重庆市第一中学校2020-2021学年七年级下学期期末数学试题（试卷）

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2020-2021学年重庆一中七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑．
1. 下列各数中是无理数的是（　　）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．2是正整数，是有理数，不符合题意；
B．是无限不循环小数，是无理数，符合题意；
C．，是正整数，是有理数，不符合题意；
D．是正分数，是有理数，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查无理数，掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键．
2. 下列疫情防控宣传图片中，是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，逐一判断即可．
【详解】解：A不是轴对称图形；
B不是轴对称图形；
C不是轴对称图形；
D是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的加减乘除法则逐一分析即可．
【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能进行合并，故该项错误；
B．，该项错误；
C．，该项正确；
D．，该项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式的加减乘除法则是解题的关键．
4. 下列事件中是必然事件的是（　　）
A. 翻开数学课本，恰好翻到第30页
B. 在一个只装有红球的袋子中摸出白球
C. 三角形任意两边之和大于第三边
D. 在纸上任意画两条直线，这两条直线互相垂直
【答案】C
【解析】
【分析】利用必然事件的定义逐一分析即可．
【详解】解：A．翻开数学课本，恰好翻到第30页是随机事件；
B．在一个只装有红球的袋子中摸出白球是不可能事件；
C．三角形任意两边之和大于第三边是必然事件；
D．在纸上画两条直线，这两条直线互相垂直是随机事件；
故选：C．
【点睛】本题考查必然事件，掌握必然事件的定义是解题的关键．
5. 如图，直线AB∥CD，AD⊥BD，∠ADC＝38°，则∠ABD的度数为（　　）

A. 38° B. 42° C. 52° D. 62°
【答案】C
【解析】
【分析】先根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD＝38°，再利用余角的定义即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，∠ADC＝38°，
∴∠BAD＝38°，
∵AD⊥BD，
∴∠ABD＝52°，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质、余角的定义，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
6. 估计的值在（　　）
A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间
【答案】B
【解析】
【分析】利用平方法可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查实数的估算，掌握平方法估算实数是解题的关键．
7. 若a2﹣ab＝7﹣m，b2﹣ab＝9+m，则a﹣b的值为（　　）
A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4
【答案】D
【解析】
【分析】利用完全平方公式即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式，掌握是解题关键．
8. 按如图所示的运算程序，能使输出结果为1的是（　　）

A. x＝0，y＝1 B. x＝﹣1，y＝0 C. x＝1，y＝0 D. x＝1，y＝1
【答案】D
【解析】
【分析】分别将四个选项中x和y的值代入程序框图，求出结果即可求解．
【详解】解：A．输入x＝0，y＝1，，输出，该项不符合题意；
B．输入x＝﹣1，y＝0，，输出，该项不符合题意；
C．输入x＝1，y＝0，，输出，该项不符合题意；
D．输入x＝1，y＝1，，输出，该项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查代数式求值，理解程序框图的流程是解题的关键．
9. 若等腰三角形的两边a、b满足，则此等腰三角形的周长为（　　）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 12或15
【答案】C
【解析】
【分析】根据非负数的性质求得a，b的值，然后得到三角形的三边长，接下来，利用三角形的三边关系进行验证，最后求得三角形的周长即可．
【详解】解：根据题意得，a-3=0，b-6=0，
解得a=3，b=6，
①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6，
∵3+3=6，
∴不能组成三角形，
②6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、3，
能组成三角形，周长=6+6+3=15，
所以，三角形的周长为15．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是非负数的性质、等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．
10. 如图，AB＝AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，∠BAD＝140°，则∠ACB的度数为（　　）

A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】连接，过作于，依据，，即可得出，利用直角三角形的性质求出∠ACF的度数，再根据△EAC≌△BAC的判定和性质求出∠ACB的度数.
详解】解：如图，连接，过作于，

点关于的对称点恰好落在上，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
中，，
∵AE=AB,∠EAC=∠BAC，AC=AC，
∴△EAC≌△BAC，
∴∠ACE=∠ACB，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
11. 周六早晨，文文从家出发，匀速步行去公园，此时爸爸在公园晨练结束，准备匀速跑步前往与家方向相反的菜市场．他们以各自速度同时出发，爸爸到达菜市场，用了15分钟买菜，然后以原速的速度原路匀速散步回家，文文到达公园，没有遇见爸爸，立即提速匀速跑步回家．爸爸和文文相距的路程y（米）与他们出发的时间x（分钟）之间的关系图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　）

A. 公园到菜市场的距离是1400米
B. 文文提速后的速度是180米/分
C. 文文到家时，爸爸离家的距离是4000米
D. 文文出发分钟，与爸爸相距1500米
【答案】D
【解析】
【分析】设文文和爸爸开始的速度分别为，分析出每段函数图象所代表的的含义，判断各选项即可．
【详解】解：设文文和爸爸开始速度分别为
结合题意，分析函数图像可以得到：
0-10分钟，文文从家去公园，爸爸从公园去菜市场，到达菜市场花费时间为10分钟，则公园到菜市场的距离为
10-25分钟，文文继续在去往公园的路上，爸爸在菜市场买菜
25-30分钟，文文继续在去往公园的路上，30分钟时刻到达公园，爸爸从菜市场往家走，速度为，爸爸走了。则家到公园的路程为，此时文文与爸爸的距离为1400米。
由此可以得到，解得
菜市场到公园的距离为，A选项错误，不符合题意；
爸爸返回的速度为，
第分钟，爸爸到达家里，爸爸从菜市场到家的时间为
则菜市场到家的距离为，公园到家的距离为
文文速度为，提速后的速度为，B选项错误，不符合题意；
文文从公园到家花费的时间为，
则文文到家时，与爸爸的距离为 ，C选项错误，不符合题意；
文文出发分钟，，此时文文已经在返回家的途中，文文与爸爸的距离为，D选项正确，符合题意；
故答案为D．
【点睛】此题考查了函数图象的识别，能够弄清楚每段函数代表的含义是解题的关键．
12. 如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别在线段AB、AC上，AD＝AE，BE和CD交于点N，AF⊥BE交BC于点F，FG⊥CD交AC于点M，交BE的延长线于点G．下列说法：①∠ABE＝∠FAC；②GE＝GM；③BG＝AF+FG；④C△AFM＝BE+CM；⑤S△BDN﹕S△AFC＝CE﹕AC．其中正确的个数是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用等角的余角可得∠ABE=∠FAC，可判断①正确；由等腰Rt△ABC，可得AB=AC，可证△AEB≌△ADC（SAS）可得∠AEB=∠ADC，利用等角的余角∠ADC=∠FMC=∠AEB，根据对顶角可得∠GEM=∠AEB，∠GME=∠FMC，可得∠GEM=∠GME可判断②GE＝ME正确；过C作CH∥AB，交AF延长线于H，可得∠ACH=∠BAE，先证△ABE≌△CAH（ASA），再证△FMC≌△FHC（AAS），可判断③BG＝AF+FG正确；利用等量代换C△AFM= BE+AM≠BE+CM，可判断④C△AFM＝BE+CM不正确；由AB=AC，AD=AE，可得BD=CE，由△AEB≌△ADC（SAS），可得∠DBN=∠ECN，先证△DNB≌△ENC（AAS），可得ND=NE，S△BDN=S△NEC，，连结AN，过N作NQ⊥AE于Q，FR⊥CM于R，再证△AND≌△ANE（SSS），三证△ANE≌△CFM（ASA），可得全等三角形对应高NQ=FR，可判断⑤S△BDN﹕S△AFC＝CE﹕AC正确．
【详解】解：∵∠BAC＝90°，AF⊥BE，
∴∠BAF+∠FAC=90°，∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠ABE=∠FAC，
故①∠ABE＝∠FAC正确；
∵等腰Rt△ABC，
∴AB=AC，
在△AEB和△ADC中，

∴△AEB≌△ADC（SAS）
∴∠AEB=∠ADC，
∵FG⊥CD，
∴∠FMC+∠MCD=90°
∵∠DAC=90°，
∴∠ADC+∠MCD=90°
∴∠ADC=∠FMC=∠AEB
∵∠GEM=∠AEB，∠GME=∠FMC，
∴∠GEM=∠GME，
∴GE=GM，
故②GE＝GM正确；
过C作CH∥AB，交AF延长线于H，
∴∠BAC+∠ACH=180°，
∴∠ACH=180°-∠BAC=90°=∠BAE，
∵∠ABE=∠FAC，
在△ABE和△CAH中，
，
∴△ABE≌△CAH（ASA），
∴BE=AH，∠AEB=∠H=∠GEM=∠GME=∠FMC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠HCF=∠ABC=∠MCF=45°，
在△FMC和△FHC中，
，
∴△FMC≌△FHC（AAS），
∴FM=FH，MC=HC，
∴BG=BE+EG=AH+GM=AF+FM+MG=AF+FG，
故③BG＝AF+FG正确；
C△AFM=AF+FM+AM=AF+FH+AM=BE+AM≠BE+CM，
故④C△AFM＝BE+CM不正确；
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∵△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠ABE=∠ACD即∠DBN=∠ECN，
在△DNB和△ENC中
，
∴△DNB≌△ENC（AAS），
∴ND=NE，S△BDN=S△NEC，，
连结AN，过N作NQ⊥AE于Q，FR⊥CM于R，
在△AND和△ANE中，
，
∴△AND≌△ANE（SSS），
∴∠DAN=∠FAN=45°，
∴∠NAE=∠FCM=45°，
在△ANE和△CFM中，
，
∴△ANE≌△CFM（ASA），
∴NQ=FR，（对应高相等）
S△CNE=，S△AFC=，
∴S△BDN﹕S△AFC= S△CNE：S△AFC＝：=CE﹕AC，
故⑤S△BDN﹕S△AFC＝CE﹕AC正确；
∴正确的个数有4个，分别为①②③⑤．
故选择D．

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形面积等高，掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形面积等高是解题关键．
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 81的算术平方根为__________．
【答案】9；
【解析】
【分析】由算术平方根的定义，即可得到答案．
【详解】解：81的算术平方根为9；
故答案为：9．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是掌握定义进行解题．
14. 某航空公司的行李托运收费y（元）与行李重量x（kg）的关系列表如下：
x
1
2
3
4
5
..．
y
12.5
14
15.5
17
18.5
..．
则y关于x的关系式为 ___．
【答案】
【解析】
【分析】设，将，和，代入得到k和b的二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：观察表格中的数据可知x增加1，y增加1.5，呈一次函数关系，
设，将，和，代入可得：
，解得，
∴y关于x的关系式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
15. 如图是由若干个全等的正方形拼成的纸板，在一定距离向纸板投掷飞镖（每次飞镖均落在纸板上），飞镖落在阴影部分的概率是 ___．

【答案】
【解析】
【分析】阴影部分可以拼成3个小正方形，利用概率公式即可求解．
【详解】解：阴影部分可以拼成3个小正方形，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查求概率—几何概型，掌握概率公式是解题的关键．
16. 若，则代数式化简的结果是 ___．
【答案】2
【解析】
【分析】利用二次根式和绝对值的性质进行化简即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次根式和绝对值的化简，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．
17. 如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，△ABC的周长为16cm，△ABD的周长为12cm，则BE的长为 ___cm．

【答案】2
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，BE=EC，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵△ABC的周长为16cm，
∴AB+AC+BC=16cm，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，BE=EC，
∵△ABD的周长为12cm，
∴AB+BD+DA=AB+CD+DA=AB+AC=12cm，
∴BC=4cm，
∴BE=2cm，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18. 已知，则m4+2m3﹣145m2的值为 ___．
【答案】0
【解析】
【分析】先将m进行分母有理化，再将式子进行整理，代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴


，
故答案为：0．
【点睛】本题考查代数式求值，掌握分母有理化的方法是解题的关键．
19. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，D是边BC上一点，连接AD．将△ABD沿直线AD翻折后，点B恰好在边AC上B'点，使得AB'：B'C＝4：3，则点D到AC的距离是 ___．

【答案】
【解析】
【分析】作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，利用图形翻折前后图形不发生变化，从而得出AB=AB′=8，DM=DN，再利用三角形面积分割前后不发生变化，求出点D到AC的距离即可．
【详解】解：如图，作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，，

又∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，
∴AB=AB′=8，DM=DN，
又 AB′：B′C=4：3，
∴B′C=6，
∴AC=14，
S△BAC=S△BAD+S△DAC，
=×8×14=×MD×8+×14×DN，
∴ND=，
所以点D到AC的距离是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，结合面积不变得出等式是解决问题的关键．
20. 为宣传推介重庆奉节县绿色食品，助力奉节脱贫攻坚，为期两天—“诗城奉节—重庆食品节”在重庆某会展中心举办，其中鸡蛋、腊肉、脐橙深受市民的喜爱，已知鸡蛋的售价为每件60元，利润率为20%，腊肉的进价为每件25元，利润率为20%，脐橙的售价为每件90元．第一天商家卖出鸡蛋、腊肉、脐橙的数量之比为4﹕1：3．第二天鸡蛋卖出的数量为第二天卖出三种产品总数量的，腊肉两天卖出的总数量达到两天所有卖出产品总量的，鸡蛋两天卖出的总数量刚好等于脐橙两天卖出总数量的，活动结束时，两天所有商品的总利润率为20%，则每件脐橙的进价为 ___元．
【答案】75
【解析】
【分析】根据题意求出鸡蛋和腊肉的售价和进价，设第一天商家卖出鸡蛋数量为8a，腊肉的数量为2a，脐橙的数量为6a，第二天卖出三种产品的总数量为9b，根据题意求出a和b的等式，得到a和b的等量关系，根据利润率列出方程，即可求解．
【详解】解：根据题意可得鸡蛋的售价为60元，进价为元；
腊肉的售价为元，进价为25元；
设第一天商家卖出鸡蛋数量为8a，腊肉的数量为2a，脐橙的数量为6a，
第二天卖出三种产品的总数量为9b，
则第二天卖出鸡蛋为b，
腊肉第二天卖出的数量为，
∴第二天脐橙卖出的数量为，
∵鸡蛋两天卖出的总数量刚好等于脐橙两天卖出总数量的，
∴，
解得，
∴第二天商家卖出鸡蛋数量为a，腊肉的数量为3a，脐橙的数量为5a，
∴设脐橙的进价为x元，根据题意可得：
，
解得，
故答案为：75．
【点睛】本题考查经济利润问题，理清题目中的数量关系是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7个小题，其中21题10分，22题8分，23-27题各10分，共68分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
21. （1）．
（2）．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】（1）分别利用立方根的定义、零指数幂、负整数指数幂计算各项，即可求解；
（2）先将二次根式化为最简二次根式，再利用二次根式的乘除法法则计算即可．
【详解】解：（1）

；
（2）


．
【点睛】本题考查实数的运算、二次根式的混合运算，掌握实数和二次根式的运算法则是解题的关键．
22. 作图题（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．已知：∠α，∠β，线段c（如图所示）．求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝2c．

【答案】作图见解析
【解析】
【分析】先画一条线段，截取AB＝2c，再利用尺规作图－作一个角等于已知角即可画出图形．
【详解】解：作图如下：
．
【点睛】本题考查尺规作图，掌握利用尺规作图——作一个角等于已知角的方法是解题的关键．
23. 先化简，再求值：，其中5m+2n＝7．
【答案】，14
【解析】
【分析】先利用整式的乘法去小括号，再将括号内合并同类项，最后利用整式的除法得到化简结果，根据整体法求出结果．
【详解】解：


，
当5m+2n＝7时，原式．
【点睛】本题考查整式的化简求值，掌握整式的运算法则和整体思想是解题的关键．
24. 为庆祝中国共产党成立100周年，重庆某中学创作推出小型文献专题片和专题节目，包括绘画、书法、音乐、舞蹈和微电影五个项目．七年级八班某学生对全班同学参与项目的数量做了调查统计，将结果分为A、B、C、D、E五类，其中A类表示“0项”、B类表示“1项”、C类表示“2项”、D类表示“3项”，E类表示“4项及以上”．并制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图（如图所示）．请你根据统计图中的信息，解答下列问题：

（1）直接写出a的值；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中D类扇形所占圆心角的度数；
（3）从该班参加项目的同学中随机抽取1人，参加校学生会组织的党史知识比赛，求恰好抽中参加“4项及以上”的同学的概率．
【答案】（1）32；（2）补全条形统计图见解析，72°；（3）
【解析】
【分析】（1）根据两个统计图可知C类有8人，占16%，即可求出总人数，进而可求a的值；
（2）先作差求出B类的人数，补全条形统计图，再根据D类所占比例求出其对应的圆心角度数；
（3）利用概率公式即可求解．
【详解】解：（1）调查的总人数为，
∴，即a的值为32；
（2）B类的人数为，
∴补全条形统计图如下：
，
D类扇形所占圆心角的度数为；
（3）恰好抽中参加“4项及以上”的同学的概率为．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图综合，从统计图中获取相关信息是解题的关键．
25. 如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，点F在AB边上，延长CF交AD于点E，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE．


（1）求证：AD＝CE；
（2）若∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，求∠EAC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明≌即可得证；
（2）根据三角形外角的性质可得，利用全等三角形的性质即可得到，根据等边对等角得到，利用角的和差即可求解．
【详解】解：（1）∵∠ABC＝∠DBE，
∴，
即，
在和中，
，
∴≌，
∴AD＝CE；
（2）∵∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，
∴，
∵≌，
∴
∵BA＝BC，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，等腰三角形的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键．
26. 甲、乙两人同时开始共同组装一批零件，工作两小时后，乙因事离开，停止工作．一段时间后，乙重新回到岗位并提高了工作效率．最后40分钟，甲休息，由乙独自完成剩余零件的组装．甲在工作过程中工作效率保持不变，乙在每个工作阶段的工作效率保持不变．甲、乙两人组装零件的总数y（个）与工作时间x（小时）之间的图象如下：

（1）这批零件一共有多少个？
（2）在整个组装过程中，当甲、乙各自组装的零件总数相差40个时，求x的值．
【答案】（1）1400个；（2）当甲、乙各自组装的零件总数相差40个时， x的值为或．
【解析】
【分析】（1）先求出甲单独工作效率90个/小时，再求出乙单独工作效率120个/小时，求出乙最后40分钟加工80个，可求这批零件一共有：1320+80=1400个；
（2）分段考虑，利用一元一次方程，当时，120 x -90 x =40，当时，90x-240=40，当时90 x -120(x -3)=40，当时90（x -）-120(x -3)=40，解方程即可．
【详解】解：（1）甲单独工作效率为：（690-420）÷（5-2）=90个/小时
甲乙合作一小时工作效率为420÷2=210个/小时
∴乙单独工作效率为210-90=120个/小时
乙最后40分钟加工120×40÷60=80个，
∴这批零件一共有：1320+80=1400个；
（2）1320对应的时间为，
当时，120 x -90 x =40
解得小时
当时
90x-240=40
解得
当时
90 x -120(x -3)=40
解得：舍去
当时
90（x -）-120(x -3)=40
解得舍去
当甲、乙各自组装的零件总数相差40个时， x的值为或．
【点睛】本题考查图像信息，仔细观察图像，抓住有用信息，利用工作量÷工作时间=工作效率，抓住甲、乙各自组装的零件总数相差40个利用时间分段思想构建方程是解题关键．
27. 若一个三位正整数满足十位数字大于百位数字，且个位数字等于十位数字与百位数字之和，则称这个数为“和衷共济数”．对于一个“和衷共济数”m，交换其百位和十位得到m'，规定．例如：123：∵2＞1，3＝2+1，∴123是一个和衷共济数，=5
（1）判断258、369是否为“和衷共济数”？并说明理由；
（2）若F（m）的值为完全平方数，求出所有满足条件的“和衷共济数”m的值；
（3）若p、q都是“和衷共济数”，其中p＝100x+10y+7，q＝100+10a+b，F（p）+F（q）＝20（1≤x≤3，2≤y≤6，2≤a≤8，3≤b≤9，且x，y，a，b均为整数），求的值．
【答案】（1）258不是“和衷共济数”， 369是“和衷共济数”；（2）m的值为167或279；（3）或
【解析】
【分析】（1）根据“和衷共济数”的定义判断即可；
（2）设，且，，根据题意可得，根据F（m）的值为完全平方数，可得，即可求解；
（3）根据“和衷共济数”的定义可得,，所以，整理得到，根据x、y、a、b的范围即可确定相应数值，即可求解．
【详解】解：（1）对于258，∵，，
∴258不是“和衷共济数”；
对于369，∵，，
∴369是“和衷共济数”；
（2）设，且，，
则，
∴，
∵F（m）的值为完全平方数，
∴，
∴满足条件的值为：或，
∴所有满足条件的“和衷共济数”m的值为167或279；
（3）∵p＝100x+10y+7，q＝100+10a+b，p、q都是“和衷共济数”，
∴,，
∴，，
，，
根据题意可得，
∴，
∵1≤x≤3，2≤y≤6，2≤a≤8，3≤b≤9，且x，y，a，b均为整数，
∴满足条件的值为或，
∴当时，，，此时；
当时，，，此时；
【点睛】本题考查新定义运算，掌握数的表示方法和数的化简是解题的关键．
四、解答题：（本大题共1个小题，共10分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
28. 在△ABC中，AB＝AC，E是BC中点，G、H分别为射线BA、AC上一点，且满足∠GEH+∠BAC＝180°．


（1）如图1，若∠B＝45°，且G、H分别在线段BA、AC上，CH＝2，求线段AG的长度；
（2）如图2，连接AE并延长至点D，使DE＝AE，过点E作EF⊥BD于点F，当点G在线段BA的延长线上，点H在AC延长线上时，求证：2BF+CH＝BG；
（3）如图3，在（2）的条件下，将∠GEH绕点E旋转一定的角度，点H与点A重合时，取线段EF中点M，点N为GE上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90°得到线段MN'，连接FN'．若∠ABC＝30°，BE，EFBE，当线段FN'的长度最小时，请直接写出△FN'C的面积．
【答案】（1）AG=2；（2）证明见详解；（3）S△FN'C=．
【解析】
【分析】（1）连结AE，由∠B＝45°，AB＝AC，可得∠B=∠C=45°，∠BAC=90°，由满足∠GEH+∠BAC＝180°可求∠GEH=90°由点E为BC中点，可得AE=CE=BE，AE⊥BC，AE平分∠CAB，可证△CEH≌△AEG（ASA），可得CH=AG即可；
（2）延长FE交AC于T，过E作ES⊥AB与S，先证△AEC≌△DEB（SAS），可得AC=DB=AB ，∠DBE=∠ACE，可证AC∥BD，由EAD中点，等腰三角形性质可得∠FBE=∠SBE，再证△ESB≌△EFB（AAS），可得BS=BF，ES=EF，证明△ETC≌△EFB（AAS），可得TC=BF，ET=EF=ES，最后证△HET≌△GES（ASA），可得TH=SG即可；
（3）过C作CU⊥BD交BD延长线于U，过N′作NV⊥EF交射线EF于V，由∠ABC＝30°，AB=AC，可得∠ACB=∠ABC=30°，可求∠BAC=120°，∠EAB=∠CAE=60°，可证△EAG为等边三角形与△ABD为等边三角形，可求∠EBD=∠ABD-∠ABC=30°，在Rt△BEF中，∠FBE=30°，BE，可求EF=，在Rt△BCU中，∠CBU =30°，BC，可求CU=，由M为EF中点，可求EM=MF=，可证RT△NEM≌Rt△N′VM（AAS），可得EM=VN′=，由FN′≥VN′=，当FN′=最短此时点N′在BD上，可求S△FN'C=．
【详解】解：（1）连结AE，
∵∠B＝45°，AB＝AC，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠BAC=180-∠B-∠C=90°，
∵满足∠GEH+∠BAC＝180°，
∴∠GEH=90°，
∵点E为BC中点，
∴AE=CE=BE，AE⊥BC，AE平分∠CAB，
∴∠GAE=∠EAC=45°=∠C，
∵∠GEA+∠AEH=90°，∠HEC+∠AEH=90°，
∴∠GEA=∠HEC，
△CEH和△AEG中，
，
∴△CEH≌△AEG（ASA），
∴CH=AG，
∵CH＝2，
∴AG=2；

（2）延长FE交AC于T，过E作ES⊥AB与S，
在△AEC和△DEB中，
，
∴△AEC≌△DEB（SAS），
∴AC=DB=AB ，∠DBE=∠ACE，
∴AC∥BD，
∵E为AD中点，
∴BE平分∠ABD，
∴∠FBE=∠SBE，
∵EF⊥BD，ES⊥BA，
∴∠EFB=∠ESB=90°，
在△ESB和△EFB中，
，
∴△ESB≌△EFB（AAS），
∴BS=BF，ES=EF，
∵EF⊥BD，AC∥BD，
∴ET⊥AC，
∴∠ETC=∠EFB=90°，
在△ETC和△EFB中，
，
∴△ETC≌△EFB（AAS），
∴TC=BF，ET=EF=ES，
∴∠TES+∠CAB=360°-∠ETA-∠ESA=180°，
∴∠TES=∠HEG，
∴∠SEG=∠SET+∠TEG=∠GEH+∠TEG=∠THE，
在△HET和△GES中，
，
∴△HET≌△GES（ASA），
∴TH=SG，
∴BG=BS+SG=BF+TH=BF+TC+CH=BF+BF+CH=2BF+CH;

（3）过C作CU⊥BD交BD延长线于U，过N′作NV⊥EF交射线EF于V，
∵∠ABC＝30°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=30°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-30°-30°=120°，
∵E为BC中点，AE⊥BC，AE平分∠BAC，
∴∠EAB=∠CAE=60°，
∴∠AEG=180°-∠BAC=180°-120°=60°，
∴△EAG为等边三角形，
∵BD=AC=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠EBD=∠ABD-∠ABC=30°，
∵BE，
∴BC=2BE=，
∴在Rt△BEF中，∠FBE=30°，BE，
∴EF=，
∴在Rt△BCU中，∠CBU =30°，BC，
∴CU=，
∵M为EF中点，
∴EM=MF=，
∵△AGE为等边三角形，∠EGA=60°，△ABD为等边三角形，∠ABD=60°，
∴∠EGA=∠ABD =60°，
∴EG∥BD，
∴EF⊥EG，
∵NM⊥N′M，
∴∠EMN+∠VMN′=90°，∠VMN′+∠VN′M=90°，
∴∠EMN=∠VN′M，
在RT△NEM和Rt△N′VM中，
，
∴RT△NEM≌Rt△N′VM（AAS），
∴EM=VN′=，
∵FN′≥VN′=，
∴当FN′=最短此时点N′在BD上，
S△FN'C=．

【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，等边三角形判定与性质，30°直角三角形性质，三角形面积，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，等边三角形判定与性质，30°直角三角形性质，三角形面积是解题关键