（人教A版2019选择性必修第一册）专题16 圆锥曲线常考题型04——定值问题

专题17  圆锥曲线常考题型04——定值问题

圆锥曲线中的定值问题是圆锥曲线问题中的另一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．

1．过抛物线的焦点为且斜率为的直线交曲线于，、，两点，交圆于，两点，两点相邻）．求证：为定值；

【解答】证明：依题意直线的方程为，

代入，得，

△，则，．

为定值；

2．已知椭圆的左、右顶点分别为、，设是曲线上的任意一点．

当点异于、时，直线，的斜率分别为，，则是否为定值？请说明理由；

【解答】解：由椭圆的方程及题意可得：，设，，

因为在椭圆上，所以，所以

则，

所以由题意可得是为定值，且定值为；

3．椭圆，的离心率，点在上．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值．

【解答】（1）解：椭圆，的离心率，点在上，可得，，解得，，所求椭圆方程为：．

（2）证明：设直线，，，，，，，，

把直线代入可得，

故，，

于是在的斜率为：，即．

直线的斜率与的斜率的乘积为定值．

4．已知抛物线与双曲线有相同的焦点．

（1）求的方程，并求其准线的方程；

（2）过且斜率存在的直线与交于不同的两点，，，，证明：，均为定值．

【解答】（1）解：双曲线，，

可得双曲线的右焦点为，

，则，即，

故的方程为，其准线的方程为；

（2）证明：由题意直线过点且斜率存在，设其方程为，

联立，整理得，

，，，，

为定值，则为定值．

5．已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，且的离心率为．

（1）求与的方程；

（2）若，直线与交于，两点，且直线，的斜率都存在．

①求的取值范围；

②试问两直线，的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【解答】解：（1）因为的离心率为，所以，

解得，则的方程为．

因为的焦点与的焦点相同，所以，

所以，则的方程为．

（2）①联立得，

其中△，解得．

又直线，的斜率都存在，所以，

故的取值范围是．

②设，，，，则，，

则，

故直线，的斜率之积不是定值．

6．设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值．

【解答】解：（1）由双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合，

得，解得，，，

所以双曲线的方程为．

（2）设点坐标为，，

过点与渐近线平行的直线分别为，，方程分别为，，

联立，解得，

同理联立，解得，

又渐近线方程为，

则，

所以，

又点在双曲线上，则，

所以，

所以平行四边形的面积为定值，且定值为．

7．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意可得，解得：，，

所以椭圆的方程为：；

（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为：，

证明如下：

假设存在符合条件的圆，且此圆为，

当直线的斜率存在，设直线的方程为，

联立，整理可得：，

因为直线与椭圆有且仅有一个公共点，

所以△，

即，

由方程组得，

则△，

设，，，，

则，，

设直线，直线的斜率为，，

所以

，

将，代入上式得

，

要使得以为定值，则，即，

所以当圆的方程为时，

圆与的斜率不存在时，由题意知的方程为，

此时圆与的交点，也满足以为定值，

综上，当圆的方程为时，圆与的交点，满足定值．

8．已知抛物线的准线过点．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点作直线交抛物线于，两点，证明：为定值．

【解答】（1）解：由题意可得，抛物线的准线方程为，，

故抛物线的方程为；

（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线方程为，

此时，，；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

，，，，

联立，得．

．

则．

为定值．

9．已知平面上的动点及两定点，，直线，的斜率分别是，且．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设直线与曲线交于不同的两点，．

①若为坐标原点），证明点到直线的距离为定值，并求出这个定值

②若直线，的斜率都存在并满足，证明直线过定点，并求出这个定点．

【解答】解：（1）由题意得，，即．

动点的轨迹的方程是．

（2）设点，，，，联立，化为，

△．

，．

，

①若，则，，

，化为，此时点到直线的距离．

②，，

，

，

代入化为，化简得，解得或．

当时，直线恒过原点；

当时，直线恒过点，此时直线与曲线最多有一个公共点，不符合题意，

综上可知：直线恒过定点．

10．如图，已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程．

（Ⅱ）若直线交轴于点，且，，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，

则有，解得，

所以椭圆的方程为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由条件得直线的斜率必存在，

设方程为，又，设，，，，

则由，解得，

所以，

因为，

则有，，，

所以，

同理可得，

所以，

即是定值．

11．已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为3，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）试探究，的横坐标的乘积是否为定值，说明理由．

【解答】解：（1）由题意可知：点，，

的面积为3，，

又，，

，解得，，

椭圆的方程为：；

（2）由题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为，点，，，，

则直线的方程为，令，得点的横坐标，

直线的方程为，令，得点的横坐标，

，

把直线代入椭圆得：，

，

，

12．已知椭圆，、分别是椭圆短轴的上下两个端点；是椭圆的左焦点，是椭圆上异于点、的点，△是边长为4的等边三角形．

（Ⅰ）写出椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点满足：，．求证：△与△的面积之比为定值．

【解答】解：（Ⅰ）因为△是边长为4的等边三角形，

所以．

所以．

所以，椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）设直线，的斜率分别为，，则直线的方程为．

由，直线的方程为．

将代入，得，

因为是椭圆上异于点，的点，所以．

所以．

由，所以直线的方程为．

由，得．

所以．

13．给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”．若椭圆的离心率，点在上．

求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；

（Ⅱ）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线，，使得，与椭圆都只有一个交点，且，，分别交其“卫星圆”于点，，证明：弦长为定值．

【解答】解：（Ⅰ）由条件可得：

解得

所以椭圆的方程为，（3分）

卫星圆的方程为（4分）

证明：①当，中有一条无斜率时，不妨设无斜率，

因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，

当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，

此时经过点且与椭圆只有一个公共点的直线是或，即为或，

所以，

所以线段应为“卫星圆”的直径，所以（7分）

②当，都有斜率时，设点，，其中，

设经过点，与椭圆只有一个公共点的直线为，

则，联立方程组，消去，整理得，（9分）

所以（10分）

所以（11分）

所以，满足条件的两直线，垂直．

所以线段应为“卫星圆”的直径，

所以

综合①②知：因为，经过点，，又分别交其“卫星圆”于点，且，垂直，

所以线段为“卫星圆” 的直径，

所以为定值（12分）

14．已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率，过点的直线交椭圆于、两点，的周长为16．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为原点，圆与椭圆交于、两点，点为椭圆上一动点，若直线、与轴分别交于、两点，求证：为定值．

【解答】解：（1）由题意和椭圆的定义得

，则，

由，解得，

则，

所以椭圆的方程为；

（2）证明：由条件可知，，两点关于轴对称，

设，，，，则，，

由题可知，，，

所以，．

又直线的方程为，

令得点的横坐标，

同理可得点的横坐标，

所以

，

即为定值．

15．已知椭圆的两个焦点分别为，，，，以椭圆短轴为直径的圆经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆相交于、两点，设点，记直线，的斜率分别为，，问：是否为定值？并证明你的结论．

【解答】解：（1）椭圆的两个焦点分别为，，，，

以椭圆短轴为直径的圆经过点，

，解得，，

椭圆的方程为．

（2）是定值．

证明如下：设过的直线：或者

①时，代入椭圆，，令，，

，，．

②代入椭圆，

设，，，．

则，，

，

，

，，

．

16．如图，椭圆经过点，且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点，（均异于点，问直线与的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，结合，解得，

椭圆的方程为；

（Ⅱ）由题设知，直线的方程为，代入，得

，

由已知△，设，，，，，

则，，

从而直线与的斜率之和：

．

17．已知直线与椭圆相交于，两点，是椭圆上一点

（Ⅰ）当时，求面积的最大值；

（Ⅱ）设直线和与轴分别相交于点，，为原点．证明：为定值．

【解答】解：（Ⅰ）当时，将代入，

解得：，

．

当为椭圆的顶点时，到直线的距离取得最大值3， 面积的最大值是．

（Ⅱ）

设，两点坐标分别为，，从而．

设，，则有，，．

直线的方程为，

令，得，从而．

直线的方程为，（10分）

令，得，从而．

所以，

，

．

为定值．

18．如图，已知点是抛物线上一点，过点作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于、两点，直线的斜率为．

（Ⅰ）若直线、恰好为圆的切线，求直线的斜率；

（Ⅱ）求证：直线的斜率为定值．并求出当为直角三角形时，的面积．

【解答】解：（Ⅰ）依题意，，

由直线与圆相切，

可得，

解得．

（Ⅱ）设，，，，

联立直线与抛物线方程，

消去可得：，

，，

．

用代替可得：，

．

因此，，

即直线的斜率为定值，

当时，由得，此时，，，

求得，，，

当时，可得，此时，，，

求得，，，

当时，无解．

综上所述，当为直角三角形时，的面积为或12．

19．已知椭圆的两个焦点是，，点，在椭圆上，且

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点关于轴的对称点为，是椭圆上一点，直线和与轴分别相交于点，，为原点．证明：为定值．

【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得，即．（2分）

将点，的坐标代入，得，解得：．（4分）

椭圆的方程是．（5分）

（Ⅱ）证明：由关于轴于对称，得，．

设，，则有，，．（6分）

直线的方程为，（7分）

令，得，（8分）

．

直线的方程为：，（9分）

令，得，（10分）

．

（12分）

为定值．（14分）

20．椭圆焦点在轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，的面积，则是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，

解得，

可得，

即有椭圆的标准方程为：；

（Ⅱ）设，，，

（1）当斜率不存在时，，两点关于轴对称，

，

又，解得，

；

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由题意知，将其代入，得

，

即有，

则，到距离，

则，

解得，满足△，

则，

即有

，

综上可得为定值5．

21．已知圆和点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点，记的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）点是曲线与轴正半轴的交点，过点的直线交于、两点，直线，的斜率分别是，，试探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【解答】（1）圆的圆心为，半径为，

点在圆内，，

所以曲线是，为焦点，长轴长为的椭圆，

由，得，

所以曲线的方程为．

（2）设，，，，，由已知直线的斜率存在，

设直线，联立方程组，得，

．

（定值）．

22．如图，已知动圆过点，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）过圆心的直线交曲线于，两点，问：在轴上是否存在定点，使当直线绕点任意转动时，为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由圆的方程知，圆心为，半径为．

设圆和圆内切于点，则，，三点共线，且．

因为圆过点，则，

于是，

所以圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆．

因为，则，又，则，

所以曲线的方程：．

（2）当直线与轴不重合时，

设直线的方程为，代入，得，

即．

设点，，，，则，．

设点，则，，

则

．

若为定值，则，解得，

此时为定值．

当直线与轴重合时，点，．

对于点，则．，

此时．

综上分析，存在点，使得为定值．

23．已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为．设过点的直线与椭圆相交于不同两点，，周长为8．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知点，证明：当直线变化时，总有与的斜率之和为定值．

【解答】解：由题意知，，所以．

因为，所以，则．

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）证明：当直线垂直于轴时，显然直线与的斜率之和为0，

当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，，，，，

，整理得：，

△恒成立，

，，

由

，，的斜率存在，

由，两点的直线，

故，，

由，

，

直线与的斜率之和为0，

综上所述，直线与的斜率之和为定值，定值为0．

24．在直角坐标系中，曲线与轴交于、两点，点的坐标为，当变化时，解答下列问题：

（1）能否出现的情况？说明理由；

（2）证明过、、三点的圆在轴上截得的弦长为定值．

【解答】解：（1）曲线与轴交于、两点，

可设，，，，

由韦达定理可得，

若，则，

即有，

即为这与矛盾，

故不出现的情况；

（2）证明：设过、、三点的圆的方程为，

由题意可得时，与等价，

可得，，

圆的方程即为，

由圆过，可得，可得，

则圆的方程即为，

另解：设过、、三点的圆在轴上的交点为，

则由相交弦定理可得，

即有，

再令，可得，

解得或．

即有圆与轴的交点为，，

则过、、三点的圆在轴上截得的弦长为定值3．

25．已知椭圆过点，两点．

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．

【解答】（1）解：椭圆过点，两点，

，，则，

椭圆的方程为，离心率为；

（2）证明：方法一、如图，

设，，则，所在直线方程为，

取，得；

，所在直线方程为，

取，得．

，

．

．

四边形的面积为定值2．

方法二、由题意设，其中，

则，取，得，

同理求得，

．