初中华师大版23.4 中位线导学案

教学目标

1.理解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线的性质定理，并能利用它解决简单的问题.

2.理解三角形重心的定义，掌握三角形重心的性质. 

教学重难点

重点：掌握中位线及其性质定理.

难点：能综合运用已经学过的知识解决有关中位线的问题.

教学过程

复习巩固

三角形的中线：三角形的一个顶点与它对边中心的连线叫做三角形的中线.

导入新课

【问题1】

活动1（学生交流，教师点评）

如图，在池塘外选三点A、B、C，连结AB、AC、BC，分别找出AC和BC的中点D、E，并且连结，如果测量出DE的长度为10米，也就能知道AB的距离了.同学们知道AB是多少米吗？为什么？

教师引出课题： 23.4　中位线

探究新知

探究点一　三角形的中位线

【问题2】

活动2　（小组讨论，师生互学）

请同学们按要求画图：

在任意△ABC中，取AB、AC的中点D、E，

连结DE.

总结：

三角形中位线的定义：像DE这样，连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

思考：1.一个三角形有几条中位线？

【答案】3条

2. 三角形中位线与三角形中线有什么区别？

【答案】端点不同.

探究点二　三角形中位线的性质

【问题3】 

活动3　（小组讨论，师生互学）

如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？

度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论.

猜想结论：位置关系是DE∥BC.　数量关系是DE＝BC.

结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

符号语言表示为：如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.

求证：DE∥BC，DE＝BC.

如何证明你的猜想？

【证明】如图所示，延长DE到点F，使EF＝DE.

连结AF、CF、DC .∵ AE＝EC，DE＝EF ，

∴ 四边形ADCF是平行四边形.

∴ CF∥AD，CF＝AD.∴ CF∥BD，CF＝BD.

∴ 四边形BCFD是平行四边形.

∴ DF ∥BC，DF＝BC，∴ DE∥BC，DE＝BC.

活动4

典例讲解（师生互动）

例1　如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，如果△ADE的周长是10，求△ABC的周长.

【探索思路】（引发学生思考）求△ABC的周长，就要求出△ABC三边的长度，如何根据已知三角形的周长找到所求三角形的边长？

【解】∵ D、E分别是AB、AC的中点，

∴ AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，

∴ △ABC的周长＝AB+AC+BC＝2AD+2AE+2DE

＝2（AD+AE+DE）＝2×10＝20.

【题后总结】（学生总结，老师点评）此题主要是利用根据线段的中点和三角形的中位线定理解决问题.

方法总结：三角形中位线定理为证明平行关系提供了新的依据，并为证明一条线段是另一条线段的2倍或提供了一个新的方法.

【即学即练】（师生互动）

1.求证：顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形是平行四边形.     

已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

求证：四边形EFGH是平行四边形.

【证明】连结AC. ∵ H，G分别是AD，CD的中点，

∴ HG是△ADC的中位线，

∴ HG∥AC，HG＝AC.

 同理 EF∥AC， EF＝ AC，

∴ HG∥EF ，HG＝EF，

∴ 四边形EFGH是平行四边形.

探究点三　三角形的重心及其性质

【问题4】 

活动5　（教师引导，师生互学）

例2   如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G.求证：  .　

证明:连结ED.

∵ D、E分别是边BC、AB的中点，

∴ DE∥AC，

∴ △ACG∽△DEG，

∴

∴

提示：如果在上图中，取AC的中点F，假设BC与AD交于G′，如图，那么我们同理可得，所以有，即两图中的点G与G′是重合的.

【总结】

于是我们有以下结论：

三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边

中点的连线的长是对应中线长的.

活动6　（小组讨论，教师点评）

典例讲解（师生互动）

例3　如图，在△ABC中，BD＝DC，AE＝EB，AD与CE相交于点O，若DO＝2 cm，求AO的长.

【探索思路】（引发学生思考）BD＝DC，AE＝EB→确定点O是△ABC的重心→确定AO与已知DO的数量关系→得出结论.

【解】∵ BD＝DC，AE＝EB，AD与CE相交于点O，∴ O是△ABC的重心，

∴ AO＝2DO＝2×2＝4（cm）.

【即学即练】

2.如图，在△ABC中，D是△ABC的重心，连结AD并延长交BC于点E，若BC＝6，则EC＝（    ）

A.2　　　　B.2.5　　　　C.3　　　　D.3.5

【解析】

∵ D是△ABC的重心，∴ AE是BC边的中线，即E是BC的中点.

又∵ BC＝6，∴ EC＝BC＝3.

【答案】C

课堂练习

1.如图，点D，E，F分别是△ABC三条边AB，AC，BC的中点，连结DE，DF，EF，则图中平行四边形的个数是（    ）

A.0　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D.3

2.如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（    ）

A.EF＝CF　　　　B.EF＝DE　　　C.CF＜BD　　　D.EF＞DE

3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（    ）

A.6　　　　　　　B.5　　　　　　C.4　　　　　　D.3

4.顺次连结菱形四条边的中点所得的四边形一定是（    ）

A.菱形　　　　　 B.矩形　　　　 C.正方形　　　　D.梯形

5.如图，已知等边△ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：①DE＝1；②△CDE∽△CAB；③△CDE的面积与四边形ABED的面积之比为1∶3；④.其中正确的有（    ）

A.1个　　　    　B.2个　　 　　C.3个　　　　　D.4个

6.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（    ）

A.8　　　　　　　 B.10　　  　　C.12　   　　　D.16

7.已知三角形的三条中位线长分别为3 cm、4 cm、6 cm，则这个三角形的周长是（    ）

A.3 cm　　　　　　B.26 cm　　　　C.24 cm　　　 D.65 cm

8.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC， CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长.

9.如图，点G是△ABC的重心，GE∥AB交BC于点E，GF∥AC交BC于点F，若△GEF的周长是2，求△ABC的周长.

10.如图，E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论.

参考答案

1.D　【解析】利用“中位线平行于第三边”并结合平行四边形的判定定理即可得到DBFE，DFCE，DFEA，共3个.

2.B　【解析】：∵ DE是△ABC的中位线，∴ E为AC中点，∴ AE＝EC.

∵ CF∥BD，∴ ∠ADE＝∠F.

又∵ ∠AED＝∠CEF，∴ △ADE≌△CFE（AAS），

∴ EF＝DE.

3.D　【解析】∵ 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，

∴ BC＝＝＝6.

又∵ DE垂直平分AC，∴ DE⊥AD，AD＝DC.

又BC⊥AC，∴ DE∥BC，∴ AE＝EB，∴ DE是△ACB的中位线，

∴ DE＝BC＝3.

4.B　【解析】如图，四边形ABCD是菱形，

∵ E，F，G，H分别是边AB，AD，DC，CB的中点，

∴ EF∥BD，HG∥BD，EH∥AC，FG∥AC，

∴ 四边形EHGF是平行四边形.

又AC⊥BD，∴ EH⊥HG，∴ 四边形EHGF是矩形.

5.D　【解析】由三角形中位线定理得DE＝AB＝×2＝1，故结论①正确；

又DE∥AB，∴ △CDE∽△CAB，故结论②正确；

由相似三角形的性质得∶＝1∶4，

∴ ∶＝1∶3，故结论③正确；容易求出，

又∵ ∶＝1∶4，∴，故结论④正确.

6.D　【解析】∵ 点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，

∴ DE∥AC，EF∥AB，DE＝AC＝5，EF＝AB＝3，

∴ 四边形ADEF是平行四边形，∴ AD＝EF，DE＝AF，

∴ 四边形ADEF的周长为2（DE+EF）＝2×（5+3）＝16，故选D.

7. B　【解析】如图，∵ 点D，E，F分别是△ABC的三边的中点，DE＝3 cm，DF＝4 cm，EF＝6 cm，∴ DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，

∴ AC+BC+AB＝2（DE+DF+EF）＝2×（3+4+6）＝26（ cm），故选B.

8.【解】∵ AM平分∠BAC， CM⊥AM，∴ AD＝AC＝3，DM＝CM.

∵ N为BC的中点，∴ BN＝CN，∴ MN为△BCD的中位线，

∴ MN＝BD＝（AB-AD）＝（5-3）＝1.

9.【解】∵ G是△ABC的重心，∴ ＝.

∵ GE∥AB，∴ △DGE∽△DAB，∴ ＝＝＝，

∴ AB＝3GE，DB＝3ED.同理可得AC＝3GF，DC＝3DF，

∴ △ABC的周长＝AB+AC+BC＝3GE+3GF+3EF＝3（GE+GF+EF）＝3×2＝6.

10.【解】AB＝2OF，AB∥OF.

证明如下：∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ AB∥CD，OA＝OC.

∴ ∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.

∵ CE＝DC，在ABCD中，CD＝AB，

∴ AB＝CE.在△ABF和△ECF中，

∴ △ABF≌△ECF（ASA），∴ BF＝CF.

∵ OA＝OC，

∴ OF是△ABC的中位线，∴ AB＝2OF，AB∥OF.

课堂小结

 （学生总结，老师点评）

1.三角形的中位线：

连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

2.三角形的中位线性质：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

3.三角形的重心：

三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心. 

4.三角形的重心性质：

重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 . 

布置作业

教材第79页练习题第1，2题，习题23.4第1~4题.

板书设计

课题　　23.4　中位线

一、三角形的中位线定义　　　　　　　　　例1　

二、三角形的中位线的性质　　　　　　　　例2

三、三角形的重心               　　　　 例3

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