第二章《直线与圆的方程》章节测试

2019新教材A版数学学科高二年级选择性必修第一册

第二章《直线与圆的方程》章节测试

一、单选题:

1.对任意实数k，圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝13与直线l：kx－y－4k＋3＝0的位置关系是(　　)   A．相交         B．相切         C．相离         D．与k取值有关

2. 直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足(　　)

A．ab>0，bc<0　　　　B．ab<0，bc>0     C．ab>0，bc>0   D．ab<0，bc<0

3.如果直线x－my＋2＝0与圆x2＋(y－1)2＝1有两个不同的交点，则(　　)

A．m≥       B．m>       C．m<     D．m≤

4.已知两条直线y＝ax－2与y＝(2＋a)x＋1互相垂直，则垂足的坐标为________．

A.           B.             C.             D.

5.若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过(　　)

A．第一象限         B．第二象限         C．第三象限        D．第四象限

6.直线l1：y＝kx＋b和直线l2：＋＝1(k≠0，b≠0)在同一坐标系中，两直线的图形应为(　　)

二．     多选题：

7. 如果直线ax＋3y＋2＝0与直线3ax－y－2＝0垂直，那么a的值可能是（      ）.

A.1            B. -1            C. 0              D.2      

8.直线ax＋2y－1＝0与x＋(a－1)y＋2＝0平行，则a可能为（        ）

   A. -2     B. 2     C. 1   D. -1   

9．若m为任意实数，则直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0 表示（         ） 

   A. 一束直线                  B. 一组平行线      

 C.恒过定点                   D. 点(－2，3)在直线上.   

三．填空题：

10.圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为________．

11.已知集合A＝{(x，y)|(x＋2)2＋(y－2)2＝4}，B＝{(x，y)|y＝kx＋3，k∈R}．若A∩B是单元素集，则k＝________.

12．过点P(－1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上的截距之差的绝对值为1，这两条直线的方程分别为       、       ．

13.设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积最小时，∠APB＝________.

四.拓展题：

14．过点P(－2，0)向圆x2＋y2＝1引切线，求切线的方程．

15.如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求：

(1)的最大值或最小值；       (2)x＋y的最大值与最小值；

(3) 的最大值与最小值．

.

五、创新题：

16．已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．

17.已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，

且满足|PQ|＝|PA|.

(1)求实数a、b间满足的等量关系；

(2)求线段PQ长的最小值；

(3)若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．

六．探究题：

18.已知圆C的圆心在直线y＝－4x上，且与直线x＋y－1＝0相切于点

P(3，－2)．    

 (1)求圆C的方程；

(2)点M(0，1)与点N关于直线x－y＝0对称．是否存在过点N的直线l，l与圆C相交于E，F两点，且使S△OEF＝2(O为坐标原点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，用计算过程说明理由．

同步练习答案

一、 单选题：

1. 答案：D.

   解析：圆心(3，4)到直线距离d＝＝与k取值有关，故选D.

2.答案：A.

解析：由题意知，直线的斜率小于0，直线在y轴上的截距大于0，

从而ab>0，bc<0. 故选A.

3. 答案：B.

解析：圆心为(0,1)，半径r＝1，圆与直线有两个不同的交点，

则圆心到直线的距离d＝<1，  得m>，故选B.

4.答案：A.

  解析:由已知得a·(2＋a)＝－1，解得a＝－1，

则两条直线的方程分别为y＝－x－2与y＝x＋1，

解得故垂足的坐标为.  故选A.

5.答案：D,

解析：圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为(a，－b)，则a<0，b>0.

直线y＝－x－，    其斜率k＝－>0，

在y轴上的截距为－>0， 所以直线不经过第四象限．故选D.

6.答案：D

解析：k>0，b>0，且两直线都过点(0，b)，适合l1，l2的方程． 故选D.

二．多选题：

7.答案：A、B

  解析：由题意得a·3a－3＝0，解得a＝±1.   故选A、B.

8.答案：B、D.

 解析：由a·(a－1)－2×1＝0得a2－a－2＝0，所以a＝2或－1， 故选B、D．9.答案：A、C、D.

  解析:直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0    可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0，

由       得

所以直线过定点(－2，3),且是一束直线系。   故选A、C、D.

三．填空题：

10.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4.

 解析：依题意，设圆心的坐标为(2b，b)(其中b>0)，则圆C的半径为2b，圆心到x轴的距离为b，  所以2＝2，b>0，解得b＝1，故所求圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.

11.答案：

   解析：由A∩B是单元素集，知直线y＝kx＋3与圆(x＋2)2＋(y－2)2＝4相切，所以＝2，   解得

12.答案：x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.

解析：(1)当两条平行直线的斜率都不存在时，

两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，

它们在x轴上的截距之差的绝对值为1，满足题意．

(2)当两条平行直线的斜率都存在时，设其斜率为k，

则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋2.

令y＝0，分别得x＝－1，x＝－.由题意得＝1，即k＝1.

∴两条直线的方程分别为y＝x＋1，y＝x＋2，

即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.

综上可知，所求的两条直线方程分别为

x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.

13.答案：∠APB＝60°

解析：如图，四边形PACB面积＝2S△PAC＝2×＝|AC|·|PA|＝|PA|＝ ，

则当|PC|最小时，四边形面积最小．此时|PC|＝＝＝2.

Rt△PAC中，  sin∠APC＝＝，   ∴∠APC＝30°，

同理∠BPC＝30°，   ∴∠APB＝60°.

四.拓展题：

14.答案：y＝±(x＋2)．

解析：设所求切线的斜率为k，则切线方程为y＝k(x＋2)．

由题意联立方程组得

即(k2＋1)x2＋4k2x＋4k2－1＝0.由题意知上述一元二次方程有两相等实根，      所以Δ＝16k4－4(k2＋1)(4k2－1)＝－12k2＋4＝0，即k＝±，

所以所求切线的方程为y＝±(x＋2)．

15.答案：（1）的最大值与最小值分别是3＋2与3－2.

     (2) x＋y的最大值与最小值分别为6＋2与6－2.

    (3) 的最大值是＋，最小值是－.

解析：(1)设P(x，y)，则点P的轨迹就是已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝6.

而的几何意义就是直线OP的斜率，其中O为坐标原点．

设＝k，则直线OP的方程为y＝kx ，当直线OP 与圆相切时，斜率取得最值．

∵圆心C到直线y＝kx的距离为，

∴当＝，即当k＝3±2时，直线OP与圆相切，

∴的最大值与最小值分别是3＋2与3－2.

(2)设x＋y＝b，则y＝－x＋b.画图可知(图略)，

当直线y＝－x＋b与圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝6相切时，

截距b取得最值．∵圆心C到直线y＝－x＋b的距离为，

∴当＝，即当b＝6±2时，直线y＝－x＋b与圆C相切，

∴x＋y的最大值与最小值分别为6＋2与6－2.

(3)代数式的几何意义是圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝6上的点到定点(2,0)的距离．

∵圆心C(3,3)与定点(2,0)的距离是＝，圆的半径是，     ∴ 的最大值是＋，最小值是－.

五、创新题：

16.答案: (1) x2＋y2＝16.     (2) N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆.

解析：(1)设动点M(x，y)为轨迹上任意一点，

则点M的轨迹就是集合P＝{M||MA|＝|MB|}．

由两点距离公式，点M适合的条件可表示为＝，平方后再整理，得x2＋y2＝16.可以验证，这就是动点M的轨迹方程．

(2)设动点N的坐标为(x，y)，M的坐标是(x1，y1)．由于A(2,0)，

且N为线段AM的中点，     所以x＝，y＝，

所以有x1＝2x－2，y1＝2y，①

由(1)知，M是圆x2＋y2＝16上的点，

所以点M坐标(x1，y1)满足：x＋y＝16，②

将①代入②整理，得(x－1)2＋y2＝4．

所以N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．

17．答案：（1）2a＋b－3＝0.（2）.  （3）2＋2＝2.

解析：(1)连接OP，

∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2.

又已知|PQ|＝|PA|故|PQ|2＝|PA|2，即a2＋b2－1＝(a－2)2＋(b－1)2.

化简得实数a、b间满足的等量关系为2a＋b－3＝0.

(2)由2a＋b－3＝0得b＝－2a＋3.

|PQ|＝＝＝ .

故当a＝时|PQ|min＝，即线段PQ长的最小值为.

(3)设圆P的半径为R，圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，

∴|R－1|≤|OP|≤R＋1，       即R≥||OP|－1|且R≤|OP|＋1.

而|OP|＝＝＝ .

故当a＝时|OP|min＝.此时，b＝－2a＋3＝.Rmin＝－1.

半径取最小值时圆P的方程为2＋2＝2.

 六．探究题：

18.答案：（1）所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

        （2）所求的直线方程为x＝1.

     解析：(1)过切点P(3，－2)且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，

即y＝x－5.

将y＝x－5与直线y＝－4x联立可得圆心坐标为(1，－4)．

所以半径r＝＝2.

故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

(2)设N(a，b)，因为M(0，1)与N关于x－y＝0对称，

所以      解得a＝1，b＝0，即N(1，0)．

①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，原点到直线的距离d＝1.

将x＝1代入圆的方程得y＝－4±2，所以|EF|＝4，

于是S△OEF＝×1×4＝2，满足题意，此时直线l的方程为x＝1.

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)

即kx－y－k＝0.

圆心C(1，－4)到直线l的距离d＝＝，

设EF的中点为D，连接CD，则必有CD⊥EF，

在Rt△CDE中，|DE|＝＝＝，

所以|EF|＝.      因为原点到直线的距离d1＝，

所以S△OEF＝··＝＝2，

整理得3k2＋1＝0，不存在这样的实数k.

综上所述，所求的直线方程为x＝1.