2023届高考数学一轮复习精选用卷 专题突破练（7） 概率、统计与其他知识的交汇+答案解析

专题突破练(7)　概率、统计与其他知识的交汇

解答题

1．某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本3元，且以8元的价格出售，若当天卖不完，剩下的无偿捐献给饲料加工厂．根据以往100天的资料统计，得到如下需求量表．该蛋糕店一天制作了这款蛋糕X(X∈N)个，以x(单位：个，100≤x≤150，x∈N)表示当天的市场需求量，T(单位：元)表示当天出售这款蛋糕获得的利润．

(1)若x＝135，当X＝130时该蛋糕店获得的利润为T1，当X＝140时该蛋糕店获得的利润为T2，试比较T1和T2的大小；

(2)当X＝130时，根据上表，从利润T不少于570元的天数中，按需求量用分层随机抽样的方法抽取6天．

①求此时利润T关于市场需求量x的函数解析式，并求这6天中利润为650元的天数；

②从这6天中抽取3天做进一步分析，设这3天中利润为650元的天数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

解　(1)当X＝130时，T1＝130×(8－3)＝650(元)；

当X＝140时，T2＝135×5－3×5＝660(元)．

所以T2>T1.

(2)①当X＝130时，

利润T＝

令T≥570，得120≤x≤150，

所以利润T不少于570元的共有60天，其中有30天的利润为650元．

故按需求量用分层随机抽样的方法抽取的6天中，利润为650元的天数为6×＝3.

②由题意可知ξ的所有可能取值为0,1,2,3，

P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝3)＝＝.

故ξ的分布列为

所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

2．某地区开展农村电商培训活动，对电商团队、物流企业、返乡创业群体、普通农户等进行培训．某部门组织A，B两个调查小组在开始电商培训活动之前先进行问卷调查，从获取的有效问卷中，针对25岁至55岁的人群，按比例随机抽取400份进行数据统计，具体情况如下表：

(1)用分层随机抽样的方法从400人中按年龄是否达到45岁抽出一个容量为80的样本．

①求这80人中年龄达到45岁且参加电商培训的人数；

②从所抽取的年龄达到45岁且参加电商培训的人员中再抽取3人，安排进入某公司参观学习，求这3人中来自A组的人数X的分布列及数学期望；

(2)从统计数据可直观得出“参加电商培训与年龄达到m岁有关”的结论．请列出2×2列联表，用独立性检验的方法，通过比较χ2的大小，判断m取35时和m取45时犯错误的概率哪一个更小．

参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

解　(1)①从400人中抽取80人，其中年龄达到45岁且参加电商培训的有40×＝8(人)．

②易知抽取的年龄达到45岁且参加电商培训的8人中来自A组的有4人，所以再次抽取的3人中来自A组的人数X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝.

所以X的分布列为

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

(2)当m＝35时，整理数据得到如下2×2列联表：

所以m＝35时，χ21＝＝.

当m＝45时，整理数据得到如下2×2列联表：

所以m＝45时，χ22＝＝.

因为χ22＜χ21，所以m取35时犯错误的概率更小．

3．(2021·河北省张家口市、邢台市、衡水市高三摸底联考)2020年初，新型冠状病毒肺炎爆发时，我国政府迅速采取强有力措施抗击疫情，赢得了国际社会的高度评价．在这期间，为保证抗疫物资的质量，我国也加大了质量检查的力度．某市2020年初新增加了甲、乙两家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了100瓶消毒液，检测其质量，得到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示，乙厂所生产的消毒液质量指标值的频数分布表如表所示(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率)．

(1)规定：消毒液的质量指标值越高，消毒液的质量越好．已求得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数为26，乙厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为26.5，分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数，并针对这两家工厂所生产的消毒液的质量情况写出两条统计结论；

(2)甲厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，并已求得σ＝11.95，该厂决定将消毒液分为A，B，C级三个等级，其中质量指标值Z不高于2.6的为C级，高于38.45的为A级．其余为B级，请利用该正态分布模型解决下列问题：

(ⅰ)甲厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B级消毒液的总瓶数；

(ⅱ)已知每瓶消毒液的等级与出厂价X(单位：元/瓶)的关系如下表所示：

假定甲厂半年消毒液的生产量为1000万瓶，且全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为4千万元(含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内)，问：甲厂能否在半年之内收回投资？试说明理由．

附：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973.

解　(1)甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为甲＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.

设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为n，则0.2＋0.1＋(n－20)×0.03＝0.5，

解得n＝26.

统计结论：(答案不唯一，任意两个即可，其他答案如果叙述正确也可)

①两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等，从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当．

②由数据波动的情况可知，乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，说明甲厂生产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定．

③两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同，但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，所以甲厂生产的消毒液更好．

④两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的众数均等于25.

⑤两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为26.

⑥甲厂生产的消毒液质量集中在平均数附近，乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大的较多．

(2)(ⅰ)P(2.6<Z≤38.45)＝P(μ－2σ<Z≤μ＋σ)＝[P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＋P(μ－σ<Z≤μ＋σ)]≈0.8186.

因为100000×0.8186＝81860，所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中B级消毒液有81860瓶．

(ⅱ)设每瓶消毒液的利润为Y元，则Y的可能取值为10,5，－4，

P(Y＝10)＝P(Z>38.45)＝P(Z>μ＋σ)＝[1－P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)]≈×(1－0.6827)＝0.15865，

由(ⅰ)知P(Y＝5)＝P(2.6<Z≤38.45)≈0.8186，

所以P(Y＝－4)≈1－0.8186－0.15865＝0.02275，

故Y的分布列为

所以每瓶消毒液的平均利润为E(Y)＝10×0.15865＋5×0.8186－4×0.02275＝5.5885(元)，故生产半年消毒液所获利润为1×5.5885＝5.5885(千万元)，

而5.5885(千万元)>4(千万元)，

所以甲厂能在半年之内收回投资．

4．(2022·湖南师范大学附属中学高三上第二次月考)一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗产生抗体情况，需要检验血液是否有抗体．现有n(n∈N*)份血液样本，每份样本被取到的可能性均等，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验n次；(2)混合检验，将其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果无抗体，则这k份的血液全无抗体，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果有抗体，为了明确这k份血液究竟哪几份有抗体就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验总次数为k＋1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且每份样本有抗体的概率均为p(0<p<1)．

(1)假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；

(2)现取其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2.若E(ξ1)＝E(ξ2)，求p关于k的函数关系式p＝f(k)，并证明p<1－e.

解　(1)设恰好经过3次检验能把有抗体血液样本全部检验出来为事件A，

所以P(A)＝＝，

所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为.

(2)由已知得E(ξ1)＝k，

ξ2的所有可能取值为1，k＋1.

所以P(ξ2＝1)＝(1－p)k，P(ξ2＝k＋1)＝1－(1－p)k，

所以E(ξ2)＝(1－p)k＋(k＋1)[1－(1－p)k]＝k＋1－k(1－p)k，

若E(ξ1)＝E(ξ2)，则k＝k＋1－k(1－p)k，

所以k(1－p)k＝1，(1－p)k＝，

所以1－p＝，即p＝1－，

所以p关于k的函数关系式为p＝f(k)＝1－(k≥2且k∈N*)．

证明：令t＝(k≥2且k∈N*)，

所以ln t＝ln ＝－，

令g(x)＝－(x≥2)，

g′(x)＝，

由g′(x)＝0得x＝e，

所以当x∈[2，e)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

当x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．

所以g(x)min＝g(e)＝－，

所以≥－，

因为k≥2且k∈N*，

所以>－，即ln >－，

5．随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可．某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x＝1”表示2015年，“x＝2”表示2016年，依次类推；y表示人数)：

(1)试根据表中的数据，求出y关于x的经验回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；

(2)该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进．若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元．已知骰子出现奇数与偶数的概率都是，方格图上标有第0格，第1格，第2格，…，第20格．遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次．若掷出奇数，遥控车向前移动一格(从k到k＋1)；若掷出偶数，遥控车向前移动两格(从k到k＋2)，直到遥控车移到第19格(胜利大本营)或第20格(失败大本营)时，游戏结束．设遥控车移到第n(1≤n≤19)格的概率为Pn，试证明{Pn－Pn－1}是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值．

附：在经验回归方程＝x＋中，

＝，＝－ .

解　(1)＝＝3，

＝＝100，

xiyi＝1×20＋2×50＋3×100＋4×150＋5×180＝1920，

x＝12＋22＋32＋42＋52＝55，

故＝＝42，

从而＝－＝100－42×3＝－26，

所以所求经验回归方程为＝42x－26，

令42x－26＞300，x∈N*，解得x≥8.

故预测到2022年该公司的网购人数能超过300万人．

(2)遥控车开始在第0格为必然事件，P0＝1，第一次掷骰子出现奇数，遥控车移到第1格，其概率为，即P1＝.遥控车移到第n(2≤n≤19)格的情况有下列两种，而且也只有两种．

①遥控车先到第n－2格，又掷出偶数，其概率为Pn－2；

②遥控车先到第n－1格，又掷出奇数，其概率为Pn－1，

所以Pn＝Pn－2＋Pn－1，

所以Pn－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2)，

所以当1≤n≤19时，数列{Pn－Pn－1}是公比为－的等比数列，

所以P1－1＝－，P2－P1＝2，P3－P2＝3，…，Pn－Pn－1＝n，

以上各式相加，得Pn－1＝＋2＋3＋…＋n＝，

所以Pn＝(n＝0,1,2，…，19)，

所以遥控车最终停在“胜利大本营”的概率为P19＝×，

遥控车最终停在“失败大本营”的概率为P20＝P18＝×，

设网购者参与游戏一次获得免费购物券的金额为X元，X＝200或500，

所以X的期望E(X)＝500××＋200××＝100×≈400(元)，

所以网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值约为400元．