中考数学一轮总复习05《一次方程及方程组》知识讲解+巩固练习（基础版）（含答案）

中考总复习：一次方程及方程组--知识讲解

【考纲要求】

1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程；

2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；

3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、一元一次方程

1.等式性质

（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式.

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式.

2.方程的概念

（1）含有未知数的等式叫做方程.

（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根).

（3）求方程的解的过程，叫做解方程.

3.一元一次方程

（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.

（2）一元一次方程的一般形式:.

（3）解一元一次方程的一般步骤：

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来).

要点诠释：

  解一元一次方程的一般步骤

说明：

（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤；

（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；

（3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解.

考点二、二元一次方程组

1. 二元一次方程组的定义

两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组.

要点诠释：

判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组．

2.二元一次方程组的一般形式

要点诠释：

    a1、a2不同时为0，b1、b2不同时为0，a1、b1不同时为0，a2、b2不同时为0.

3. 二元一次方程组的解法

(1) 代入消元法；

(2) 加减消元法.

要点诠释：

    （1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．

（2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系：

    当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y＝0时，求x的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.

考点三、一次方程（组）的应用

列方程(组)解应用题的一般步骤：

1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系；

2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整；

3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)；

4.解:解所列的方程(组)；

5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)；

6.答:注意单位和语言完整.

要点诠释：

     列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等.

【典型例题】

类型一、一元一次方程及其应用 

1．如果方程是关于x的一元一次方程，则n的值为(    ).

     A.2           B.4          C.3           D.1

【思路点拨】未知数x的指数是1即可.

【答案】B；

【解析】由题意可知2n-7=1，∴n=4.

【总结升华】根据一元一次方程的定义求解.

举一反三：

【变式1】已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=5，则m的值为      .

【答案】由题意可知4×5-3m＝2，∴m=6.

【高清课程名称：一次方程及方程组 高清ID号：404191 关联的位置名称（播放点名称）：例4】

【变式2】若a，b为定值，关于x的一元一次方程无论k为何值时，它的解总是1，求a，b的值．

【答案】a=0,b=11.

2．（2015•顺德区校级三模）一收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的25%，下午收割了剩下麦田的20%，结果还剩下6公顷麦田未收割．这块麦田一共有多少公顷？

【思路点拨】设这块麦田一共有x公顷，根据上午收割了麦田的25%，则剩余x（1﹣25%）公顷，再利用下午收割了剩下麦田的20%，则剩余x（1﹣25%）（1﹣20%）公顷，进而求出即可．

【答案与解析】解：设这块麦田一共有x公顷，

根据题意得出：x（1﹣25%）（1﹣20%）=6，

解得：x=10，

答：这块麦田一共有10公顷．

【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出两次剩余小麦的亩数是解题关键．

举一反三：

【变式】“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（      ）

A．         B．

C．            D．

【答案】成本价提高30%后标价为，打8折后的售价为．

根据题意，列方程得，故选A．

类型二、二元一次方程组及其应用

3．（2015春•宁波期中）解下列方程组．

（1）

（2）．

【思路点拨】代入消元法或加减消元法均可.

【答案与解析】

解：（1），

将②代入①得：2（﹣2y+3）+3y=7，

去括号得：﹣4y+6+3y=7，

解得：y=﹣1，

将y=﹣1代入②得：x=2+3=5，

则方程组的解；

（2），

①×4+②×3得：17m=34，

解得：m=2，

将m=2代入①得：4+3n=13，

解得：n=3，

则方程组的解为．

【总结升华】解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度.

举一反三：

【变式1解方程组　　

【答案】方程②化为，再用加减法解，答案：

【高清课程名称：一次方程及方程组  高清ID号： 404191  关联的位置名称（播放点名称）：例3 】

【变式2】解方程组

【答案】a=9,b=12,c=15.

4．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：），解答下列问题：

（1）写出用含x、y的代数式表示的地面总面积；

（2）已知客厅面积比卫生间面积多212，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺12地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？

【思路点拨】根据题意找出等量关系式，列出方程或方程组解题.

【答案与解析】

（1）地面总面积为：（6x＋2y＋18）2；

（2）由题意，得

解之，得

∴地面总面积为：6x＋2y＋18＝6×4＋2×＋18＝45（2）．

∵铺12地砖的平均费用为80元，

∴铺地砖的总费用为：45×80＝3600（元）． 

【总结升华】注意不要丢掉题中的单位.

举一反三：

【变式】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（    ）

A．73cm    B．74cm  C．75cm   D．76cm

【答案】设桌子高度为acm，木块竖放为bcm，木块横放为ccm.则.故选C.

类型三、一次方程（组）的综合运用

5．某县为鼓励失地农民自主创业，在2012年对60位自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？

【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励：自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励列方程求解．

【答案与解析】

方法一：

      设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x人，

则根据题意列出方程 1000x+(60–x)(1000+2000)=100000，    

解得：x=40，      ∴60-x =60-40=20                   

      答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40人，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.                   

      方法二：

      设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有分别有x，y人，

根据题意列出方程组：                  

       解得：                                  

答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人. 

【总结升华】本题考查理解题意的能力，关键是找到人数和钱数作为等量关系.

举一反三：

【变式】某公园的门票价格如下表所示：

某校七年级甲、乙两班共多人去该公园举行联欢活动，其中甲班多人，乙班不足人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付元．问：甲、乙两班分别有多少人？

【答案】设甲班有x人，乙班有y人，由题意得：

   解得：．

        答：甲班有55人，乙班有48人.

6．在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：

 甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；

 乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；

 丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”；

请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？

【思路点拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解.

【答案与解析】

设高峰时段三环路的车流量为每小时辆，四环路的车流量为每小时辆，根据题意得：

      解得

 答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆.

【总结升华】通过甲、乙、丙三位同学调查结果找到车流量的等量关系式是解题的关键.

中考总复习：一次方程及方程组--巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1. 小明在解关于x、y的二元一次方程组 时得到了正确结果 后来发现“”“ ”处被墨水污损了，请你帮他找出、 处的值分别是(    )

A． = 1， = 1     B． = 2， = 1     C． = 1， = 2     D． = 2， = 2

2．方程组的解是（    ）.

   A.       B.      C.        D.

3．已知方程组的解为，则2a-3b的值为（    ）.

   A.4            B.-4           C.6            D.-6         

4．（2014春•昆山市期末）方程x+2y=5的正整数解有（　　）

A．一组       B．二组      C．三组     D．四组

5．小明买书需用48元，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，设所用的1元纸币为x张，根题意，下列所列方程正确的是(　　)

A．x＋5(12－x)＝48     B．x＋5(x－12)＝48    C．x＋12(x－5)＝48    D．5x＋(12－x)＝48

6．九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有（　　）

 A.17人      B.21人        C.25人   D.37人

二、填空题

7．已知x、y满足方程组则x－y的值为________．

8．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____．

9．（2014春•故城县期末）如图所示，在桌面上放着A、B两个正方形，共遮住了27cm2的面积，若这两个正方形重叠部分的面积为3cm2，且正方形B除重叠部分外的面积是正方形A除重叠部分外的面积的2倍，则正方形A的面积是　     　．

10．已知关于x、y的二元一次方程(a－1)x＋(a＋2)y＋5－2a＝0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是________．

11．已知关于x的方程a(2x－1)＝3x－2无解，则a的值为          ．

12．已知下面两个方程3(x＋2)＝5x …①；4x－3(a－x)＝6x－7(a－x) …②；有相同的解，则a的值为          ．

三、解答题

13．某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为a，从第2排开始，每一排都比前一排增加b个座位。

⑴请你在下表的空格里填写一个适当的代数式：

⑵已知第4排有18个座位，第15排座位数是第5排座位数的2倍，求第21排有多少个座位？

14. （2014春•文登市校级期中）（1）；      （2）．

15．某体育彩票经销商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A，B，C三种不同价格的彩费，进价分别是A种彩票每张1.5元，B种彩票每张2元，C种彩票每张2.5元．

    （1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；

    （2）若销售A型彩票一张获手续费0.2元，B型彩票一张获手续费0.3元，C型彩票一张获手续费0.5元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？

    （3）若经销商准备用45000元同时购进A，B，C三种彩票20扎，请你设计进票方案．

16. 某玩具厂工人的工作时间规定：每月25天，每天8h，待遇：按件订酬，多劳多得，每月另加福利工资100元，按月结算。该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A产品，可得到报酬0.75元，每生产一件B种产品，可得报酬1.40元，下表记录了工人小李的工作情况：

根据上表提供的信息，请回答下列问题：

（1）小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品，分别需要多少分钟？

（2）如果生产各种产品的数目没有限制，那么小李每月的工资数目在什么范围之内？

【答案与解析】

一、选择题
1.【答案】B；

【解析】把   代入

         得   解得

2.【答案】B；

【解析】①＋②，得3x=3，∴x=1.把x=1代入①，得1+3y＝4， ∴y=1.

 3.【答案】C；

【解析】由题意可知，解得，∴2a-3b=6.

4.【答案】B；

【解析】由已知，得x=5﹣2y，

要使x，y都是正整数，

则y=1，2时，

相应x=3，1．

所以有2组，分别，．故选B．

5.【答案】A；

【解析】1元纸币x张，则5元纸币(12－x)张，共值48元，则1·x＋5(12－x)＝48.

6.【答案】C；

【解析】设这两种实验都做对的有x人，（40﹣x）+（31﹣x）+x+4=50，x=25．

故都做对的有25人．故选C．

二、填空题

7．【答案】1；

【解析】  ①－②，得x－y＝1.

8．【答案】k=4；

【解析】由已知得x－1=0，2y+1=0，

∴x=1，y=－，把代入方程2x－ky=4中，2+k=4，∴k=4．

9．【答案】11cm2；

【解析】设正方形A的面积为xcm2，正方形B的面积为ycm2，由题意，得

，

解得：．

故答案为：11cm2．

10．【答案】

【解析】　

解法一：取a＝1，得3y＋3＝0，y＝－1，

取a＝－2，得－3x＋9＝0，x＝3，

∴

解法二：整理，得(x＋y－2)a＝x－2y－5，

∵方程有一个公共解，

∴解得

11．【答案】a＝ ；

【解析】将原方程变形为2ax－a＝3x－2，

即 (2a－3)x＝a－2.由已知该方程无解，所以

解得a＝，所以a＝即为所求．

12．【答案】 ；  

【解析】由方程①可得3x－5x＝－6，所以x＝3.由已知，x＝3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x＝3代入方程②，有4×3－3(a－3)＝6×3－7(a－3)，7(a－3)－3(a－3)＝18－12,

4(a－3)＝6,4a－12＝6,4a＝18，a＝＝.

三、解答题

13.【答案与解析】

（1） 

    （2）依题意得  

     解得  

∴12＋20×2＝52

答：第21排有52个座位.

14.【答案与解析】

解：（1），

①×24，②×12得：

，

④﹣③得：

m=162，

代入①得：n=204，

∴方程组的解为：；

（2）

由②得：y=2x﹣9，

∴=2（2x﹣9），

解得：x=5，

代入y=2x﹣9得：y=1，

∴方程组的解为：．

15.【答案与解析】

设经销商从体彩中心购进A种彩票x张，B种彩票y张，C种彩票z张，

则可分以下三种情况考虑：

（1）只购进A种彩票和B种彩票，依题意可列方程组

解得x<0，所以无解．只购进A种彩票和C种彩票，

依题意可列方程组，

只购进B种彩票和C种彩票，依题可列方程组，

综上所述，若经销商同时购进不同型号的彩票，共有两种方案可行，

即A种彩票5扎，C种彩票15扎或B种彩票与C种彩票各10扎．

（2）若购进A种彩票5扎，C种彩票15扎，销售完后获手续费为0.2×5000＋0.5×15000＝8500（元）；若购进B种彩票与C种彩票各10扎，销售完后获手续费为0.3×10000＋0.5×10000＝8000（元），

∴为使销售完时获得手续费最多，选择的进票方案为A种彩票5扎，C种彩票15扎．

（3）若经销商准备用45000元同时购进A，B，C三种彩票共20扎．

设购进A种彩票x扎，B种彩票y扎，C种彩票z扎，

则

∴1≤x<5，

又∵x为正整数，共有4种进票方案，即A种1扎，B种8扎，C种11扎，或A种2扎，B种6扎，C种12扎，或A种3扎，B种4扎，C种13扎，或A种4扎，B种2扎，C种14扎．

16.【答案与解析】

  （1）设小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要x分钟和y分钟，

据题意，得解之，得

（2）方法一：设小李每月生产A种产品x件，B种产品y件（x、y均为非负整数），

月工资数目为w元，根据题意，

得  即

w最大＝－0.3·0＋940，当x＝800时，w最小＝－0.3·800＋940＝700，

因为生产各种产品的数目没有限制，所以700≤w≤940，即小李每月的工资数目不低于700元而

不高于940元.

方法二：由（1）知小李生产A种产品每分钟可获利0.05元，生产B种产品每分钟可获利0.07元，若小李全部生产A种产品，每月的工资数目为700元，若小李全部生产B种产品，每月的工资数目为940元，小李每月的工资数目不低于700元而不高于940元.