（人教A版2019选择性必修第一册）专题03 立体几何中的动点问题和最值问题

专题03  立体几何中的动点和最值问题

题型一  立体几何中的动点问题

1．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，下列说法正确的是　　

A．直线直线 

B．过点的的平面，则平面截正方体所得的截面周长为 

C．若线段上有一动点，则到直线的距离的最小值为 

D．动点在侧面及其边界上运动，且，则与平面成角正切的取值范围是

2．如图，在正方体中，是棱上的动点，下列说法正确的是　　

A．对任意动点，在平面内不存在与平面平行的直线 

B．对任意动点，在平面内存在与平面垂直的直线 

C．当点从运动到的过程中，二面角的大小不变 

D．当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变大

3．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的有　　

A．当点运动时，总成立 

B．当向运动时，二面角逐渐变小 

C．二面角的最小值为 

D．三棱锥的体积为定值

4．如图，在棱长为6的正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，点是线段上的动点，则　　

A．无论点在线段上如何移动，都有异面直线，的夹角为 

B．三棱锥的体积为108 

C．直线与所成角的余弦值 

D．直线与平面所成最大角的余弦值为

5．在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有　　

A．存在点使得异面直线与所成角为 

B．存在点使得异面直线与所成角为 

C．存在点使得二面角的平面角为 

D．当时，平面截正方体所得的截面面积为

6．已知正方体的棱长为4，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论中正确的是　　

A．与一定不垂直 

B．二面角的正弦值是 

C．的面积是 

D．点到平面的距离是常量

7．在长方体中，，点为棱上靠近点的三等分点，点是长方形内一动点（含边界），且直线，与平面所成角的大小相等，则　　

A．平面 

B．三棱锥的体积为4 

C．存在点，使得 

D．线段的长度的取值范围为，

8．已知正方体棱长为2，如图，为上的动点，平面．下面说法正确的是　　

A．直线与平面所成角的正弦值范围为 

B．点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 

C．点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 

D．已知为中点，当的和最小时，为的中点

9．如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为　　

A． B． C．2 D．

10．在正三棱柱中，，点满足，其中，，，，则　　

A．当时，△的周长为定值 

B．当时，三棱锥的体积为定值 

C．当时，有且仅有一个点，使得 

D．当时，有且仅有一个点，使得平面

11．如图，已知四边形为直角梯形，为矩形，平面平面，，，，．

（1）若点为中点，求证：平面；

（2）若点为线段上一动点，求与平面所成角的取值范围．

12．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，上的动点，且．

（1）求证：；

（2）当取得最大值时，求二面角的余弦值．

题型二  立体几何中的最值问题

13．在四面体中，是边长为2的正三角形，，二面角的大小为，则下列说法正确的是　　

A． 

B．四面体的体积的最大值为 

C．棱的长的最小值为 

D．四面体的外接球的表面积为

14．已知长方体的高，，，，则当最大时，二面角的余弦值为　　

A． B． C． D．

15．如图，在棱长为4的正方体中，是棱上的动点，是棱的中点．当平面与底面所成的锐二面角最小时，　　．

16．四棱锥的底面是边长为的菱形，面，，，分别是，的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）是上的动点，与平面所成的最大角为，求二面角的余弦值．

17．如图，在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，其中，，，，，分别为和的中点．

（1）求证：平面；

（2）当点在线段上移动时，求直线与平面所成角正弦的最大值．

18．如图，矩形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，，，是上异于，的动点．

（1）证明：平面平面；

（2）设和平面所成角为，求的最大值．

19．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．

（1）证明：；

（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？

20．如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．

（1）证明：平面平面；

（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．

21．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，与平面所成角为，为上一点且．

（1）证明：；

（2）设平面与平面的交线为，在上取点使，为线段上一动点，求平面与平面所成二面角的余弦值的最大值．

22．如图，四边形为直角梯形，其中，，，为腰上的一个动点．为等腰直角三角形，，平面平面．

（1）求证：；

（2）当直线与平面所成角最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．