
，
，
，
由折叠性质可得，
，
，
，
，
在等腰中，
，
，
由折叠性质可得：
，，
，
在等腰中，
，
，
故答案为：．
由折叠性质可得，，从而可得；
由，可得，也可证得∽，可得，由可得，从而可得，从而可得，即为等腰直角三角形，可得，由勾股定理可得，由可得，从而可得，可证得为等腰三角形，即，可得，从而可得，即可求得，由折叠性质可得，，即可求得，即，即可求解．
本题考查折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是将的度数求出来．
 

15.【答案】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

16.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作，点的坐标分别为．
 

【解析】先利用关于原点对称的点的坐标特征写出、、的对应点、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的旋转画出、的对应点、，从而得到．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

17.【答案】解：在中，，，
，
在中，，，
，
则，
答：改造后的斜坡式自动扶梯相比改造前增加的长度约为．

【解析】根据含角的直角三角形的性质求出，根据正弦的定义求出，根据题意计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：当，时，左边，右边，
左边右边，
数对“，”不是“兄弟数”；
数对“，”是“兄弟数”，
，
解得：；
设是一对“兄弟数”，依题意得：
，
解得：，
故答案为：；
是一对“兄弟数”，
，
为整数，
，
解得：．
故答案为：．
根据“兄弟数”的定义进行求解即可；
结合“兄弟数”的定义进行运算即可；
利用“兄弟数”的特点进行求解即可；
由是一对“兄弟数”，代入相应的式子进行运算即可求得．
此题主要考查了解二元一次方程、解一元一次方程的方法和应用，以及“好数对”的含义和判断，要熟练掌握．
 

19.【答案】解：反比例函数经过点，
，
，
反比例函数的表达式为，
把点的坐标 代入得，，解得，
点的坐标为，
分别把点，点的坐标代入得，
解得，
一次函数的表达式为；
把代入，解得，
点的坐标为，
的面积是，点的纵坐标等于，
，
解得，
点的坐标为或．

【解析】先根据点坐标求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，继而根据点、坐标可得直线解析式；
先根据直线解析式求出点的坐标，根据求出的长，即可得出答案．
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角形的面积问题．
 

20.【答案】证明：为的直径，
，
，
；
解：为的直径，，
，，
，
，
，，
∽，
，
即，
．

【解析】由为的直径，根据圆周角定理得出，由，即可得出；
根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，根据题意得出∽，根据相似三角形性质求解即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意推出∽是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：根据频数分布表可得，
抽取的学生总数为，
，
．
故答案为：；．
由频数分布表可得，
每天课外阅读的时间为的频数为，
补全图形如下：

该地区初中学生总数为人，
该地区初中学生每天课外阅读时间不超过小时的人数约为人．
根据频数分布表中的数据可得出，．
根据频数分布表中的数据可得，每天课外阅读的时间为的频数为，即可补全频数分布直方图．
总人数乘以样本中每天课外阅读时间不超过小时的人数所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、频数分布表的知识和分析解决问题的能力，解题的关键是能够读懂统计图．
 

22.【答案】解：点坐标为，
，
又，
，，
，，
将，两点的坐标代入解析式得，
，
解得，
抛物线的解析式为：；

抛物线的解析式为，
对称轴为直线，
当时，，
点的坐标为，
，
，
，
，
是直角三角形，
；

的值存在最大值，
设直线的解析式为，
代入，点坐标，
得，
解得，
直线的解析式为，
如图，过点作轴的平行线交于点

，
，
轴，
，
设点，则点，
，
，
当时，有最大值为，
有最大值为．

【解析】根据点坐标为，且，得出，点的坐标，用待定系数法求解析式即可；
根据坐标求出三角形各边的长，利用勾股定理判断其为直角三角形，再用三角形面积公式求面积即可；
求出直线的解析式，过点作轴交于，设出点和点坐标，用含的代数式求出的值，根据二次函数性质求最值即可．
本题是二次函数的综合题，主要考查二次函数的性质，一次函数，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式，利用二次函数性质求最值是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形为正方形，，
，
，
又，，
≌，
，
为中点，
，
为中点，
，
，
，
，
即；

证明：，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
由可知，≌，
，
，
；

解：如图，延长、交于点，连接，
，
∽，
，
又，
∽，
，
设，，则，
由可得，
，解得或舍去，
，
，
即．

【解析】先判断出，进而判断出≌，得出，再判断出，再判断出，即可得出结论；
先判断出，再判断出，进而得出∽，得出，即可得出结论；
延长、交于点，连接，判断出∽，得出，进而判断出∽，设，，则，由可得，进而得出，求出，即可求出答案．
此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出是解的关键．