培优课　三角函数的最值问题

三角函数的最值问题是三角函数中的基本内容，解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特性(如有界性)，另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟悉的函数(如二次函数等)最值问题.

类型一　转化为一次函数

例1 求函数y＝3cos x－1的值域.

解　令t＝cos x，则－1≤t≤1，

∴y＝3t－1，∴－4≤3t－1≤2，

即－4≤y≤2.

∴函数y的值域为[－4，2].

类型二　转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b

例2 已知函数f(x)＝2sin－1，x∈，则当x＝________时，f(x)取最小值，且最小值为________.

答案　－　－3

解析　令t＝2x－，∵x∈，

∴t∈.

∴y＝2sin t－1，

显然当t＝－时，ymin＝2×(－1)－1＝－3，此时－＝2x－，∴x＝－.

类型三　转化为二次函数(配方法)

例3 求函数y＝－sin2x－3cos x＋3的最小值.

解　y＝－sin2x－3cos x＋3

＝cos2x－3cos x＋2.

令t＝cos x∈[－1，1]，

∴y＝t2－3t＋2＝－.

∵－1≤t≤1，

∴当t＝1，即cos x＝1时，ymin＝0.

类型四　转化为不等式法或利用函数的单调性

例4 已知0＜x＜π，求函数y＝sin x＋的最小值.

解　设sin x＝t，∵0＜x＜π，∴0＜t≤1，

∴y＝t＋≥2＝，

当且仅当t＝，即t＝，即x＝时，等号成立，∴函数y的最小值为.

类型五　分类讨论法

例5 设f(x)＝cos2x＋asin x－－，用a表示f(x)的最大值M(a).

解　f(x)＝－sin2x＋asin x－＋.

令t＝sin x，∵0≤x≤，∴0≤t≤1，

∴g(t)＝－t2＋at－＋

＝－＋－＋.

(1)当≥1，即a≥2时，g(t)在[0，1]上单调递增，

∴M(a)＝g(1)＝－.

(2)当0＜＜1，

即0＜a＜2时，

此时M(a)＝g＝－＋.

(3)当≤0即a≤0时，g(t)在[0，1]上递减，∴M(a)＝g(0)＝－.

∴M(a)＝

类型六　函数图象平移距离的最小值

例6 将函数f(x)＝sin 4x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将它的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为(　　)

A.   B.  C.   D.

答案　D

解析　伸长后得到y＝sin 2x的图象，平移后得到y＝sin[2(x＋φ)]＝sin(2x＋2φ)的图象，该函数为偶函数则只需2φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝＋(k∈Z)，又φ＞0，故取k＝0，得φ的最小值为.

类型七　ω的最值

例7 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象关于直线x＝对称，f＝1，当φ＝ω时f(x)在区间上单调递增，求ω的最大值和最小值之和.

解　∵函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象关于直线x＝对称，

∴f＝±，又f＝1.

∴当－π＝时，T取最大值，

此时ω最小，即ωmin＝2.

当φ＝ω时，f(x)＝sin

＝sin ω，

函数f(x)＝sin ω的图象向右平移个单位长度得函数g(x)＝sin ωx的图象，问题等价于函数g(x)＝sin ωx在区间上单调递增，

故只要

即ω≤4.

综上可知2≤ω≤4，故ω的最大值和最小值之和为6.