突破2.2 基本不等式
考情分析
经验分享
【基本不等式(或)均值不等式】
【基本不等式的变形与拓展】
1.(1)若,则;(2)若,则(当且仅当时取“=”).
2.(1)若,则;(2)若,则(当且仅当时取“=”);
(3)若,则(当且仅当时取“=”).
3.若,则(当且仅当时取“=”);若,则(当且仅当时取“=”);若,则,即或(当且仅当时取“=”).
4.若,则(当且仅当时取“=”);若,则,即或(当且仅当时取“=”).
5.一个重要的不等式链:.
6.函数图象及性质
(1)函数图象如右图所示:
(2)函数性质:
①值域:;
②单调递增区间:;单调递减区间:.
7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”;
(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”;
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.
三、题型分析
(一) 利用基本不等式求最值
例1.(1)(2020·贵州省高二学业考试)已知,若,则的最小值为( )
A.3 B.2 C. D.1
(2)函数的最大值为( )
A. B. C. D.1
(3).(2021·江苏高一专题练习)已知,,若,则的最小值为( )
A.4 B. C.2 D.
【变式训练1-1】.(2020·尤溪县第五中学高一期末)已知,函数的最小值是( )
A.4 B.5 C.8 D.6
【变式训练1-2】.(2020·辽宁省实验中学分校高一期中)已知,都为正实数,,则的最大值是
A. B. C. D.
【变式训练1-3】.(2021·河北安平中学高二月考)(多选题)已知,,且,则可能取的值有( )
A.9 B.10 C.11 D.12
(二) 不等式变形技巧:“1”的代换
例2.(1)(2021·全国高一单元测试)正实数 满足:,则的最小值为_____.
(2).(2021·全国)若正实数满足,则
A.有最大值4 B.有最小值
C.有最大值 D.有最小值
【变式训练2-1】.(2020·浙江省高一期中)已知正数a,b满足a+b=1,则的最小值等于__________ ,此时a=____________.
【变式训练2-2】.(2020·石家庄市第十七中学高一月考)设,,若,则的最小值为__________.
(三) 不等式的证明技巧与综合处理技巧
例3.(2020·全国高一课时练习)已知a,b都是正数,求证:.
【变式训练3-1】(2020·黑龙江省哈尔滨三中高一期末)已知,.
(1)求证:;
(2)若,求ab的最小值.
(四) 均值不等式在实际问题中的应用
例4.(2020·全国高三其他(理))某农户建造一个室内面积为150m2的矩形蔬菜温室.如图,在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道,沿前侧内墙保留2m宽的空地,中间区域为菜地.当温室的长为______m时,菜地的面积最大,最大面积是______m2.
【变式训练4-1】.(2020·重庆市万州第二高级中学高一月考)在城市旧城改造中,某小区为了升级居住环境,拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域(如图所示),按规划要求:在矩形内的四周安排宽的绿化,绿化造价为200元/,中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材,硬化造价为100元/.设矩形的长为.
(1)设总造价(元)表示为长度的函数;
(2)当取何值时,总造价最低,并求出最低总造价.
(五) 不等式的综合应用求参数的取值范围问题
例5.(1)已知>0,>0,且,若恒成立,则实数的取值范围是 .
(2).(2021·安徽省亳州市第一中学高一期末)已知不等式对任意实数、恒成立,则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
【变式训练5-1】(2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末(文))已知关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【变式训练5-2】(2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他(文))若正实数、满足,则的最小值为( )
A. B. C. D.
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