人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用精品习题

2.2.4均值不等式及其应用人教  B版（2019）高中数学必修第一册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图在北京召开的第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是(    )

A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立
D. 对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立
 

3. 如图，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则由可得(    )

A.  B.
C.  D.

4. 已知，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，若不等式恒成立，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是(    )

A.   大于 B. 大于等于 C. 小于 D. 小于等于

7. 已知实数，，，则取得最小值时(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，，且，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 已知，，且，则(    )

A.  B.
C.  D.

10. 若正实数，满足，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 设，，且，则(    )

A. 有最小值 B. 有最大值
C. 有最大值 D. 有最大值

12. 已知，，且，则错误的有(    )

A. 的取值范围是 B. 的取值范围是
C. 的最小值是 D. 的最小值是

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知，，，则的最大值为___
14. 设正数，满足，则的最大值是____
15. 已知，，，则的最大值为________．
16. 如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目即图中阴影部分，这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，设广告牌的高为则当广告牌的面积最小时，的值为________．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17. 年推出一种新型家用轿车，购买时费用为万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加万元．

设该辆轿车使用年的总费用包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费为，求的表达式；

这种汽车使用多少年报废最合算即该车使用多少年，年平均费用最少

18. 已知正实数，满足．
    求的最小值
    证明：．
19. 新余到吉安相距千米，汽车从新余匀速行驶到吉安，速度不超过，已知汽车每小时的运输成本单位：元由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度的平方成正比，比例系数为，固定部分为元，

把全程运输成本元表示为速度的函数；并求出当，时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；

随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当，，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小．

20. 已知，，，求的最小值；

已知，，为任意实数，求证：．

21. 已知为正实数．
    Ⅰ若，求的最小值；
    Ⅱ若，求证：
22. 若正数，满足，求的最小值；

若正数，满足，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式，不等式恒成立问题，考查了计算能力，属于中档题．
不等式可化为，再利用基本不等式进行求解即可．

【解答】

解：不等式可化为，
，，
，当且仅当时取等号，
不等式对一切恒成立，
，
解得，
故选A．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式及其应用，考查数形结合思想以及推理能力，属于基础题．
观察图形，设直角三角形的长直角边为，短直角边为，由个三角形的面积和与大正方形的面积的大小关系，得到并判明何时取等即可．

【解答】

解：通过观察，可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的，
设直角三角形的长直角边为，短直角边为，
如图整个大正方形的面积大于等于个小三角形的面积和即，
即．
当时中间空白的正方形消失，即整个大正方形与个小三角形重合，其他选项通过该图无法证明，
故选C．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了基本不等式的无字证明，属于中档题．
根据图形知，由勾股定理求，由垂线段最短知，由此选出答案．

【解答】

解：易求：，
，

在中，，
显然，则
故选B．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力．
变形，利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】

解：，
，．
又，
则
，
当且仅当，即，时取等号．
的最小值是．
故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式求最值，属于中档题．
由已知，，不等式恒成立，转化成新函数的最小值问题，然后利用基本不等式求解即可．

【解答】

解：由已知，，不等式恒成立，所以
恒成立，转化成求的最小值，
，
当且仅当 即时等号成立，
所以的最小值，
所以．
故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了基本不等式的应用，要利用物理知识来求解，所以学生平时在学习时要各科融汇贯通．
在此题中天平的臂长不等，这是此题的关键，属于中档题．
设天平左臂长为，右臂长为不妨设，先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为，根据，，求出和的值，化简，并利用，可得．
【解答】
解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为不妨设，
先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为．
由杠杆的平衡原理：，解得，，则．
下面比较与的大小：求差比较法
因为，又因为，所以，，即．
这样可知称出的黄金质量大于．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了基本不等式，运用基本不等式求最值，涉及基本不等式取得最值时的条件，属于基础题．
根据实数，，，得到，然后根据展开，结合基本不等式取得最值的条件即可求解．
【解答】
解：由题意，实数，，，
则，
，
当且仅当，即时取等号成立，
又，即，，
故选B．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查基本不等式求最值，属于中档题．
由，从而，由此利用基本不等式能求出的最大值．
【解答】
解：，，，

．
当且仅当，即时，取等号，
的最大值为．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的应用，属于一般题．
直接利用基本不等式的应用求出结果．

【解答】

解：已知，，且，
所以，
当且仅当时，等号成立，故A正确
B.，
当且仅当时等号成立，故B错误；
C.因为，，且，所以，
当且仅当时，等号成立，则，故C正确；
D.由于，，且，，
故，当且仅当时，等号成立，故D正确．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的应用，属于中档题．
用特殊值法判断，利用基本不等式判断即可．

【解答】

解：对于，正实数，满足，且，
不满足，A错误
对于，因为，，且，
所以，当且仅当时，取等号，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于，，均为正实数，
，
当且仅当时，取等号，故C正确；
对于，正实数满足，
，
可见不成立，故D错误．
故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的应用，不等式性质，考查运算化简的能力和变形的能力，属于中档题．
由题可知，由基本不等式可得的最小值，用反证法可得不可能等于，最后根据可求得的取值范围．

【解答】

解：，，，即
，当且仅当时取等号，即，时取等号，故A正确若，由，可得，这与，矛盾，所以不可能等于，B错误．
，，即，当且仅当时取等号，即，时取等号，故D正确．
故选AD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
利用基本不等式一一判断即可．

【解答】

解：因为，，且，
所以 当且仅当时，等号成立，
解得，即，则A错误．
因为，，所以当且仅当时，等号成立，
所以，即，
解得，又，则B错误．
因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
因为，所以，则C错误．
，
当且仅当，即时，等号成立，则D正确．
故答案为：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
由不等式求解即可．
【解答】
解：对原题进行变形，有得到，
令，，于是原题等价于，求的最大值，
利用不等式，，得到，
当且仅当，即时取等号，
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了基本不等式的最值应用，注意等号成立的条件，属于中档题．
方法一：设，；方法二：设，则；方法三：设，则；
利用基本不等式的性质即可求解．
【解答】
解：方法一：设，，则当且仅当时等号成立，所以，
又，所以，因此，即的最大值是．

方法二：设，则，由题意得，
所以，化简得，即，
所以，即的最大值是．

方法三：设，则，即，
当且仅当时，等号成立，
所以，即，所以，即的最大值是．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
由不等式求解即可．
【解答】
解：对原题进行变形，有得到，
令，，于是原题等价于，求的最大值，
利用不等式，，得到，
当且仅当，即时取等号，
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题关键是应用条件的配凑．
依题意广告牌的宽为，则，整理即可求解，分离后利用基本不等式求最值，根据基本不等式成立条件即可求解．
【解答】
解：依题意设广告牌的宽为，则，
所以，且，
所以广告牌的面积，
故
 ，
当且仅当，即时等号成立．
故答案为．  

17.【答案】解：由题意得：每年的维修费构成一等差数列，
年的维修总费用为万元，
所以 万元；
该辆轿车使用年的年平均费用为：
 万元，
当且仅当 时取等号，此时，
答：这种汽车使用年报废最合算． 

【解析】本题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
由已知题中某种汽车购买时费用为万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共万元，维修费用依等差数列逐年递增，根据等差数列前项和公式，即可得到的表达式；
由中使用年该车的总费用，我们可以得到年平均费用表达式，根据基本不等式，我们易计算出平均费用最小时的值，进而得到结论．
 

18.【答案】解：正实数，满足，

，
当且仅当且即，时取得最小值；
证明：，

，
当且仅当时取等号，
，

当且仅当时取等号． 

【解析】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及证明不等式，解题的关键是进行的代换，属于中档题．
由已知可得，，展开后利用基本不等式可求；
由，展开后结合基本不等式可求范围，然后由即可证明．
 

19.【答案】解：

由题意知，汽车从新余匀速到吉安所用时间为，

全程成本为，；

当，时，

当且仅当时取等号．

所以汽车应以的速度行驶，能使得全程运输成本最小．

当，时，，

由双勾函数的单调性可知时，有最小值．

所以汽车应以的速度行驶，才能使得全程运输成本最小．

【解析】本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．

由题意知，汽车从新余匀速到吉安所用时间为，全程成本为，；代入，，利用基本不等式求解；

注意到时，利用基本不等式取不到等号，故转而应用函数的单调性求最值．

20.【答案】解：，，，
则

，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为．

证明：，当且仅当等号成立，
，当且仅当等号成立，
，当且仅当等号成立，
，当且仅当时，等号同时成立，
．

【解析】本题考查最值的求法，注意运用乘法和基本不等式运用，注意等号成立的条件，考查运算能力．
运用乘法，可得展开后运用基本不等式，可得最小值．
本题考查不等式的证明，综合法的应用，考查基本不等式．
利用基本不等式，结合综合法证明即可．
 

21.【答案】解：，．

又，，

，

当且仅当，即时，等号成立．

由得

当，时，取得最小值．

证明：

．

当且仅当时取等号．

．

【解析】本题考查了基本不等式，属于中档题．
将同除，可得，再将化为，然后利用基本不等式求解最小值；
将直接代入到要证明的不等式，然后根据基本不等式即可证明结论．
 

22.【答案】解：因为正数满足，

所以，当且仅当时取等号， 
故的最小值为；
正数满足，
因为，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以，当且仅当时取等号，
故的取值范围为．

【解析】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
利用即可求解．
由题得，再解一元二次不等式即可．