数学人教版第二十五章 概率初步25.3 用频率估计概率优秀练习题

专题25.3 用频率估计概率

典例体系

一、知识点

1、利用频率估计概率

在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。

3、随机数

在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。

二、考点点拨与训练

考点1：求事件的频率

典例：（2020·湖北利川初三学业考试）已知，投掷一枚均匀的硬币，落地时正面或反面向上的可能性相同．有甲、乙两人做投硬币实验，他们分别投硬币100次，结果“正面向上”的次数为：甲60次、乙40次．

(1)求甲、乙做投硬币实验“正面向上”的频率各是多少？

(2)若甲、乙同时做第101次投硬币实验，求“正面都向上”的概率．

方法或规律点拨

（1）本题考查了频率的计算，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握频率的计算公式．

（2）本题考查了概率的意义和计算，解决本题的关键将出现的结果的可能性都要列出．

巩固练习

1．（2020·贵州紫云初三期末）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：

（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．

（2）小颖说：“根据实验，一次实验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次”，小颖和小红的说法正确吗？为什么？

（3）小颖和小红各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．

2．（2020·陕西富平初一期末）某批乒乓球的质量检验结果如下：

（1）求的值；

（2）在图中画出这批乒乓球优等品频率的折线统计图；

（3）根据上表，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是多少？

3．（2020·河南郏县初一期末）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购买元以上的商品就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪个区域就可以获得相应的奖品．如表所示是活动进行中的一组数据：

（1）计算并完成表格：

（2）请估计很大时，频率将会接近多少？

（3）假如你去转动转盘一次，你获得洗衣粉的概率大约是多少？

（4）在该转盘中，标有铅笔区域的扇形圆心角大约是多少？（精确到）

4．（2020·重庆南岸初一期末）疫情之后，各大商家为吸引顾客，纷纷采用多种促销手段．其中一个商场设立了一个购物满50元，可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在那个区域就可以得到相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：

（1）完成上表；

（2）请估计，当很大时，频率是多少？

（3）假如你去转动转盘一次，你获得“抽纸”的概率是多少？

5．（2020·江苏赣榆初二期中）一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从定高度下掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如表：

（1）表中数据a＝　   　；b＝　   　；

（2）画出“帅”字面朝上的频率分布折线图；

（3）如图实验数据，实验继续进行下去，根据上表的这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？

6．（2020·陕西中考真题）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．

（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；

（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．

7．（2020·江苏江都初二期中）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．

（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是　   　；（精确到0.01）

（2）估算袋中白球的个数．

8．（2020·福建清流初一期末）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共40只，这些球除颜色外其余完全相同，为了估计红球和黑球的个数，七（4）班的数学学习小组做了摸球实验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：

（1）求数据表中             ，            

（2）请估计：当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近              (精确到0．1)

（3）试估算盒子里红球的数量为             个．

考点2：由频率估计概率

典例：（2020·江苏秦淮初三月考）在一个不透明的袋子中有1个红球，2个白球和若干个黑球．小明将袋子中的球摇匀后，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回袋中并摇匀，在多次重复以上操作后，小明统计了摸到红球的频率，并绘制了如下折线统计图：

（1）袋子中一共有       个球；

（2）若从该袋中同时摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率．

方法或规律点拨

本题考查的是用频率来估计概率，同时考查画树状图或列表的方法求概率，掌握以上知识是解题的关键．

巩固练习

1．（2020·深圳市高级中学初三期中）某次数学测验中，一道题满分3分，老师评分只给整数，即得分只能为0分，1分，2分，3分．李老师为了了解学生得分情况和试题的难易情况，对初三（1）班所有学生的试题进行了分析整理，并绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示．

解答下列问题：

（1）m=      ，n=     ，并补全条形统计图；

（2）在初三（1）班随机抽取一名学生的成绩，求抽中的成绩为得分众数的概率；

（3）根据右侧“小知识”，通过计算判断这道题对于该班级来说，属于哪一类难度的试题？

2．（2019·河北迁安�初三一模）小明对,,,四个中小型超市的女工人数进行了统计，并绘制了下面的统计图表，已知超市有女工20人.所有超市女工占比统计表

（1）超市共有员工多少人？超市有女工多少人？

（2）若从这些女工中随机选出一个，求正好是超市的概率；

（3）现在超市又招进男、女员工各1人，超市女工占比还是75%吗？甲同学认为是，乙同学认为不是.你认为谁说的对，并说明理由.

3．（2020·江苏泰州中考真题）一只不透明袋子中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：

（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到），由此估出红球有______个．

（2）现从该袋中摸出个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到个白球，个红球的概率．

4．（2020·广东禅城初一期末）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共60只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（4）班的数学学习小组做了摸球实验．他们]将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：

（1）请估计：当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近　   　；(精确到0.1)

（2）假如你去摸一次，则摸到红球的概率的估计值为　   　；

（3）试估算盒子里红球的数量为　   　个，黑球的数量为　   　个

5．（2020·渠县崇德实验学校初一期末）在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20只，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据

(1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近       (精确到0.1)．

(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是       ，摸到黑球的概率是       ．

(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．

6．（2020·福建莆田初三其他）“五月杨梅已满林，初疑一颗值千金 ”，莆田杨梅核小，果味酸甜适中，既可直接食用，又可加工成杨梅干、酱、蜜饯等，还可酿酒， 止渴、生津、助消化等功能，深受当地老百姓喜爱．杨梅采摘当天食用口感最好，隔天食用口感较差，某水果超市计划六月份订购莆田杨梅，每天进货量相同，进货成本每斤4元，售价每斤6元，未售出的杨梅降价转卖给蜜饯加工厂，以每斤2元的价格当天全部处理完，根据往年销售经验，每天需求量与当天平均气温有关，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份日平均气温数据，如下表所示：

（1）以前三年六月份日平均气温为样本，估计今年六月份日平均气温不低于25℃的概率；
（2）该超市六月份莆田杨梅每天的进货量为x斤(300≤x≤500，试以“平均每天销售利润y元”为决策依据，说明当x为何值时，y取得最大值．

7．（2020·江苏泰州初三其他）在一个不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外均相同．

（1）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色后放回，搅匀后再随机摸出一个球，经过大量重复该实验，发现摸到绿球的频率值稳定于，则n的值是         ；

（2）当n=2时，从该不透明的袋子中一次摸出两个球，求摸出的两个球颜色不同的概率．（用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程)

考点3：用频率估计概率的综合应用

典例：（2020·泰兴市马甸初级中学初三二模）在一个不透明的袋子中装有除颜色外都相同的红球和黄球，两种颜色的球一共有10个，每次摸出其中一个球，记下颜色后，放回搅匀．一个同学进行了反复试验，下面是做该试验获得的数据．

（1）a=      ，画出摸到红球的频率的折线统计图；

（2）从这个袋子中任意摸一个球，摸到黄球的概率估计值是多少？（精确到0.1）

（3）怎样改变袋中红球或黄球的个数，可以使得任意摸一次，摸到两种颜色球的概率相等？（写出一种方案即可）

方法或规律点拨

此题考查了列表法或树状图法求概率．注意随机掷两次骰子，最后落回到圈A，需要两次和是4的倍数．

巩固练习

1．（2020·河北初三二模）为了能够帮助武汉疫情，某公司通过武汉市慈善总会二维码给武汉捐款，根据捐款情况制成不完整的扇形统计图（图1）、条形统计图（图2）．

          图1                               图2               

（1）根据以上信息可知参加捐款总人数为______，______，捐款金额中位数为______，请补全条形统计图；

（2）若从捐款的人中，随机选一人代表公司去其它公司做捐款宣传，求选中捐款不低于元的人的概率；

（3）若其它公司有几人参与了捐款活动，把新捐款数与原捐款数合并成一组新数据，发现众数发生改变，请求出至少有几人参与捐款．

2．（2020·福建泉州初三月考）随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯．由此催生了一批外卖点餐平台，已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如下表：

（1）从这80名点外卖的用户中任取一名用户，该用户的送餐距离不超过3千米的概率为    ；

（2）以这80名用户送餐距离为样本，同一组数据取该小组数据的中间值（例如第二小组（1＜x ≤2）的中间值是1.5），试估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离；

（3）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，不超过2千米时，每份3元；超过2千米但不超4千米时，每份5元；超过4千米时，每份9元． 以给这80名用户所需送餐费用的平均数为依据，若送餐员一天的目标收入不低于150元，试估计一天至少要送多少份外卖？

3．（2020·云南昆明初三月考）在一个不透明的盒中有m个黑球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．

（1）若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.75左右，则m的值应是_______________；

（2）在（1）的条件下，用m个黑球和1个白球进行摸球游戏．先从盒中随机摸取一个球，再从剩下的球中再随机摸取一个球，求事件“先摸到黑球，再摸到白球”的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．

4．（2020·福建省泉州第一中学初三其他）甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元，

(1)请将两家公司各一名推销员的日工资y(单位：元)分别表示为日销售件数n的函数关系式；

(2)从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图、若记甲公司该推销员的日工资为y1，乙公司该推销员的日工资为y2(单位：元)，将该频率视为概率，请回答下面问题：

某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．

5．（2020·山东长清初一期末）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD ，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为1 m的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似看成点），记录如下：

（1）当投掷的次数很大时，m：n的值越来越接近_________；

（2）若以小石子所落的有效区域里的次数为总数（即m＋n ），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率稳定在_________附近；

（3）如果你掷一次小石子（小石子投进封闭图形ABCD内），那么小石子落在圆内（含圆上）的概率约为_______；

（4）请你利用（2）中所得频率，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米（结果保留π）．

6．（2020·福建晋江初三学业考试）新冠肺炎疫情期间，为了减少外出聚集，“线上购物”受追捧．某电商平台在地区随机抽取了100位居民进行调研，获得了他们每个人近七天“线上购物”消费总金额（单位：元），整理得到如图所示频率统计表．

（1）求的值，并求从“线上购物”消费总金额不低于500元的被调研居民的概率；

（2）若地区有100万居民，该平台为了促进消费，拟对消费总金额不超过平均水平一半的居民投放每人10元的电子补贴．假设每组中的数据用该组区间的2中点值代替，试根据上述频率统计表，估计该平台在地区拟投放的电子补贴总金额．

7．（2020·深圳市龙岗区龙岗街道新梓学校初一期中）在不透明箱里放有红、白、黄、蓝四种颜色球共16个，除颜色外都相同，其中白球5个，黄球4个．

（1）小军和小颖为争一个竞赛的名额，决定用摸球的方式来确定，从不透明箱里随机摸出1个球，是白球就小军去，是黄球，就小颖去．请问这个规则是否公平？并通过计算概率说明理由．

（2）现每次从箱中任意摸出一个球记下颜色，再放回箱中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到蓝球的频率稳定在25%，那么箱里大约有多少个红球？

8．（2020·福建漳州初三月考）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下：

以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率．

(1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率；

(2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须力100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？

9．（2020·四川达州育才外国语学校初一期末）研究“掷一枚图钉，钉尖朝上”的概率，两个小组用同一个图钉做试验进行比较，他们的统计数据如下：

(1)请你估计第一小组和第二小组所得的概率分别是多少？

(2)你认为哪一个小组的结果更准确？为什么？

10．（2020·浙江台州初三其他）甲乙两人依次测量同一圆柱体工件的横截面直径（单位：），测得的数据分别如表1、表2．

表1：甲的测量数据

表2：乙的测量数据

（1）如果在这些测量数据中选择一个数据作为工件直径的估计值，应该是那个数据？请说明理由.

（2）如果甲再测量一次，求他测量出的数据恰好是估计值的概率；

（3）请直接判断甲乙两人谁的测量技术更好______（填甲或乙），你选择的统计量是_______．